课时跟踪检测(二十四)正弦定理和余弦定理的应用

课时跟踪检测(二十四)正弦定理和余弦定理的应用1．在同一平面内中，在A处测得的B点的仰角是50°，且到A的距离为2，C点的俯角为70°，且到A的距离为3，则B、C间的距离为()A.16B.17C.18D.192．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A．50mB．100mC．120mD．150m3．(2012·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知8b＝5c，C＝2B，则cosC＝()A.725B．－725C．±725D.24254．(2013·厦门模拟)在不等边三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，其中a为最大边，如果sin2(B＋C)sin2B＋sin2C，则角A的取值范围为()A.0，π2B.π4，π2C.π6，π3D.π3，π25．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是()A．102海里B．103海里C．202海里D．203海里6．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18km，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1km)()A．11.4B．6.6C．6.5D．5.67.(2012·南通调研)“温馨花园”为了美化小区，给居民提供更好的生活环境，在小区内的一块三角形空地上(如图，单位：m)种植草皮，已知这种草皮的价格是120元/m2，则购买这种草皮需要________元．8.(2012·潍坊模拟)如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，且与它相距82nmile.此船的航速是________nmile/h.9．(2013·济南联考)江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.10.(2013·沈阳模拟)如图，在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．11.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚217秒．在A地测得该仪器至最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)12.(2012·兰州模拟)某单位在抗雪救灾中，需要在A，B两地之间架设高压电线，测量人员在相距6km的C，D两地测得∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，∠BDC＝15°，∠BCD＝30°(如图，其中A，B，C，D在同一平面上)，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所需电线长度大约应该是A，B之间距离的1.2倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？1.某城市的电视发射塔CD建在市郊的小山上，小山的高BC为35m，在地面上有一点A，测得A，C间的距离为91m，从A观测电视发射塔CD的视角(∠CAD)为45°，则这座电视发射塔的高度CD为________米．2.2012年10月29日，超级风暴“桑迪”袭击美国东部，如图，在灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进xm到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105°，行进10m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x＝________.3.(2012·泉州模拟)如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里的C处的乙船．(1)求处于C处的乙船和遇险渔船间的距离；(2)设乙船沿直线CB方向前往B处救援，其方向与CA―→成θ角，求f(x)＝sin2θsinx＋34cos2θcosx(x∈R)的值域．[答题栏]A级1._________2._________3._________4._________5._________6._________B级1.______2.______7.__________8.__________9.__________答案课时跟踪检测(二十四)A级1．选D∵∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝3.∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝4＋9－2×2×3×cos120°＝19.∴BC＝19.2．选A设水柱高度是hm，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝3h，根据余弦定理得，(3h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m.3．选A由C＝2B得sinC＝sin2B＝2sinBcosB，由正弦定理及8b＝5c得cosB＝sinC2sinB＝c2b＝45，所以cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝2×452－1＝725.4．选D由题意得sin2Asin2B＋sin2C，再由正弦定理得a2b2＋c2，即b2＋c2－a20.则cosA＝b2＋c2－a22bc0，∵0Aπ，∴0Aπ2.又a为最大边，∴Aπ3.因此得角A的取值范围是π3，π2.5．选A如图所示，由已知条件可得，∠CAB＝30°，∠ABC＝105°，∴∠BCA＝45°.又AB＝40×12＝20(海里)，∴由正弦定理可得20sin45°＝BCsin30°.∴BC＝20×1222＝102(海里)．6．选B∵AB＝1000×1000×160＝500003m，∴BC＝ABsin45°·sin30°＝5000032m.∴航线离山顶h＝5000032×sin75°≈11.4km.∴山高为18－11.4＝6.6km.7．解析：三角形空地的面积S＝12×123×25×sin120°＝225，故共需225×120＝27000元．答案：270008．解析：设航速为vnmile/h，在△ABS中AB＝12v，BS＝82，∠BSA＝45°，由正弦定理得82sin30°＝12vsin45°，则v＝32.答案：329．解析：如图，OM＝AOtan45°＝30(m)，ON＝AOtan30°＝33×30＝103(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)．答案：10310．解：在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，由余弦定理得cos∠ADC＝AD2＋DC2－AC22AD·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC＝120°，∴∠ADB＝60°.在△ABD中，AD＝10，∠B＝45°，∠ADB＝60°，由正弦定理得ABsin∠ADB＝ADsinB，∴AB＝AD·sin∠ADBsinB＝10sin60°sin45°＝10×3222＝56.11．解：由题意，设AC＝x，则BC＝x－217×340＝x－40，在△ABC中，由余弦定理得BC2＝BA2＋CA2－2BA·CA·cos∠BAC，即(x－40)2＝x2＋10000－100x，解得x＝420.在△ACH中，AC＝420，∠CAH＝30°，∠ACH＝90°，所以CH＝AC·tan∠CAH＝1403.答：该仪器的垂直弹射高度CH为1403米．12．解：在△ACD中，∠ACD＝45°，CD＝6，∠ADC＝75°，所以∠CAD＝60°.因为CDsin∠CAD＝ADsin∠ACD，所以AD＝CD×sin∠ACDsin∠CAD＝6×2232＝26.在△BCD中，∠BCD＝30°，CD＝6，∠BDC＝15°，所以∠CBD＝135°.因为CDsin∠CBD＝BDsin∠BCD，所以BD＝CD×sin∠BCDsin∠CBD＝6×1222＝32.又因为在△ABD中，∠BDA＝∠BDC＋∠ADC＝90°，所以△ABD是直角三角形．所以AB＝AD2＋BD2＝262＋322＝42.所以电线长度至少为l＝1.2×AB＝6425(单位：km)答：施工单位至少应该准备长度为6425km的电线．B级1．解析：AB＝912－352＝84，tan∠CAB＝BCAB＝3584＝512.由CD＋3584＝tan(45°＋∠CAB)＝1＋5121－512＝177得CD＝169.答案：1692．解析：∵由题知，∠CBA＝75°，∠BCA＝45°，∴∠BAC＝180°－75°－45°＝60°，∴xsin45°＝10sin60°.∴x＝1063m.答案：1063m3．解：(1)连接BC，由余弦定理得BC2＝202＋102－2×20×10cos120°＝700.∴BC＝107，即所求距离为107海里．(2)∵sinθ20＝sin120°107，∴sinθ＝37.∵θ是锐角，∴cosθ＝47.f(x)＝sin2θsinx＋34cos2θcosx＝37sinx＋37cosx＝237sinx＋π6，∴f(x)的值域为－237，237.