课时训练变量间的相关关系与统计案例(北师大版)

A级基础达标演练(时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列两个变量之间的关系是相关关系的是()．A．正方体的棱长与体积B．单位面积的产量为常数时，土地面积与总产量C．日照时间与水稻的亩产量D．电压一定时，电流与电阻解析A、B、D中两个变量间的关系都是确定的，所以是函数关系；C中的两个变量间是相关关系，对于日照时间一定的水稻，仍可以有不同的亩产量，故选C.答案C2．(2012·石家庄调研)下列结论正确的是()．①函数关系是一种确定性关系；②相关关系是一种非确定性关系；③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④解析由回归分析的方法及概念判断．答案C3．(2011·莱芜二模)在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则下列说法中正确的是()．A．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌B．1个人吸烟，那么这人有99%的概率患有肺癌C．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人D．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有解析统计的结果只是说明事件发生可能性的大小，具体到一个个体不一定发生．答案D4．(2011·陕西)设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论正确的是()．A．直线l过点(x，y)B．x和y的相关系数为直线l的斜率C．x和y的相关系数在0到1之间D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同解析由样本的中心(x，y)落在回归直线上可知A正确；x和y的相关系数表示为x与y之间的线性相关程度，不表示直线l的斜率，故B错；x和y的相关系数应在－1到1之间，故C错；分布在回归直线两侧的样本点的个数并不绝对平均，即无论样本点个数是奇数还是偶数，故D错．答案A5．(2011·山东)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x(万元)4235销售额y(万元)49263954根据上表可得回归方程y＝bx＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为()．A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元解析x＝4＋2＋3＋54＝3.5(万元)，y＝49＋26＋39＋544＝42(万元)，∴a＝y－bx＝42－9.4×3.5＝9.1，∴回归方程为y＝9.4x＋9.1，∴当x＝6(万元)时，y＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．答案B二、填空题(每小题4分，共12分)6．已知x、y的取值如下表：x0134y2.24.34.86.7从所得的散点图分析，y与x线性相关，且y＝0.95x＋a，则a＝________.解析因为回归方程必过样本点的中心(x，y)，解得x＝2，y＝4.5，将(2,4.5)代入y＝0.95x＋a可得a＝2.6.答案2.67．某高校“初步统计”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：专业性别非统计专业统计专业男1310女720为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到χ2＝50×13×20－10×7223×27×20×30≈4.844，因为χ2≥3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为________．答案5%8．(2011·辽宁)调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：y＝0.254x＋0.321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．解析由题意，知其回归系数为0.254，故家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.254万元．答案0.254三、解答题(共23分)9．(11分)(2012·天津模拟)在某地区的12～30岁居民中随机抽取了10个人的身高和体重的统计资料如表：身高(cm)143156159172165171177161164160体重(kg)41496179686974696854根据上述数据，画出散点图并判断居民的身高和体重之间是否有相关关系．解以x轴表示身高，y轴表示体重，可得到相应的散点图如图所示：由散点图可知，两者之间具有相关关系，且为正相关．10．(12分)(2012·北京朝阳区三校联考)某种产品的广告费支出x与消费额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：x24568y3040605070(1)画出散点图；(2)求线性回归方程；(3)预测当广告费支出为700万元时的销售额．解(1)散点图如图所示．(2)列表，利用科学计算器求得：x＝5(百万元)，y＝50(百万元)，∑5i＝1x2i＝145，∑5i＝1y2i＝13500，∑5i＝1xiyi＝1380，设回归方程为y＝bx＋a，则b＝∑5i＝1xiyi－5xy∑5i＝1x2i－5x2＝1380－5×5×50145－5×52＝6.5，a＝y－bx＝50－6.5×5＝17.5，故所求方程为y＝6.5x＋17.5.(3)当x＝7(百万元)时，y＝6.5×7＋17.5＝63(百万元)．∴当广告费支出7百万元时，销售额约为63百万元．B级综合创新备选(时间：30分钟满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2011·合肥二检)已知数组(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)满足线性回归方程y＝bx＋a，则“(x0，y0)满足线性回归方程y＝bx＋a”是“x0＝x1＋x2＋…＋x1010，y0＝y1＋y2＋…＋y1010”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析x0，y0为这10组数据的平均值，又因为线性回归方程y＝bx＋a必过样本中心(x，y)，因此(x，y)一定满足线性回归方程，但满足线性回归方程的除了(x，y)外，可能还有其他样本点．答案B2．在第29届奥运会上，中国健儿取得了51金、21银、28铜的好成绩，稳居世界金牌榜榜首，由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列，也有许多人持反对意见．有网友为此进行了调查，在参加调查的2548名男性公民中有1560名持反对意见，2452名女性公民中有1200人持反对意见，在运用这些数据说明中国的奖牌数是否与中国进入体育强国有无关系时，用什么方法最有说服力()．A．平均数与方差B．回归直线方程C．独立性检验D．概率解析由于参加讨论的公民按性别被分成了两组，而且每一组又被分成了两种情况：认为有关与无关，故该资料取自完全随机统计，符合2×2列联表的要求，故用独立性检验最有说服力．答案C二、填空题(每小题4分，共8分)3．(2011·东北四校联考(二))某小卖部为了了解热茶销售量y(杯)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：气温(℃)181310－1杯数24343864由表中数据算得线性回归方程y＝bx＋a中的b≈－2，预测当气温为－5℃时，热茶销售量为________杯(已知回归系数b＝∑ni＝1xiyi－nxy∑ni＝1x2i－nx2，a＝y－bx)．解析根据表格中的数据可求得x＝14×(18＋13＋10－1)＝10，y＝14×(24＋34＋38＋64)＝40(杯)．∴a＝y－bx＝40－(－2)×10＝60，∴y＝－2x＋60，当x＝－5时，y＝－2×(－5)＋60＝70(杯)．答案704．(2012·石家庄模拟)某医疗研究所为了了解某种血清预防感冒的作用，把500名使用过血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得χ2≈3.918，经查临界值表知P(χ2≥3.841)≈0.05.则下列结论中，正确结论的序号是________．①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；③这种血清预防感冒的有效率为95%；④这种血清预防感冒的有效率为5%.解析因为χ2≈3.918≥3.841，而P(χ2≥3.814)≈0.05，所以有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．要注意我们检验的是假设是否成立和该血清预防感冒的有效率是没有关系的，不是同一个问题，不要混淆．答案①三、解答题(共22分)5．(10分)(2012·佛山模拟)有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.优秀非优秀总计甲班10乙班30合计105已知从全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为27.(1)请完成上面的列联表；(2)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到6号或10号的概率．附χ2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋dP(χ2≥k)0.050.01k3.8416.635解(1)优秀非优秀总计甲班104555乙班203050合计3075105(2)根据列联表中的数据，得到k＝105×10×30－20×45255×50×30×75≈6.109＞3.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．(3)设“抽到6号或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(x，y)，则所有的基本事件有(1,1)、(1,2)、(1,3)、…、(6,6)，共36个．事件A包含的基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，共8个，∴P(A)＝836＝29.6．(12分)(2010·辽宁)为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B.表1和表2分别是注射药物A和药物B后的试验结果(疱疹面积单位：mm2)．表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积[60,65)[65,70)[70,75)[75,80)频数30402010表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积[60,65)[65,70)[70,75)[75,80)[80,85)频数1025203015(1)完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图注射药物B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图(2)完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．表3：疱疹面积小于70mm2疱疹面积不小于70mm2合计注射药物Aa＝b＝注射药物Bc＝d＝合计n＝解(1)如图所示．注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图注射药物B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图可以看出注射药物A后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数．(2)表3：疱疹面积小于70mm2疱疹面积不小于70mm2合计注射药物Aa＝70b＝30100注射药物Bc＝35d＝65100合计10595n＝200χ2＝200×70×65－35×302100×100×105×95≈24.56.由于χ2＞6.635，所以有99%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．