翻折问题学案

立体几何的动态问题之二———翻折问题立体几何动态问题的基本类型：点动问题；线动问题；面动问题；体动问题；多动问题等一、面动问题（翻折问题）：（一）学生用草稿纸演示翻折过程:（二）翻折问题的一线五结论.DFAE一线：垂直于折痕的线即五结论：1）折线同侧的几何量和位置关系保持不变；折线两侧的几何量和位置关系发生改变；2--DHFDHF）是二面角的平面角；3DDF）在底面上的投影一定射线上；二、翻折问题题目呈现：（一）翻折过程中的范围与最值问题1、（2016年联考试题）平面四边形ABCD中，AD=AB=2，CD=CB=5,且ADAB，现将△ABD沿对角线BD翻折成'ABD，则在'ABD折起至转到平面BCD的过程中，直线'AC与平面BCD所成最大角的正切值为_______.解：由题意知点A运动的轨迹是以E为圆心,EA为半径的圆，当点A运动到与圆相切的时候所称的角最大，所以3tan'3ACB。【设计意图】加强对一线、五结论的应用，重点对学生容易犯的错误12进行分析，找出错误的原因。2、2015年10月浙江省学业水平考试18）.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，线段AD，BD的中点分别为E，F。现将△ABD沿对角线BD翻折，则异面直线BE与CF所成角的取值范围是DABECDABC4)''DHDH点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；5AD'EAE.）面绕翻折形成两个同底的圆锥ECAA.(,)63B.(,]62C.(,]32D.2(,)33分析：这是一道非常经典的学考试题，本题的解法非常多，很好的考查了空间立体几何线线角的求法。方法一：特殊值法（可过F作FH平行BE,找两个极端情形）方法二：定义法：利用余弦定理：222254cos243FHFCCHFHCCHFHFC，有32144CH11cos,22CFH异面直线BE与CF所成角的取值范围是(,]32方法三：向量基底法：111()()222BEFCBABDFCBAFCBFFAFC111cos,cos,,222BEFCFCFA方法四：建系：3、（2015年浙江·理8）如图，已知ABC，D是AB的中点，沿直线CD将ACD折成ACD，所成二面角ACDB的平面角为，则（B）A.ADBB.ADBC.ACBD.ACB方法一：特殊值方法二：定义法作出二面角，在进行比较。方法三：抓住问题的本质，借助圆锥利用几何解题。4、（14年1月浙江省学业学考试题）如图在Rt△ABC中，AC＝1，BC＝x，D是斜边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程EFBDCAH中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是(A)A．(0，3]B.22，2C．(3，23]D．(2，4]方法一：利用特殊确定极端值方法二：在DAB中利用余弦定理转化为BDA的函数求解。方法三：取BC的中点E,连接EA,ED在DEA中利用两边之和大于第三边求解。（二）翻折之后的求值问题5、（2016届丽水一模13）已知正方形ABCD，E是边AB的中点，将ADE△沿DE折起至DEA，如图所示，若ACD为正三角形，则ED与平面DCA所成角的余弦值是2556、（2016届温州一模8）如图，在矩形ABCD中，2AB，4AD，点E在线段AD上且3AE，现分别沿,BECE将,ABEDCE翻折，使得点D落在线段AE上，则此时二面角DECB的余弦值为(D)A．45B．56C．67D．78三、课后练习1、（2012年浙江10）已知矩形ABCD，AB=1，BC=2。将ABD沿矩形的对角线BD所DECEDABCAB在的直线进行翻折，在翻折过程中（B）A.存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直.B.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直.C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直.D.对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直2（2009年浙江17）如图，在长方形ABCD中，AB=2,BC=1,E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点，现将AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC,在平面ABD内过点D作DK⊥AB,K为垂足，设AK=t,则t的取值范围是__1(,1)2_____.3、（16年浙江六校联考）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为正方形边上的动点，现将△ADE所在平面沿AE折起，使点D在平面ABC上的射影H在直线AE上，当E从点D运动到C，再从C运动到B，则点H所形成轨迹的长度为______.4、（2010年浙江19改编）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，432FDAFEBAE．沿直线EF将AEF翻折成EFA'，使平面EFA'平面BEF．点NM,分别在线段BCFD,上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与'A重合，则线段FM的长为________5、（16届金华十校一模17）如图，在矩形ABCD中，已知AB=2，AD=4，点E、F分别在AD、BC上，且AE=1，BF=3，将四边形AEFB沿EF折起，使点B在平面CDEF上的射影H在直线DE上.(Ⅰ)求证:CD⊥BE;AMFEDCBN'ADACBEABDCBDCA'(Ⅱ)求线段BH的长度；(Ⅲ)求直线AF与平面EFCD所成角的正弦值.17.解：（1）由于BH平面CDEF，∴CDBH，又由于DECD，HDEBH，∴EBDCD平面，∴BECD.法一：（2）设hBH，kEH，过F作FG垂直ED于点G，因为线段BE，BF在翻折过程中长度不变，根据勾股定理：22222222222222)2(295khkhGHFGBHFHBHBFEHBHBE，可解得12kh，∴线段BH的长度为2.（2）延长BA交EF于点M，因为3:1::MBMABFAE，∴点A到平面EFCD的距离为点B到平面EFCD距离的31，∴点A到平面EFCD的距离为32，而13AF，直线AF与平面EFCD所成角的正弦值为39132.法二：（2）如图，过点E作DCER∥，过点E作ES平面EFCD，分别以ER、ED、ES为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设点)0,0)(,,0(zyzyB，由于)0,2,2(F，5BE，3BF，∴9)2(4,52222zyzy解得,2,1zy于是)2,1,0(B，所以线段BH的长度为2.（3）从而)2,1,2(FB，故)32,31,32(31FBEA，)32,37,38(EAFEFA，FCABDEHAEFCDB设平面EFCD的一个法向量为)1,0,0(n，设直线AF与平面EFCD所成角的大小为，则39132sinnFAnFA.立体几何的动态问题之三———最值、范围问题1、（2006年浙江·理14）正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是.ABP2、（2008年浙江·理10）如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足，若点P在平面a内运动使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（）（A）圆（B）椭圆（C）一条直线（D）两条平行直线3、（15届高考模拟卷·文）如图，已知球O是棱长为1的正方体1111ABCDABCD的内切球，则平面1ACD截球O的截面面积为4、（2014年金华高二十校联考·文10）圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，M为正方形ABCD对角线的交点，动点P在圆柱下底面内（包括圆周），若直线BM与直线MP所成角为45°，则点P形成的轨迹为()A．椭圆的一部分B．抛物线的一部分C．双曲线的一部分D.圆的一部分5（2014·浙江卷理科17）某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB＝15m，AC＝25m，∠BCM＝30°，则tanθ的最大值是________．(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)6（2015·浙江卷8）如图11­10，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB＝30°，则点P的轨迹是()A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线的一支式题（1）如图，平面α的斜线AB交α于B点，且与α所成的角为θ，平面α内有一动点C满足∠BAC＝π6，若动点C的轨迹为椭圆，则θ的取值范围为________．(2)在正四面体ABCD中，M是AB的中点，N是棱CD上的一个动点，若直线MN与BD所成的角为α，则cosα的取值范围是________．7、(2014年7月浙江学考第25题)在棱长为1的正方体1111ABCD-ABCD中，E、F分别是棱1111ADCD、的中点，Ｎ为线段1BC的中点，若Ｐ、M分别为1DB、EF的动OABCDA1B1C1D1·BACDMP点，则PM+PN的最小值为8、（16届嘉兴一模·文15）边长为1的正方体1111DCBAABCD将其对角线1AC与平面垂直，则正方体1111DCBAABCD在平面上的投影面积为．9、（16届高考模拟卷·理）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，底面ABCD的对角线BD在平面α内，则正方体在平面α内的投影构成的图形面积的取值范围是．10、（16届高考模拟卷·理）将一个棱长为a的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动，则a的最大值为（）A．6622B．6632C．32232D．3322311、（16届宁波一模·理14）在ABC中，10,30BACACB，将直线BC绕AC旋转得到1BC，直线AC绕AB旋转得到1AC，则在所有旋转过程中，直线1BC与直线1AC所成角的取值范围为____．12、（16届金华十校一模·理14）在四面体ABCD中，已知AD⊥BC，AD=6，BC=2，且==2ABACBDCD，则V四面体ABCD的最大值为A.6B.211C.215D.813、（15年上海高考题改编）在四面体ABCD中，已知BCAD，2BC,6AD，),7t(tCDACBDAB，则ABCDV四面体最大值的取值范围是A.,72B.,3C.,22D.,2【答案】B.【解析】试题分析：设ADC，设2AB，则由题意1ADBD，在空间图形中，设ABt，在ACB中，2222222112cos22112ADDBABttADBADDB，在空间图形中，过A作ANDC，过B作BMDC，垂足分别为N，M，过N作//NPMB，连结AP，∴NPDC，则ANP就是二面角ACDB的平面角，∴ANP，在RtAND中，coscosDNADADC，sinsinANADADC，同理，sinBMPN，cosDM，故2cosBPMN，显然BP面ANP，故BPAP，在RtABP中，2222222(2cos)4cosAPABBPtt，在ANP中，222coscos2ANNPAPANPANNP2222sinsin(4cos)2sinsint