金融数学

金融数学复习题1.给定三种证券的方差——协方差矩阵为241025107532253212计算等比例证券组合的方差。解：已知三种证券等比例组合，故该证券组合为111,,333，又由公式2pXVX求得组合的方差为22410251/3111(,,)1075321/322.7783332532121/3p2.设p和q为两种证券，且它们的收益率相等，那么这两种证券的组合的前沿是什么？解：设两种证券的收益率分别为pr和qr，前沿上的证券组合的期望收益率为r，方差为2，得到：pqrrr，221()CArDCC，所以这两种证券的组合的前沿是点(,)r。3.设1r和2r是两种证券的期望收益率，并设10.03r，20.08r，1()0.02Varr，2()0.05Varr，12(,)0.01Covrr，求它们的有效前沿和最小方差组合。解：设证券组合的形式为(,1)pxx，[0,1]x，得到期望收益率和方差如下：12(1)prxrxr222221212(1)2(1)(,)pxxxxCovrr代入数据，消去x，推得有效前沿为22363.360.0884ppprr根据抛物线性质，要使2p最小，代入数据得220.090.120.05pxx整理得：2220.09()0.013px，因此，当23x时，2p最小，得到最小方差组合为21(,)33。4.设1r和2r是两种证券的期望收益率，并设10.03r，20.08r，1()0.02Varr，2()0.05Varr，12(,)0.01Covrr，设无风险利率是0.08，求切点证券组合。解：由所给出的数据：0.020.010.010.05V151100129V151310014001112893AIVr1511100111001219CIVI14001000100833fACr1151351151008005001281211999fVrrVI根据公式1()fcfVrrIXACr，得切点的投资比例50055/69100011/63cX即在风险证券投资中，把资金的56购买第一种股票，以16购买第二种股票。5.什么是资本市场线？什么是证券市场线？请用证券收益率的表达式写出它们的表达式，并指出它们的不同含义及相互关系。解：资本市场线：市场证券组合M的有效前沿在ppOr平面上，从点(0,)fr出发，过点(,)mmr的一条射线。mfpfpmrrrr，给出均衡状态下有效证券组合的期望回报率和标准差的线性关系。证券市场线：市场证券组合M的有效前沿在imfOr平面上，过(0,)fr和(,)mmr的直线。2mfifimmrrrr，给出均衡状态下任何风险资产的超回报和市场组合的超回报成比例关系。资本市场线给出证券组合的期望回报率和标准差的关系，证券市场线给出单个风险证券的期望回报率和标准差的关系。6.设无风险利率为0.07，市场证券组合的期望回报率为0.15，计算：（1）市场风险溢价；（2）一个贝塔系数为1.25的投资所要求的回报率。解：（1）由于市场风险溢价等于期望回报率减去无风险利率，故得到0.150.070.08pfrrr（2）由CAPM，证券的均衡期望回报率为()0.07(0.150.07)1.250.17ffrrrr7.所有有风险资产市场组合的期望收益率为10%，无风险利率为4%，证券A的贝塔值为0.85，证券B的贝塔值为1.20，a.画出证券市场线；b.证券A和B的均衡期望收益率是多少？解：由CAPM，证券的均衡期望回报率为()0.04(0.100.04)0.850.091AffArrrr()0.04(0.100.04)1.200.112BffBrrrr8.根据单因素模型，有两个组合A和B均衡期望收益率分别为9.8%和11.0%，如果因素敏感性分别为0.80和1.0，求无风险利率。解：设无风险利率为fr，风险溢价为pr，根据单因素模型得到ApAfBpBfrrrrrr代入数据，解得5%fr9.设一风险证券与两个因素有关，且他们的期望回报率分别为0.10和0.12，无风险利率为0.04，又已知证券对两因素的灵敏度分别为0.5和0.75，用套利定价理论求该证券的期望回报率。解：根据套利定价理论，得到期望回报率为1212()()(40.5(104)0.75(124))%13%tftFftFfrrbrrbrr10.什么是实值期权，虚值期权和平价期权？解：在任何时刻t，对一个call，如果当时的股票价格tSX，则称call为实值期权；如果tSX，称call为虚值期权；如果tSX，称call为平价期权。11.什么是期权的内在价值和时间价值？解：期权的内在价值是指期权立即履约时的价值。期权的时间价值指的就是未来转换期权的期望价值。12.现在买入一个基础资产同时卖出一个欧式看涨期权，试给出该投资组合在到期日T时刻的损益表达式。（具体符号自定）解：设以0C卖出欧式看涨期权，基础资产的价格为0S，执行价为X，在到期日T时刻的证券价格TS，该投资组合的损益为T，则000000max(,0)TTTTTTCXSSXCSXSSCSSSX13.设一个期权策略组合（称为看涨垂直差价）如下：用5元的价格买一个执行价为55元的call，以3元的价格写一个执行价为60元的call，它们的到期日一样，写出该策略组合的到期日利润和证券价格TS的函数关系作图显示。解：买一个call，155X元，15C元。则这种策略损益为16055,max(55,0)5555.TTTTSSSS写一个call，260X元，23C元。则这种策略损益为16360,3max(60,0)360.TTTTSSSS所以看涨垂直差价期权策略组合的损益为12360575560255TTTTSSSS14.证明：put-call平价公式。命题：对同一种股票，同一个执行价格及同样到期日且股票在到期日之前不分红的欧式看涨和看跌期权价格有如下关系：0000(1)11fffrSXXCPSrr，put-callparity（平价）其中，fr为0到T期无风险利率。证明：用反证法。如果0001fXCPSr，则00001fXSCPr。考虑如表1所示投资组合。由表1看出，此时存在套利机会，故此不等式不成立。表1投资组合在0时投资在T时现金流TSXTSX买一份看涨期权0C0TSX写一份看跌期权0P()TXS0卖空股票0STSTS货款/(1)fXrXX总计000反之，如果0001fXCPSr，则00001fXCPSr。考虑如表2所示投资组合。由表2看出，此时存在套利机会，故此不等式不成立。表2投资组合在0时投资在T时现金流TSXTSX买一份看涨期权0C0()TSX写一份看跌期权0PTXS0卖空股票0STSTS货款/(1)fXrXX总计000由于两个不等式不成立，所以有0001fXSPCr或000(1)1ffrSXCPr。15.对于一个不分红的美式看涨期权来说，为什么我们不会在到期日之前执行它？解：由美式和欧式期权的定义知，在相同条件下，一份美式期权的价值不会低于相应欧式期权的价值，由001fXCSr知，对欧式看涨期权有不等式00max(0,)1fXCSr，所以，这个不等式对美式看涨期权也适用。如果在到期日T之前的某个时刻，美式期权持有者要执行的话，则获利()SX，显然，1fXSXSr。另一方面，如果持有者在时把期权出售的话，由00max(0,)1fXCSr知，把0换成，此时期权的价格必不低于1fXSr。由上述两式得结论：在时出售期权比当时行使权利要好。16.设一个股票上的看跌期权执行价现值是20元，看涨期权价格是5元，看跌期权的价格为7元，股票市场现价是22元，那么是否应该购买该股票上的看跌期权？解：由put-call平价公式0000CPSX，得522203P元，即均衡的看跌期权价格为3元小于7元，故不应购买。17.考虑一个一年期的欧式看涨期权，执行价为125元，股票现价是100元，在一年后有可能上涨到200元，也可能下跌到50元，无风险利率为0.08，你愿意花多少钱购买这样一个期权？解：因为：125X，100S，200uS，50dS，0.08fr得到：2u，0.5dmax(,0)75ucuSX，max(,0)0dcdSX，(1)0.387frdqud所以：1[(1)]26.851udfcqcqcr，将愿意出26.85元买此期权。18.某种股票的目前的价格为50元，一年后将变为58或43元，一年期的无风险利率为4%，股票不分红，根据二叉树定价模型，问该种股票的买入期权（执行价格为50元，一年后到期）的公平价值为多少？解：因为：50X，50S，58uS，43dS，0.04fr得到：1.16u，0.86dmax(,0)8ucuSX，max(,0)0dcdSX，(1)0.6frdqud所以：1[(1)]4.621udfcqcqcr，该股票买入期权的公平价值为4.62元。19.假设一个股票在相邻的交易日价格上涨50%的概率是13，下跌10%的概率是23，如果该股票交易日周一开始交易，价格是2元，那么预期周四价格的期望值是多少？请用股价的二叉树模型求解。解：因为：2S，13，213，1.5u，0.9d所以：期望值33222233[3(1)3(1)(1)]2.66SSuududd（元）20.考虑一个三期的欧式看涨期权。假设股票价格参数为：1.7u，0.8d，初始价格120S，执行价格115x，利率0.06r，求该期权的价格。解：由所给出的数据：(1)0.289rdqud3max(,0)474.56uuucuSX，max(,0)162.44uudcuudSXmax(,0)15.56uddcuddSX，max(,0)0dddcdddSX期权价格：322331[3(1)3(1)(1)]39.64(1)uuuuududddddcqcqqcqqcqcr21.考虑一个二期的欧式看涨期权，假设股票价格参数为：2u，0.5d，初始价格100S，执行价格115x，利率0.06r，并设置向下并敲出的障碍为65，求该障碍期权的价格。解：由所给出的数据：(1)0.373rdqud，11.06r2max(,0)285uucuSX，max(,0)0udcudSX1[(1)]100.291uuuudcqcqcr0dc（因为此时的15065SB，期权被取消）1[(1)]35.291udcqcqcr22.股票现在的价值为50美元，一年后，它的价值可能为55美元或40美元，假设一年期利率为4%，试计算执行价为48美元的看涨期权的价格和执行价为45美元的看跌期权价格。解：因为：50S，55uS，40dS，0.04fr得到：1.1u，0.8d，(1)0.8frdqud由于：148X，45Xmax(,0)7ucuSX，m