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Particle-BasedAnisotropicSurfaceMeshing摘要本文介绍了一种基于粒子的各向异性表面网格划分方法。给定一个输入多边形网格赋予了一个黎曼度量和指定数量的顶点，该方法生成一个度量适应网格。主要思想包括映射各向异性空间为高维各向同性的一个，称为“嵌入空间”。网格的顶点是由均匀采样的表面，在这个高维嵌入空间，并通过优化的能量函数的准牛顿算法的采样进一步正规化。所有的计算可以重新表示在嵌入的点积空间，和连接不同空间的映射的矩阵。这种转换使得它不需要显式表示嵌入空间中的坐标，并提供有效计算的所有必需的能量和力的表达式。通过能量优化，它自然会导致在原来的空间所需的各向异性粒子分布。通过计算的限制的各向异性，然后生成的三角形Voronoi图和其对偶Delaunay三角剖分。我们比较我们的研究结果定性和定量与国家的最先进的在各向异性表面网格划分的几个例子，使用标准的测量标准。1引言各向异性啮合提供了一种高度灵活的控制方式网格生成，通过让用户规定一个方向和密度场，肉牛的形状，大小和网格对齐。在流体动力学模拟中，通常需要有细长的网格单元，具有期望方向和长宽比由一个黎曼度量张量场[alauzet和loseille给定2010]。对于曲面造型，在逼近理论中证明了二者的最佳逼近光滑曲面有一个给定的三角形的数目时，实现的各向异性三角形遵循曲率特征值和特征向量张量[辛普森1994；Heckbert和花环1999]。这可以从图2中的椭球面容易看出的两个主曲率Kmax/平方公里的比例接近1靠近椭球的两端，高达100中间部分。沿方向的各向异性三角形在椭球体中部最小曲率提供最好的近似，而各向同性的三角形是必要的，在其两端。在本文中，我们提出了一种新的各向异性网格划分方法表面赋予了一个黎曼度量。我们依靠particlebased的方案，其中每对相邻颗粒的装备高斯能量。它已被证明[威肯和Heckbert1994]把这个成对的高斯能量最小化，导致粒子的均匀各向同性分布。计算各向异性网格上配备的黎曼度量概念的表面，我们利用一个高维的“嵌入空间”[纳什1954；柯伊伯1955]。我们的方法优化的位置顶点，或颗粒，通过均匀采样的输入表面的高维嵌入。这个嵌入是设计的这样一种方式，当投影回原来的空间（通常是二维或三维），均匀采样变各向异性的尊重输入度量。直接引用到更高的三维嵌入是避免重新表达所有的计算中的条款在高维空间中的点积，以及连接不同空间的映射的矩阵。基于此重新表达式，我们得到原则的能量和力模型，有效地计算在原来的流形上的准牛顿优化算法。最后，三角形是由计算限制各向异性Voronoi图和提取其连接部件的双重。本文提出了以下的贡献，有效地产生高品质的各向异性网格：它介绍了一种新的基于粒子的各向异性制剂啮合。它定义成对的高斯能量和力量在粒子之间，并制定能源优化的高维“嵌入空间”。我们进一步展示了如何各向异性啮合可以转化为各向同性的啮合在这个高维嵌入空间（美国证券交易委员会。3.1）。这个能量被设计成这样一种方式，粒子均匀地分布在这个高维空间的表面上。当能量被优化，相应的粒子在原来的歧管将实现所需输入度量的各向异性采样。它提出了一种计算上可行的和有效的方法为我们的能量优化（美国证券交易委员会。3.2）。高维能量函数和它的梯度被映射回原来的空间，其中的粒子可以直接优化。这种计算方法避免了计算的需要高维嵌入空间。这样的能量优化策略显示了非常快速的收敛速度，而不任何需要明确控制粒子的人口（例如，插入或删除粒子以满足所需的各向异性。2背景及相关作品2.1各向异性的定义各向异性表示距离和角度扭曲。几何，距离和角度可以用点积测量：⟨V，W⟩，这是一个双线性函数映射对矢量对点产品是对称的，积极的，明确的（SPD）。如果点积与另一个SPD双线性形式所取代，然后各向异性空间的定义。我们认为，一个度量M（。），即一个SPD双线性形式，定义在域Ω⊂RM。换句话说，在一个给定的点x∈Ω，点积两向量V和W之间的⟨V，W⟩M（X）。在实践中，度量可以表示为一个对称的米×米矩阵米（×），在这种情况下，点产品成为：⟨v,w⟩M(x)=vTM(x)w.(1)ThemetricmatrixM(x)canbedecomposedwithSingularValueDecomposition(SVD)into:M(x)=R(x)TS(x)2R(x),(2)wherethediagonalmatrixS(x)2containsitsorderedeigenvalues,andtheorthogonalmatrixR(x)containsitseigenvectors.WenotethatagloballysmoothfieldR(x)maynotexistforsurfacesofarbitrarytopology.对于度量设计，我们使用以下2个选项：（1）在我们的一些实验中，我们开始设计一个平滑的缩放场（×）和一个旋转磁场的旋转（×），这是光滑的区域以外的那些奇点，并组成他们到（×）=（×）（×）和米（×）=（×）×（×），这和杜等人是一样的铝。[2005]。它们被定义在曲面的切空间上。假设S1和S2在两对角项（x）对应的切空间的两个特征向量，≤S2和S1。我们简单的叫S2S1作为拉伸比。这个过程将发挥作用后来当用户指定所需的输入度量（美国证券交易委员会。5）。（2）注意到，如果用户由用户提供，则分解为问（×）是非唯一的。等效分解法（×）=问：（x）（x）是不去任何给定矩阵Qo（x）=O（x）Q（x），（×）是一个米×米的正交矩阵。换句话说，问（×）是唯一的旋转。然而，它很容易证明，如果SPD度量m（x）是给定的，它的平方根′Q（x）=√M（X）也是一个SPD矩阵，和这种分解是唯一的（[1985]的喇叭和约翰逊7.2.6定理）和光滑（[1968]的Freidlin2定理）。（×）是一个对称的仿射映射：q（×）=（×）（×）×）=q（×）。在美国证券交易委员会。5.1，我们使用“网格字体”的例子来显示，在我们的框架中，q（×）可以很好地工作，给出一个用户指定的光滑度量字段米（×）。Itisinterestingtonotethatifthemetrictensorfieldisgivenas:M(x)=ρ(x)m2·I,whereρ(x):Ω→RandIistheidentitymatrix,thenM(x)definesanisotropicmetricgradedwiththedensityfunctionρ(x).给出的度量字段M（x）和一个开放的曲线C⊂Ω，长度被定义为切向量的长度的积分用公制米（×）。然后，各向异性距离2点之间的数据，可以被定义为长度的（可能是非唯一）最短的曲线，连接和Y。2.2以前的作品各向异性Voronoi图：通过用公制定义的一个点的产品来代替，各向异性可以计算几何中，引入标准概念的定义例如，Voronoi图和Delaunay三角剖分。最一般的设置是由曼Voronoi图[2000]，取代leibon和Letscher定义的各向异性距离数据挖掘（×）的距离。一些理论上的结果是众所周知的，尤其是曼Voronoi图承认有效的双只有2维[boissonnat等人。2012]。然而，一个实际的执行情况仍在达到[Peyre等人。2010]。为此，两简化用于计算各发电机的Voronoi单元西：VorLabelle(xi)={y|dxi(xi,y)≤dxj(xj,y),∀j}VorDu(xi)={y|dy(xi,y)≤dy(xj,y),∀j}where:dx(y,z)=√(z−y)TM(x)(z−y).第一个定义vorlabelle[2003]Shewchuk贝儿和容易分析的理论。二次曲面的平分线，已知的封闭形式，和一个可证明的正确的Delaunay细化算法可以定义。如此定义的各向异性Voronoi图（AVD）也可以看作一个投影高维动力图[boissonnat等人。2008A]。这个第二定义vordu[杜、王2005]是最适合于劳埃德松弛法在计算中的应用各向异性Voronoi结构。质心Voronoi及其各向异性的版本：一个质心Voronoi（无级变速器）是一个Voronoi图这样每个点西恰逢其Voronoi质心细胞。无级变速器可以通过劳埃德松弛[劳埃德1982]或准牛顿能量优化求解[刘等人计算。2009]。它产生一个常规采样[杜等人。1999，从中一个很好的形状各向同性元素Delaunay三角网被提取。在表面啮合的情况下，可以推广这个定义通过使用短程Voronoi图[2004]科恩Peyre和表面。使计算更简单便宜的，它有可能取代短程Voronoi图与受限Voronoi图（RVD）或约束Delaunay三角网（RDT），在[1994]定义Edelsbrunner和Shah并通过几个网格算法，看到他们和雷[2010]此处参考文献。因此受限Voronoi镶嵌可以定义[杜等人。2003]。随着计算受限Voronoi图的一种有效算法，限制无级变速器可用于各向同性表面网格[燕等人。2009]。CVT是无级变速器（装甲战车技术进一步推广到各向异性）杜等。[2005]用定义vordu在式（4）。在每一个劳埃德迭代，各向异性Delaunay三角剖分与给定的黎曼度量需要建构，这是一个耗时的运行。瓦莱特等人。[2008]提出了一种离散逼近通过聚类的密集预三角的顶点的装甲战车技术域。这个离散的版本比杜等人快得多。连续的装甲战车技术方法，在轻度退化为代价网格质量。太阳等。[2011]介绍了六角形的闵可夫斯基度量为装甲战车技术优化，为了抑制钝角三角形。相比这些装甲战车技术方法，我们基于粒子在能量优化方案避免了中间的迭代AVD的建设，从而显示了更好的性能在美国证券交易委员会。6.1高维空间中的曲面网格划分：嵌入在高维空间中的一致啮合面也已在文献[卡纳斯和Gortler2006˜Kovacs等人的研究。2010；征收bonneel2012´]。Levy和´工作bonneel[2012]是我们最相关的，因为两者都可以被看作是在高维嵌入空间中的能量优化框架。他们延长了CVT的计算一个6D空间以达到曲率适应。特别是，在三维表面上的各向异性啮合转化为各向同性表面上嵌入在6D空间，可CVT配备Voronoi平行直线枚举[征收bonneel2012´]有效地计算。然而，它不为用户提供灵活的控制，通过输入度量张量场的各向异性。我们的方法是设计来处理更多一般各向异性啮合的情况下，用户所需的度量是规定。基于Delaunay三角剖分细化：在Delaunay三角网的点插入各向异性版本已成功地应用于许多实际应用[borouchaki等人。这borouchaki等人。1997b；Dobrzynski和弗雷2008]。boissonnat等人。[2011]2008b；介绍了Delaunay细化的框架，它是基于目标制定围绕每一个顶点的恒星组成的三角形正三角与西度量。整齐为“缝合”相邻的顶点的星星，提出了细化算法，以增加新的顶点，逐步实现最终各向异性啮合。我们的方法是不同的，包括优化的网格中的所有顶点。另一个区别是我们计算的连接组件的双重交会对接[燕等人。2009]代替RDT。在美国证券交易委员会6.3的结果进行了比较。基于粒子的各向异性网格划分：土耳其[1992]介绍了排斥点网格的样本多边形网格的目的。后来扩展Witkin和Heckbert[1994]谁用配成对的粒子高斯能量样本与控制隐式曲面。迈耶等。[2005]制定能源核作为一种改进的有限支持余切函数，显示核心几乎是尺度不变相比，高斯核。后来扩展到处理自适应，各向同性网格的计算机辅助设计模型[布朗森等。2012]随着粒子在参数中的移动每一个曲面的空间。所有这些方法都只是针对表面各向同性采样。处理各向异性网格，博森Heckbert[1996]纳入度量张量为距离函数d（x，y），和用F（x，y）=（1−D（x，y）4）·exp（−D（x，y）4）模型的粒子之间的吸引力和