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课时知能训练一、选择题1．欲寄出两封信，现有两个信箱供选择，则两封信投到一个信箱的概率是()A.12B.14C.34D.382．(2011·安徽高考改编)从正六边形的6个顶点中随机选择2个顶点连成线段，则它们过正六边形中心的概率等于()A.110B.18C.16D.153．4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为()A.13B.12C.23D.344．(2012·深圳模拟)一名同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点落在直线2x＋y＝8上的概率为()A.16B.112C.536D.195．连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a＝(m，n)与向量b＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈(0，π2]的概率是()A.512B.12C.712D.56二、填空题6．在集合{x|x＝nπ6，n＝1,2,3，…，10}中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cosx＝12的概率是________．7．(2012·中山调研)盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球．若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是________．图10－2－18．如图10－2－1所示，在平行四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，P、Q、M、N分别是线段OA、OB、OC、OD的中点．在A、P、M、C中任取一点记为E，在B、Q、N、D中任取一点记为F.设G为满足向量OG→＝OE→＋OF→的点，则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD外(不含边界)的概率为________．三、解答题9．一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体朝下的面上的数字分别为x1，x2，记X＝(x1－3)2＋(x2－3)2.(1)分别求出X取得最大值和最小值时的概率；(2)求X的值不小于4的概率．10．(2011·天津高考)编号分别为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：运动员编号A1A2A3A4A5A6A7A8得分1535212825361834运动员编号A9A10A11A12A13A14A15A16得分1726253322123138(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格．区间[10,20)[20,30)[30,40]人数(2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，①用运动员编号列出所有可能的抽取结果；②求这2人得分之和大于50的概率．11．在2011年深圳世界大学生运动会，有8名大运会志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1)求A1被选中的概率；(2)求B1和C1不全被选中的概率．答案及解析1．【解析】设两个信箱分别为A、B，则两封信投到信箱有四种情况：AA，BB，AB，BA，其中投到一个信箱有两种情况．故所求概率为P＝24＝12.【答案】A2．【解析】如图所示，从6个顶点中随机选择2个顶点，有{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}共15个基本事件．其中过中心点O的线段为BE，CF，AD有3个基本事件．∴P＝315＝15.【答案】D3．【解析】从4张卡片中任取两张的方法数为1,2；1,3；1,4；2,3；2,4；3,4，共6种．其中和为奇数的情况有1,2；1,4；2,3；3,4，共4种．∴所求概率P＝46＝23.【答案】C4．【解析】依题意，以(x，y)为坐标的点有6×6＝36个，其中落在直线2x＋y＝8上的点有(1,6)，(2,4)，(3,2)共3个．故所求事件的概率P＝336＝112.【答案】B5．【解析】∵cosθ＝m－nm2＋n2，θ∈(0，π2]，∴m≥n.m＝n的概率为636＝16，m＞n的概率为12×56＝512，∴θ∈(0，π2]的概率为16＋512＝712.【答案】C6．【解析】基本事件总数为10，满足方程cosx＝12的基本事件数为2，故所求概率为P＝210＝15.【答案】157．【解析】设3只白球为A，B，C.1只黑球为d，则从中随机摸出两只球的情形有：AB，AC，Ad，BC，Bd，Cd共6种，其中两只球颜色不同的有3种，故所求概率为12.【答案】128．【解析】基本事件的总数是4×4＝16，在OG→＝OE→＋OF→中，当OG→＝OP→＋OQ→，OG→＝OP→＋ON→，OG→＝ON→＋OM→，OG→＝OM→＋OQ→时，点G分别为该平行四边形的各边的中点，此时点G在平行四边形的边界上，而其余情况中的点G都在平行四边形外，故所求的概率是1－416＝34.【答案】349．【解】(1)随机投掷正四面体两次，其所有的基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，由16个基本事件构成，并且这些基本事件的发生是等可能的．当x1＝x2＝1时，X取得最大值，当x1＝x2＝3时，X取得最小值，∴X取得最大值和最小值时的概率都是116.(2)记“X的值不小于4”为事件A，则A包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(3,1)，(4,1)共7个，∴P(A)＝716.10．【解】(1)由训练比赛得分记录，知分别在[10,20)，[20,30)，[30,40]内的人数为4,6,6.(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13.从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A13}，{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A4，A13}，{A5，A10}，{A5，A11}，{A5，A13}，{A10，A11}，{A10，A13}，{A11，A13}共15种．②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”(记为事件B)的所有可能结果有{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A5，A10}，{A10，A11}共5种．所以P(B)＝515＝13.11．【解】(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件有(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)共18个基本事件．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M表示“A1恰被选中”这一事件，则M包含以下事件(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，事件M由6个基本事件组成．因此P(M)＝618＝13.(2)用“N”表示“B1、C1不全被选中”这一事件，则其对立事件N表示“B1、C1全被选中”这一事件．由于N包含的基本事件有(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)，事件N由3个基本事件组成．∴P(N)＝318＝16，由对立事件的概率公式得P(N)＝1－P(N)＝56.