课改展示课教案勾股定理的证明带给我们的启示(何鸾)

1北京市二中分校“学习与研究”主题展示课教案学科：数学课题勾股定理的证明带给我们的启示授课年级初一年级授课教师何鸾课程类型校本课程《从数学知识到数学思想》基本点搜集资料、分析判断：学生通过搜集勾股定理的相关资料，了解它的历史以及证明方法，自己筛选出用面积法验证勾股定理的方法，并体验这种方法的优越性。发现规律、归纳结论：在例题的学习中发现借助几何图形验证数学结论的规律，并能很恰当的归纳出解决此类问题的方法．教学目标知识技能1．了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的验证过程，筛选出用图形面积验证勾股定理的方法．2．通过探究勾股定理证明的方法，体会借助图形面积来探索和验证数学结论的数形结合思想．数学思考1．在对勾股定理证明的探究过程中，发展合情推理能力，体会数形结合思想．2．通过对问题的分析讨论，培养学生类比迁移能力及探索问题的能力，培养学生联系与转化的辩证思想．解决问题1．通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维．2．在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维过程和探究结果．情感态度1．通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情．2．在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神．3．在教学的过程中，培养学生积极参与，合作交流的主体意识，感受到数学之美，探究之趣．教学重点借助图形面积来探索和验证恒等式和数学结论．教学难点借助图形面积来探索和验证恒等式和数学结论．教学方法直观教学，联想发现，设疑思考，逐步渗透，师生交际．教具与学具多媒体演示，自制图形学具．教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图落实的“基本点”2环节1创设情景导入新课环节２小组合作展示成果上节拓展课的作业是搜集有关勾股定理的发现、发展以及证明方法，并筛选出你最喜欢的几种用图形面积验证勾股定理的方法，这节课开始由学生展示成果。学生分小组搜集资料，教师参与小组活动，指导、倾听学生交流．针对不同认识水平的学生，引导其用不同的方法得出大正方形的面积．引导学生观察a2＋ｂ2＝ｃ2的结构，从拼图的整体和构成两方面来阐述对图形的认识，为学生顺利开展探究活动铺路架桥，同时也教会学生观察、猜想、操作、验证的良好学习方法．在学生经历知识的发生，发展过程中，教师引导学生将数与形的问题联系起来，努力为学生创造获得成功的体验．通过学生经历对“勾股定理”的验证过程让学生体会到构造图形利用面积也是验证代数结论的一条重要渠道，体会到各种证法是融几何知识与代数知识为一体，完美地体现了数形结合的思想，它是研究数学问题的一种重要的思想方法，在问题的发现、研究、解决的过程中起着重要作用．数与形是数学宫殿里的两大基石,“数无形时缺直观形无数时难入微”。一个学生以毕达哥拉斯的身份阐述勾股定理的发现，引出它的验证方法．对勾股定理的研究是一项十分有趣，并十分受大众欢迎的一项活动，上至帝王总统，下到平民百姓，无不为其的魅力所深深吸引。人类对勾股定理的研究已有近3000年的历史，证明方法有几百种。小组内成员在充分合作交流的基础上，展示本组推荐的证明方法．［证法一］cbaccc得：a2+b2=c2．［证法二］弦图的另一种证法让学生饰演毕达哥拉斯，为学生能够积极主动地投入到探索活动创设情境，激发学生学习热情，同时为探索勾股定理的验证方法提供背景材料．搜集资料分析判断上一节拓展课后的作业是要求学生搜集勾股定理的历史背景、证明方法等方面的知识。教师参与小组活动，指导、倾听学生交流．让学生通过小组合作学习，把搜集到的资料分类整理，筛选出其最喜欢的几种用面积验证勾股定理的方法，自制学具，以备展示．勾股定理的证明方法迄今为止已有几百种，而用面积法验证简单直观，教师引导学生观察a2＋ｂ2＝ｃ2的结构，从拼图的整体和构成两方面来阐述对图形的认识，为学生顺利开展探究活动铺路架桥，让学生体验用面积法验证数学结论的直观简洁性。同ccabacbbacba224()2abcba小正方形大正方形SSSRt4小正方形大正方形SSSRt43环节３类比迁移学习新知教师演示课件，提出问题，学生观察题目，独立思考．问题1根据给出的代数恒等式，选取相应种类和数量的卡片，尝试拼成一个长方形，根据几何意义，解释这个代数恒等式。问题2根据给出的二次式，选取相应种类和数量的卡片，尝试拼成一个长方形，根据几何意义，写出这个代数恒等式的右边。=问题3想一想能否构造图形利用面积，验证代数恒等式得：a2+b2=c2．［证法三］总统巧证勾股定理CDEAB证明：得：a2+b2=c2．学生通过研究勾股定理的证明，在教师的层层设问，逐步引导下，把这种借助图形面积来探索和验证数学结论的数形结合思想，类比迁移到解决其他问题的方法上．时也教会学生观察、猜想、操作、验证的良好学习方法。发现规律归纳结论在学生经历知识的发生、发展过程中，教师引导学生将数与形的问题联系起来，努力为学生创造获得成功的体验．鼓励学生勇于面对数学活动中的困难，尝试从不同角度寻求解决问题的有效方法，并通过对方法的反思，获得解决同类问题的经验．数学教学是在教师的引导下，进行的再创造、再发现的教学．通过设置数学活动，教给学生一种探究问题的方法，例题的安排是为了使22214cabbaaabbcc222baba2)(ba2232baba)()(22bababa4环节4复习小结巩固新知问题4（视时间情况）观看flash可以验证成立的代数结论是什么？是如何验证的？问题5从一个正方形的边上截取一条宽为１cm的长方形纸条，剩下的部分是一个红色长方形，面积为16165cm2，求这个正方形的边长．请学生谈谈这节课的收获．附：作业详见作业纸．学生学会利用图形、观察图形、构造面积，验证结论，培养学生正确运用所学知识的应用能力，以及类比学习的迁移能力，最后归纳总结解决这类题的方法．板书设计课题：勾股定理的证明带给我们的启示1．勾股定理数形结合３．类比迁移2．证明问题１方法一问题２方法二问题３方法三问题４5《勾股定理的证明带给我们的启示》作业班级姓名1．挪威数学家阿贝尔，年轻时就利用阶梯形，发现了一个重要的恒等式——阿贝尔公式，图1是一个简单的阶梯形，可用两种方法，把图形分割成为两个矩形。利用它们之间的面积关系，可以得到：2211baba=。A、a1(b1－b2)+(a1+a2)b1B、a2(b2－b1)+(a1+a2)b2C、a1(b1－b2)+(a1+a2)b2D、a2(b1－b2)+(a1+a2)b1图12．你能否构造图形利用面积，验证代数恒等式3．观察图3，是由4个长为a，宽为b的小长方形围成的图形。请用两种不同方法表示阴影部分的面积，①写出代数恒等式；②你能利用我们学过的乘法公式进行计算，进一步验证这个代数恒等式是成立的吗？图34．阅读材料并解答问题：前面的学习中，我们已经会用几何图形的面积来表示一些代数恒等式，也可由代数恒等式构造直观的几何图形面积来解释，例如))(2(3222babababa就可以用图甲或图乙等图形的面积表示．(1)请写出图丙所表示的代数恒等式：．(2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示2a2+7ab+3b2，讨论它的几何意义，写出这个代数恒等式。(3)请另写一个含有a、b的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形．5．结合本节课的学习内容,写一篇用面积法验证代数结论的感想．222)(2bababa