北师大版初中数学七年级上册知识讲解-巩固练习(教学资料-补习资料)：第12讲-探索和表达规律(基础)

探索规律（基础）知识讲解【学习目标】1.通过观察、分析、总结等一系列过程，经历探索数量关系，并运用代数式表示规律，通过运算验证规律是否正确的过程；2.会用代数式表示简单问题中的数量关系，能用合并同类项、去括号等法则验证所探索的规律是否正确；3.通过动手操作、观察、思考，体验数学活动是充满着探索性和创造性的过程.【要点梳理】要点一、规律探索型问题常见类型1、数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了分析、归纳、抽象、概括能力.一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式.要点诠释：由于寻找规律并用字母表示这一规律体现了从特殊到一般和归纳、猜想的数学思想的运用.解题中应注意先从特殊的结果入手寻找规律，再用字母表示，最后加以验证.2、图形规律根据一组相关图形的变化，从中总结图形变化所反映的规律.解决这类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律.要点诠释：图案、图表具有直观、形象、简明，包含的信息量多等特点，解决此类问题需要把“形”转化为“数”，考查数形结合的数学思想.3、数表规律解决本题的方法一般是先看行（或列）的规律，再以列（或行）为单位用数列找规律方法找规律.有时也需要看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差等.有时还需要先局部看，再整体找规律.要点二、规律探索型问题解题技巧1、抓住条件中的变与不变找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量.所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律.所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键.而这些变量通常按照一定的顺序给出，揭示的规律，常常包含着事物的序列号.2、化繁为简，形转化为数有些题目看上去很大、图形很复杂，实际上，关键性的内容并不多.对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了.3、要进行计算尝试找规律，当然是找数学规律.而数学规律，多数是函数的解析式.函数的解析式里常常包含着数学运算.因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子.所以，从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径.4、寻找事物的循环节有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解.【典型例题】类型一、数式规律1．按某种规律在横线上填上适当的数：（1）1，3，5，7，9，11，，………；（2）3，6，12，24，48，96，，………；（3）1，4，9，16，25，36，，………；（4）0，3，8，15，24，35，，………；（5）2，-2，2，-2，2，-2，，……….【答案】（1）13；（2）192；（3）49；（4）48；（5）2.【解析】解：（1）这个数列中，后一项与前一项差为定值2，所以第7个数为：；（2）这个数列中，后一项总是前一项的2倍，所以第7个数为：；(3)这个数列中，每个数位上的数分别是它所在位置号的平方或立方，所以第7个数为：；112139621922749(4)这个数列中，后一项与前一项的差依次多2，所以第7个数为：；（5）这个数列中，每两个数一个循环，奇数位上的数为2，偶数位的数为-2．所以第7个数为：2．【总结升华】（1）一列数中，后一项与前一项的差是一个固定的数，则这列数的第n个数为：从左往右数第一个数＋固定数值×（n-1）.（2）一列数中，相邻两项的后一项与前一项的商为固定值q（q≠0），则这列数的第n个数为：从左往右数第一个数×.(3)一列数中，每个数位上的数分别是它所在位置号的平方或立方,则第n个数为：或.（4）此数列满足：差值呈固定值2增长，第n个数为.（5）此数列中的第n个数可表示为.举一反三：【变式1】按某种规律在横线上填上适当的数：(1)－5，－2，1，4，；(2)2，5，10，17，，37；(3)1，8，27，64，，216．【答案】（1）7（2），26（3）125【变式2】（2018•德州）一组数1，1，2，x，5，y…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y表示的数为（）A．8B．9C．13D．15【答案】A．解：∵每个数都等于它前面的两个数之和，∴x=1+2=3，∴y=x+5=3+5=8，即这组数中y表示的数为8．3513481nq2n3n21n1(1)2n2.（2019•丹东）观察下列数据：﹣2，，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是．【思路点拨】根据题意可得：所有数据分母为连续正整数，第奇数个是负数，且分子是连续正整数的平方加1，进而得出答案．【答案】﹣．【解析】解：∵﹣2=﹣，，﹣，，﹣，…，∴第11个数据是：﹣=﹣．故答案为：﹣．【总结升华】此题主要考查了数字变化类，正确得出分子与分母的变化规律是解题关键，另外要注意符号的变化.举一反三：【变式】根据以下等式：1=12，1+2+1=22，1+2+3+2+1=32，…．对于正整数n（n≥4），猜想：1+2+…+（n-1）+n+（n-l）+…+2+1=．【答案】n2类型二、图表规律3．用火柴棒按下图的方式搭三角形:（1）填写下表：三角形个数12345火柴棒根数（2）照这样的规律搭下去，搭n个这样的三角形需要多少根火柴棒？【思路点拨】每多搭一个三角形，就多用两根火柴棒.【答案与解析】解：（1）三角形个数12345火柴棒根数357911（2）搭n个这样的三角形需要2n+1根火柴棒【总结升华】将“形”的规律转换为“数”的规律.举一反三：【变式】观察下列一组图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形中共有个★．【答案】4．（2018•泰安）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定x的值为（）A.135B．170C．209D．252【答案】C．【解析】解：首先根据图示，可得第n个表格的左上角的数等于n，左下角的数等于n+1；然后根据4﹣1=3，6﹣2=4，8﹣3=5，10﹣4=6，…，可得从第一个表格开始，右上角的数与左上角的数的差分别是3、4、5、…，n+2，据此求出a的值是多少31n∵a+（a+2）=20，∴a=9，∵b=a+1，∴b=a+1=9+1=10，∴x=20b+a=20×10+9=200+9=209【总结升华】此题主要考查了探寻数字规律问题，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律．举一反三：【变式】观察下列有序整数对：（1，1）．（1，2），（2，1）．（1，3），（2，2），（3，1）（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）．（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）．…它们是按一定规律排列的，依照此规律，第10行从左到右第5个整数对是【答案】（5,6）5．如图，如图所示的图案是按一定规律排列的，照此规律，在第1至第2018个图案中“♣”，共个．【思路点拨】本题的关键是要找出4个图形一循环，然后再求2018被4整除，从而确定是共第503♣．【答案】503【解析】解：根据题意可知梅花是1，2，3，4即4个一循环．所以2018÷4＝503．所以共有503个♣．【总结升华】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．举一反三：【变式】观察下列图形的排列规律（其中▲、■、★分别表示三角形、正方形、五角星）．若第一个图形是三角形，则第18个图形是．（填图形的名称）▲■★■▲★▲■★■▲★▲…【答案】五角星提示：6个一循环．【巩固练习】一、选择题1.（2018•黄冈中学自主招生）对正整数n，记n!=1×2×3×…×n，则1!+2!+3!+…+10!的末尾数为（）A．0B．1C．3D．52.（2019•东莞市一模）如图，填在各方格中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，n的值是（）A．48B．56C．63D．743.小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图1中棋子围成三角形，其棵数3，6，9，12，…称为三角形数．类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）．A．2010B．2018C．2018D．20194．某种细菌在培养过程中，每半小时分裂1次，每次一分为二．若这种细菌由1个分裂到16个，那么这个过程要经过()．A．1.5小时；B．2小时；C．3小时；D．4小时．5.观察下列算式：1234567822242821623226421282256，　，　，　，　，　，　，　，根据上述算式中的规律，你认为202的末位数字是（）．A.2B.4C.6D.86.下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为（）．A．50B．64C．68D．72二、填空题7.观察下列等式：9－1=8，16－4=12，25－9=16，36－16=20，49－25=24，…这些等式反映出自然数间的某种规律，设n表示自然数，用含字母n的等式表示这个规律.8.观察下面一列有规律的数：111111,,,,,2612203042，……，根据规律可知第7个数是________，第n个数应是________（n是正整数）．9．有一列数：1，2，3，4，5，6，……当按顺序从第二个数数到第n个数时，共数了________个数；当按顺序从第m个数数到第n个数(nm)时,共数了________个数．10.今天是星期一，58天后是星期．11.（2019•南宁）观察下列等式：在上述数字宝塔中，从上往下数，2019在第层．12.（2018•绥化）填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a+b+c=．三、解答题13.（2019春•郑州期末）任意一个三位数，百位数字乘个位数字的积作为下一个数字的百位．百位数字乘十位数的积作为下一个数的十位数字，十位数字乘个位数字的积作为下一个数的个位数字．在上面每次相乘的过程中，如果积大于9，则将积的个位数与十位数相加，若和仍大于9，则继续相加直到得出一位数．重复这个过程…例如，以832开始，运算以上规则依次可得到：832，766，669，999，999，…（1）你选择的三位数是什么？按上述规则进行运算你都得到了哪些数？你得到了什么结论？（2）换个数试试，你有什么进一步的猜想？14.如图a是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图b，再分别连接图b中各小三角形三边中点，得到图c，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下列问题：图a图b图c（1）将下表填写完整图形编号12345……三角形个数159（2）在第n个图形中有多少个三角形（用含n的式子表示）.15．从2开始，连续的偶数相加（特别地，把1个2相加也看成和）.和的情况如下：221224623246123424682045＝＝，＋＝＝，＋＋＝＝，＋＋＋＝＝，……（1）推测从2开始，n个连续偶数相加，和是多少？（2）取n=6，验证（1）的结论是否正确.【答案与解析】一、选择题1.【答案】C．【解析】∵1!=1，2!=1×2=2，3!=1×2×3=6，4!=1×2×3×4=24，而5!、…、10!的数中都含有2与5的积，∴5!、…、10!的末尾数都是0，∴1!+2!+3!+…+10!的末尾数为3．2．【答案】C；【解析】解：从方格上方的数的数1、3、5、可以推出m=7，第一个方格中：3=1×2+1，第二个方格中：15=3×4+3，第三个方格中：35=5×6+5，∴第四个方格中：n=7×8+7=63．故选：C．3.【答案】D；【解析】既是三角形数又是正方形数，应是12的倍数．4.【答案】B；【解析】16＝24，所以这个过程要经过了4个半小时，即2