课内第五章习题

第五章习题（一）1．将下列各函数在指定圆环内展为洛朗级数。（1）21,0||1;1||(1)zzzzz.（2）2225(2)(1)zzzz，1||2z.（3）2(1)zezz，0||1z，只要含1z到2z各项。2．将下列各函数在指定点的去心邻域内展成洛朗级数，并指出其收敛范围。（1）221(1)z，zi.（2）12,0zzez及z.（3）11,1zez及z.3．试证011sin()nnnntzcczzz，0||z其中t为z无关的实参数，201sin(2cos)cos2nctnd，（n=1，2，…）4．求出下列函数的奇点，并确定它们的类别（对于极点，要指出它们的阶），对于无穷远点也要加以讨论。（1）221(4)zzz.（2）1sincoszz.（3）11zzee.（4）231()zi.（5）2tanz.（6）1coszi.（7）21coszz.（8）11ze.5．下列函数在指定点的去心邻域内能否展为洛朗级数。（1）1cos,02z；（2）1cos,2z；（3）1,01sinzz；（4）cot,zz.6．函数()fz，()gz分别以z=a为m阶极点及n阶极点。试问z=a为()(),()()fzgzfzgz及()/()fzgz的什么点？7．设函数()fz不恒为零且以za为解析点或极点，而函数()z以za为本质奇点，试证za是()(),()()zfzzfz及()/()zfz的本质奇点。8．判定下列函数的奇点及其类别（包括无穷远点）.（1）21112e.（2）1zze.（3）211sin2z.（4）1coszez.（5）111zzee.9．试证：在扩充z平面上解析的函数()fz必为常数（刘维尔定理）.10．刘维尔定理的几何意义是“非常数整函数的值不能全含于一圆之内”，试证明：非常数整函数的值不能全含于一圆之外。11．设幂级数0()nnnfzaz所表示的和函数()fz在其收敛圆周上只有惟一的一阶极点0z.试证：01nnaza，因而001||(||nnazzra是收敛半径).（二）1．下列多值函数在指定点的去心邻域内能否有分支可展成洛朗级数.（1）,0zz；（2）(2),1zzz；（3）(1)(2)zzz，z；（4）11Lnz，z；（5）(1)(3)(2)(4)zzLnzz，z.2．函数21()(1)fzzz在z=1处有一个二阶极点；这个函数又有下列洛朗展式：23451111(1)(1)(1)(1)zzzzz，(1|1|)z于是就说“z=1又是()fz的本质奇点”.这个说法对吗？3．设函数()fz在点a解析，试证函数()(),,()(),,fzfazagzzafaza在点a也解析.4．设()fz为整函数，试证()(0),0,()(0),0,fzfzgzzfz也是一个整函数.5．试证：若a为()fz的单值性孤立奇点，则a为()fz的m阶极点的充要条件是lim()()(0,)mzazafza，其中m是正整数.6．若a为()fz的单值性孤立奇点，()()kzafz（k为正整数）在点a的去心邻域内有界.试证：a是()fz的不高于k阶的极点或可去奇点。7．考查函数11()sinsinzfz的奇点类型。8．试证：在扩充z平面上只有一个一阶极点的解析函数()fz必有如下形式：(),0azbfzadbcczd.9．（含点的区域的柯西积分定理）设C是一条周线，区域D是C的外部（含点），()fz在D内解析且连续到C；又设0lim()zfzc，则11()2Cfzdzci，这里c0及c-1是()fz在无穷远点去心邻域内的洛朗展式的系数.试证之.提示：设R充分大，C及其内部全含于圆周:||zR的内部（图5.8）.其次，证明11()2fzdzci.再应用复周线的柯西积分定理，就会得证。10．（含点的区域的柯西积分公式）假设条件同前题，则()(),,1()20(),.CfzfzDfdizfzD这里C－表示的方向，含点的区域D恰在一人沿它前进的左方。提示：例如就定点zD来说，以z为心作充分大圆周z，使C及其内部全含于z内部（如图5.9）。zLC构成一复周线，则应用有界区域的柯西积分公式1()().2Lfdfziz再进一步由()f在||Rz内的洛朗展式可以证明1()().2zfdfiz（||Rz就是以z为中心的点的去心邻域。）11．应用上题公式计算积分||9912(2)(4)(6)(98)(100)zdzIizzzzz.12．设解析函数()fz在扩充z平面上只有孤立奇点，则奇点的个数必为有限个。试证之。13．求在扩充z平面上只有n个一阶极点的解析函数的一般形式。14．设（1）C是一条周线，()fz在C的内部是亚纯的，且连续到C；（2）()fz沿C不为零，则（试证）函数()fz在C的内部至多只有有限个零点和极点。15．在施瓦茨引理的假设条件下，如果原点是()fz的阶零点，求证(0)1!f.要想这里的等号成立，必须()iafzez（a为实数，||1z）.16．若()fz在圆||zR内解析，f(0)=0，|()|fzM，则（1）|()|||,||MfzzzRR，且有|(0)|MfR；（2）若在圆内有一点(0||)zzR使|()|||MfzzR，就有()iaMfzezR（a为实数，||zR）.注：（1）当R＝1，M＝1时，本题就是我们前面证明过的施瓦茨引理，故本题为其更一般的形式。（2）本题的结果也有如下一个简单改进：我们保留本题的假设条件不变，如果z=0是()fz的阶零点，则|()|||(||)MfzzzRR，且有(0)!fMR.如果这些关系中，有一个取等号，这只有()iaMfzezR（a为实数，||zR）.（当1时，这些就是本题的结果）。