谈实系数一元二次方程的根的分布

谈实系数一元二次方程的根的分布北京师范大学东莞石竹附属学校邓海军在中学数学中有关实系数一元二次方程的根的问题不少，比方给定一个含有参数的一元二次方程的根的范围，求此方程中参数的取值范围的题就很多，例如：关于x的一元二次方程：2kx2－2x－3k－2＝0的一根大于1，另一根小于1，求k的取值范围。此外在初中数学中还有很多与一元二次方程的根、根的判别式相联系的计算题、证明题，高中阶段的二次函数的图象和性质，一元二次不等式的解法等等都和一元二次方程的根有着密切的联系，这些知识都是中学数学中的重点，同时也是难点，很多同学遇到这些问题总是感到很头痛。问题的实质就是关于实系数一元二次方程的根的分布，一旦把实系数一元二次方程的根的分布的情况（规律）搞清楚了，上述问题也就不那么难了。回顾我们在解答这类题目时，总是要运用到判别式，韦达定理，然后结合二次函数图象特点。其实，我们从中并不难发现有关一元二次方程的根的分布的一些特点。设为常数cbaacbxaxxf,,,02，不妨设0a结论1：实系数一元二次方程02cbxax(0a)二实根21,xx介于m、n(m﹤n)之间的充要条件是：0，nabm2,0mf,0nf证明必要性：方程有二实根0,21则xx由nxxm21nxxmxx222121nabm2abxx210021mfmxmx,0021nfnxnx充分性：002cbmammf又0﹙mab2﹚﹙mab2﹚﹥0∵0202mabmab从而02mab∴mx1mx2同理可得nx1nx2∴方程二根1x、2x介于m、n(nm)之间例题：求证一元二次方程02baxx二实根、满足2,2的充分条件是:42ba且4b证明：利用结论1，此方程二实根、介于－2与2之间的充分条件是：①042ba②222a③024ab④024ab由③+④得4b且有bab424∴42ba又由①知24ab由②知4a∴1642ab∴4b∴44b∴4b结论2：实系数一元二次方程02cbxax(0a)二实根2121,xmxxx满足的充要条件是：0，0mf证明必要性：方程有二不等实根21,xx则0002121mfmxmxxmx充分性：002cbmammf又0﹙mab2﹚﹙mab2﹚0ⅰ022mabmab若从而02mabⅱ022mabmab若从而02mab由上可知方程02cbxax(0a)二实根2121,xmxxx满足现在我们用结论2来解答题首提出的问题，只需要解下面两个不等式组020401462kkkk020401462kkkk从而可求出问题的解k的取值范围是：4,0kk或，看得出来利用上述结论解题方便，答案准确。实系数一元二次方程02cbxax(0a)的根的分布显然不止这几种情况，限于篇幅，就不一一给出证明，现将所有可能情况列成下表（只就0a）结合相应二次函数的图象介绍如下条件根的分布情况二次函数图象0nabm20mf0nfnxxm21＝0时1x＝2xxymno-b/2axx1200mf21xmx21xxomyx00mfmab2mxmx21,＝0时1x＝2xxymoxx1200mfmab2mxmx21,＝0时1x＝2x21xxomyx00nf0mf0pfnxm1mpxn2pnm21xxonmyxp显然，我们弄清了实系数一元二次方程02cbxax(0a)的根的分布以后，使我们面对有关实系数一元二次方程的根的问题，二次函数的图象和性质的问题、一元二次不等式极其应用，甚至一些综合问题的解答都将变得思路清晰，游刃有余。