分组分配问题

1分组分配问题营山二中数学组龚玉伦分组分配问题是组合中的典型问题，弄清分组分配问题的基本类型，并采取相应的处理方法是解决分组问题的关键。在排列、组合中分组分配问题一般按照“先分组再分配”的原则，但不排除其他途径。在分组时要区分是平均分组还是非平均分组或部分平均分组，在分配时要区分是定向分配还是非定向分配。“分组”是指把若干个不同的元素分成几组，组与组之间除了元素数目外不加以区分；“分配”是指将元素配给到相应的对象，对象与对象之间是有区别的。一、只分组不分配例：6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法(1)分成三份，一份一本，一份两本，一份三本；(2)平均分成三份；(3)分成三份，一份四本，另两份各一本。解：（1）属“非平均分组”,各组间数目不同，直接依次选取元素，方法数为12365360CCC(2)属“平均分组”,各组间数目完全相同，组与组之间实际是无区别的，分步产生每一组会造成重复,应消去步骤造成的重复计数，方法数为2226423315CCCA（3）属“部分平均分组”，对其中的“均匀”部分应消去平均分组时步骤上造成的重复计数，方法数为4116212215CCCA二、既分组又分配1、配给对象或配给数目确定当配给对象与相应的配给数目确定时，简单的方法是“依次选取”例：6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法（1）分给甲、乙、丙三个人，甲得一本，乙得两本，丙得三本；（2）分给甲、乙、丙三个人，甲得四本，乙、丙各得一本；（3）平均分给甲、乙、丙三个人；解：（1）属“非平均定向分配”，等同于“非平均分组”，方法数为12365360CCC（2）属“部分非平均定向分配”，均匀部分要分配：411262122230CCCAA，也可理解为甲、乙、丙依次选择:41162130CCC（3）属“平均分配”，分组后再分配：222364233390CCCAA，也可理解为甲、乙、丙依次2选择:22264290CCC2、配给对象或配给数目不确定问题处理的方法主要有两种：一是先分组再分配，即先根据需要对元素进行分组，再用排列的方法进行分配；二是边选对象边分配。例：6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法（1）分给甲、乙、丙三个人，一人得一本，一人得两本，一人得三本；（2）分给甲、乙、丙三个人，一人得四本，另两人各得一本；解：（1）属“非平均不定向分配”，分组后再分配：12336533360CCCA(2)属“部分非平均不定向分配”，分组后再分配：411362132290CCCAA小结：（1）分组时应注意消去平均部分的重复计数。（2）分组分配时为使思路明了，一般按照“先分组再分配”的原则。（3）定向分配时可理解为依次选择。练习：1、将9本不同的书按以下要求处理，各有几种分法？（1）分成三份，其中一份1本，一份3本，一份5本；（2）平均分成三份，每份3本；（3）按照数目“1，1，2，2，3”分成5份。2、将5本不同的书分给甲、乙、丙三个人，其中甲1本，、乙、丙各2本，有几种分配方法？3、将4名新生分配到6个班中的两个班，每班2人，有几种分配方法？4、把5个不同的小球放入四个不同的盒子，恰有一个空盒的放法有多少种？（答案：1（1）504，（2）280，（3）3780；2、30；3、90；4、600.）