课内第一章习题

1第一章习题1．设132iz，求||z及Argz.2．设121,32izzi，试用指数形式表z1z2及12zz.3．解二项方程440(0).zaa4．证明2222121212||||2(||||)zzzzzz，并说明其几何意义。5．设z1、z2、z3三点适合条件：1231230|z|||||1.zzzzz及试证明z1、z2、z3是一个内接于单位圆周||1z的正三角形的顶点。6．下列关系表示的点z的轨迹的图形是什么？它是不是区域？（1）1212||||,()zzzzzz；（2）|||4|zz；（3）111zz；（4）0arg(1)2Re34zz且；（5）||2z且|3|1z；（6）Im1||2zz且；（7）||20arg4zz且；（8）1312222iizz且.7．证明：z平面上的直线方程可以写成.azazc（a是非零复常数，c是实常数）8．证明：z平面上的圆周可以写成0AzzzzC.2其中A、C为实数，0,A为复数，且2||.AC9．试证：复平面上的三点1,0,abiabi共直线。10．求下列方程（t是实参数）给出的曲线：（1）(1)zit；（2）cossinzatibt；（3）iztt；（4）22iztt.11．函数1wz将z平面上的下列曲线变成w平面上的什么曲线（,zxiywuiv）？（1）224;xy（2）yx；（3）x=1；（4）(x-1)2+y2=1.12．试证：（1）多项式1010()(0)nnnpzazazaa在z平面上连续；（2）有理分式函数101101()nnnmmmazazafzbzbzb（000,0ab）在z平面上除分母为的点外都连续。13．试证：arg(arg)zz在负实轴上（包括原点）不连续，除此而外在z平面上处处连续。注：若0arg2z，则argz在正实轴（包括原点）上不连续，在z平面上其他点处连续。14．命函数22,0,()0,xyzxyfz若若z=0.试证：()fz在原点不连续。315．试证：函数()fzz在z平面上处处连续。16．试问函数1()1fzz在单位圆||1z内是否连续？是否一致连续？17．一个复数列(1,2,)nnnzxiyn以000zxiy为极限的定义为：任0，存在一个正整数()NN，使当nN时，恒有0||nzz，试证：复数列{zn}以000zxiy为极限的充要条件为实数列{xn}及{yn}分别以x0及y0为极限。（这是一个定理。）提示：一方面从00||||nnxxzz及00||||nnyyzz推出条件的必要性；另一方面，从000||||||nnnzzxxyy推出条件的充分性。注：本题的定理有如下的三角表示：复数列(cossin)(1,2,)nnnnzrin以000000(cossin)(0,)zrizz为极限的充要条件是实数列{}nr及0{}为极限（必要性证明只要适当选择n及0的值。）。18．一个复数列(1,2,)nnnzxiyn有极限的充要条件（即柯西准则）是：任0，存在正整数()NN，使当nN时，恒有||(1,2,).npnzzp提示：利用上题、不等式（1.1）及实数情形的柯西准则。19．试证：任何有界的复数列必有一个收敛的子数列。20．如果复数列{}nz合于0limnnzz，试证120limnnzzzzn当0z时，结论是否正确？（二）1．将复数23(cos5sin5)(cos3sin3)ii化为指数形式和三角形式。2．如果itze，试证：12cosnnzntz；12sinnnzintz4其中n为正整数。3．设(13)(,nnnnnxiyixy为实数；n为正整数)。试证：11143nnnnnxyxy。4．设zxiy，试证：||||||||||.2xyzxy5．设z1及z2是两个复数，试证：1212||||||||zzzz.6．设|z|=1，试证：1azbbza.7．已知正方形z1z2z3z4的相对顶点z1(0,-1)和z3(2,5)，求顶点z2和z4的坐标。8．试证：以z1z2z3为顶点的三角形和以123,,为顶点的三角形同向相似的充要条件为：112233110.1zwzwzw9．试证：四个相异点1234,,,zzzz共圆周或共直线的充要条件是34141232:zzzzzzzz为实数（如图1.22）.图1.2210．试证：两向量1111()Ozzxiy与2222()Ozzxiy互相垂相的充要条件是21120.zzzz11．试证：方程1122(01,)zzkkzzzz表示Z平面上一个圆周，其圆心为z0，半径为ρ，且21212022||,.1|1|zkzkzzzkk12．试证1Re01,1zzz并能从几何意义上来读本题。