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北师大教材数学第九册复习知识点一、数与代数第一单元倍数与因数1、整数的意义象–3、–2、–1、0、1、2、3，……这样的数都是整数2、自然数：象0、1，2，3……这样的数都是自然数。3、数的整除整数a除以整数b(b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。4、倍数与因数如果数a能被数b（b≠0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（或a的约数）。倍数和因数是相互依存的。因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的因数。一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。5、偶数与奇数2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。6、2、3、5、9的倍数特征个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。（2的倍数）个位上是0或5的数，都能被5整除。（5的倍数）一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除。（3的倍数）一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。（9的倍数）能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。7、质数与因数：一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数。100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。1不是质数也不是合数。自然数除了1外，不是质数就是合数。如果把自然数按其约数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。8、质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如15=3×5，3和5叫做15的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。9、互质数公约数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况：⑴1和任何自然数互质。⑵相邻的两个自然数互质。⑶两个不同的质数互质。⑷当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。⑸两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质。如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。10、最大公因数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是1。11、最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。12、分解质因数的方法：把一个合数分解质因数，通常用短除法。先用能整除这个合数的质数去除，一直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。13、求几个数的最大公约数的方法：先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所得的商只有公约数1为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公约数。14、求几个数的最小公倍数的方法先用这几个数（或其中的部分数）的公约数去除，一直除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数。第三单元分数1、分数的意义把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。2、分数的分类真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于1。带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。3、约分和通分把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数，叫做约分。分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。4、约分和通分的方法：约分的方法：用分子和分母的公约数（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。5、分数的大小比较⑴分母相同的分数，分子大的分数比较大⑵分子相同的数，分母小的分数大。⑶分数的分母和分子都不相同的，先通分，再比较两个数的大小。6、分数、小数的互化小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。分数化成小数：用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位小数。一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。7、分数的基本性质分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外），分数的大小不变。8、分数与除法的关系被除数÷除数=被除数/除数（因为零不能作除数，所以分数的分母不能为零。）被除数相当于分子，除数相当于分母。9、分数加减运算⑴同分母分数加减法计算方法:同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变。.⑵异分母分数加减法计算方法:先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。.⑶带分数加减法的计算方法:整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。⑷分数加减混合运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。有括号的先算小括号里面的,同级运算从左往右依次运算10、减法运算性质⑴从一个数里连续减去几个数，可以从一个数里减去这几个数的和a﹣b﹣c=a﹣(b+c)⑵从一个数里减去几个数的和，可以从一个数里依次减去和里的每一个加数。a﹣(b+c)=a﹣b﹣c⑶从一个数里减去两个数的差，可以从这个数里减去差里的被减数，再加上差里的减数。a﹣(b﹣c)=a﹣b+c三、应用（一）整数和分数的应用1、简单应用题⑴简单应用题：只含有一种基本数量关系，或用一步运算解答的应用题，通常叫做简单应用题。⑵解题步骤：a审题理解题意：b选择算法和列式计算,进行解答并标明正确的单位名称。C检验。⑶常见的数量关系：总价=单价×数量-路程=速度×时间-工作总量=工作时间×工效-总产量=单产量×数量2、复合应用题（1）有两个或两个以上的基本数量关系组成的，用两步或两步以上运算解答的应用题，通常叫做复合应用题。（2）含有三个已知条件的两步计算的应用题。求比两个数的和多（少）几个数的应用题。比较两数差与倍数关系的应用题。（3）含有两个已知条件的两步计算的应用题。已知两数相差多少（或倍数关系）与其中一个数，求两个数的和（或差）。已知两数之和与其中一个数，求两个数相差多少（或倍数关系）。（4）解答连乘连除应用题。（5）解答三步计算的应用题。3、典型应用题具有独特的结构特征的和特定的解题规律的复合应用题，通常叫做典型应用题。⑴归一问题数量关系式：单一量×份数=总数量（正归一）总数量÷单一量=份数（反归一）⑵归总问题：是已知单位数量和计量单位数量的个数，以及不同的单位数量（或单位数量的个数），通过求总数量求得单位数量的个数（或单位数量）。特点：两种相关联的量，其中一种量变化，另一种量也跟着变化，不过变化的规律相反，和反比例算法彼此相通。-数量关系式：单位数量×单位个数÷另一个单位数量=另一个单位数量单位数量×单位个数÷另一个单位数量=另一个单位数量。⑶行程问题：关于走路、行车等问题，一般都是计算路程、时间、速度，叫做行程问题。解答这类问题首先要搞清楚速度、时间、路程、方向、杜速度和、速度差等概念，了解他们之间的关系，再根据这类问题的规律解答。解题关键及规律：同时同地相背而行：路程=速度和×时间。同时相向而行：相遇时间=速度和×时间同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及时间=路程÷速度差。同时同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程=速度差×时间。⑷年龄问题：将差为一定值的两个数作为题中的一个条件，这种应用题被称为“年龄问题”。解题关键：年龄问题与和差、和倍、差倍问题类似，主要特点是随着时间的变化，年岁不断增长，但大小两个不同年龄的差是不会改变的，因此，年龄问题是一种“差不变”的问题，解题时，要善于利用差不变的特点。⑸鸡兔问题：已知“鸡兔”的总头数和总腿数。求“鸡”和“兔”各多少只的一类应用题。通常称为“鸡兔问题”又称鸡兔同笼问题解题关键：解答鸡兔问题一般采用假设法，假设全是一种动物（如全是“鸡”或全是“兔”，然后根据出现的腿数差，可推算出某一种的头数。解题规律：如果假设全是“鸡”（总腿数－鸡腿数×总头数）÷一只鸡兔腿数的差=兔子只数-总头数-兔子只数=鸡只数-如果假设全是兔子，可以有下面的式子：-鸡的只数=（4×总头数-总腿数）÷2-兔的头数=总头数-鸡的只数计量单位一、长度(一)什么是长度长度是一维空间的度量。(二)长度常用单位*公里(km)*米(m)*分米(dm)*厘米(cm)*毫米(mm)*微米(um)(三)单位之间的换算*1毫米＝1000微米*1厘米＝10毫米*1分米＝10厘米*1米＝1000毫米*1千米＝1000米二、面积（一）什么是面积面积，就是物体所占平面的大小。（二）常用的面积单位*平方毫米*平方厘米*平方分米*平方米*平方千米（三）面积单位的换算*1平方厘米＝100平方毫米*1平方分米=100平方厘米*1平方米＝100平方分米*1公倾＝10000平方米*1平方公里＝100公顷三、质量（一）什么是质量质量，就是表示表示物体有多重。（二）常用单位*吨t*千克kg*克g（三）常用换算*一吨=1000千克*1千克=1000克四、时间（一）什么是时间是指有起点和终点的一段时间（二）常用单位*世纪*年*月*日*时*分*秒（三）单位换算*1世纪=100年*1年=365天平年*一年=366天闰年*一、三、五、七、八、十、十二是大月大月有31天*四、六、九、十一是小月小月小月有30天*平年2月有28天闰年2月有29天*1天=24小时*1小时=60分*一分=60秒简易方程（一）方程和方程的解1方程：含有未知数的等式叫做方程。2方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。（二）解方程解方程，求方程的解的过程叫做解方程。（三）列方程解应用题1列方程解应用题的意义*用方程式去解答应用题求得应用题的未知量的方法。2列方程解答应用题的步骤*弄清题意，确定未知数并用x表示；*找出题中的数量之间的相等关系；*列方程，解方程；*检查或验算，写出答案。3列方程解应用题的方法*综合法：先把应用题中已知数（量）和所设未知数（量）列成有关的代数式，再找出它们之间的等量关系，进而列出方程。这是从部分到整体的一种思维过程，其思考方向是从已知到未知。*分析法：先找出等量关系，再根据具体建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式进而列出方程。这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知。4列方程解应用题的范围a一般应用题；b和倍、差倍问题；c几何形体的周长、面积计算；二空间与图形1长方形（1）特征-对边相等，4个角都是直角的四边形。有两条对称轴。（2）计算公式c=2(a+b)s=ab2正方形（1）特征：-四条边都相等，四个角都是直角的四边形。有4条对称轴。（2）计算公式c=4as=a²3三角形（1）特征-由三条线段围成的图形。内角和是180度。三角形具有稳定性。三角形有三条高。（2）计算公式s=ah/24平行四边形（1）特征-两组对边分别平行的四边形。-相对的边平行且相等。对角相等，相邻的两个角的度数之和为180度。平行四边形容易变形。（2）计算公式s=ah5梯形（1）特征-只有一组对边平行的四边形。（2）公式s=(a+b)h/2