谈微元法在高中物理解题中的应用

谈微元法在高中物理解题中的应用高中物理中，由于数学学习上的局限，对于高等数学中可以使用积分计算的一些问题，在高中很难解决。例如对于求变力做功或者对物体做曲线运动时某恒力所做功的计算；又如求某做曲线运动的某质点运动的路程，这些问题对于中学生来讲，成为一大难题。但是如果应用积分的思想，化整为零，化曲为直，采用“微元法”，可以很好的解决这类问题。“微元法”通俗地说就是把研究对象分为无限多个无限小的部分，取出有代表性的极小的一部分进行分析处理，再从局部到全体综合起来加以考虑的科学思维方法，这个方法充分体现了微积分思想。高中物理的瞬时速度、瞬时加速度、感应电动势等等，都是用这种方法定义的。微元法是分析、解决物理问题的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思维的处理，进而使问题求解，使用此方法会加强我们对已知规律的再思考，从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。一、用微元法解题的基本方法和步骤例1：如图所示，水平放置的导体，电阻为R，R与两根光滑的平行金属导轨相连，导轨间距为L，其间有垂直导轨平面的、磁感应强度为B的匀强磁场。导轨上有一导体棒ab，质量为m，以初速度v0向右运动，求这个过程的总位移？解析：根据牛顿第二定律，导体棒在运动过程中受到安培力的作用，导体棒做非匀减速运动，22BLvBILmaR-=-=在某一时刻取一个微元22iBLvvmRtD-=D变式22iBLvtmvR-D=D两边求和22iBLvtmvR-錎=錎因iivtxD=D故()2200BLxmvR-=-得022mvRxBL=小结：处理非匀变速运动问题时，从对事物的极小部分（微元）分析入手，达到解决事物整体的方法。地使用微元法处理问题时，需疳其分解为众多微小的“元过程”，每个“元过程”所遵循的规律相同，这样，只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法（累计求和）进而使问题求解。解题过程中，常常遇到非匀变速运动过程中求位移，电量，能量等问题，灵活运用微元的思想，可以帮助我们更深刻的理解物理过程。微元法的解题思路：①选取“微元”，将瞬时变化问题转化为平均变化问题（避免直接求瞬时问题的困难）；②利用数学“微积分”知识将平均变化问题转化为瞬时变化问题（充分利用数学工具，既完成问题“转化”又保证问题的性质不变，又能简单地求得结果）微元法的解题步骤：①确定研究对象，选取“微元”；②列出微元的方程；③对相关微元进行累积求和或求导。二、微元法的应用1．利用“微元”中变力做功的特点推导出力所做的功例2：如图（1）a所示，某个力F=10N作用于半径R=1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向保持任何时刻均与作用点的切线一致，则转动一周，这个力F做的功为多少？解析：由于力F的方向与作用点的速度方向一致，因此力F做功来为零，且此力不为恒力。可以考虑把圆周划分为很多“微元”来研究。如图（1）b所示。当各小段的弧长sD足够小（0sD?）时，在这段内F的方向几乎与该小段的位移重合，则F做的总功为()123220WFsFsFsFRJp=D+D+D=?。这等效于将本是曲线的圆周拉直。在这里，力F所做的功相当于力和物体运动路程的乘积。2.“微元法”应用于求非匀变速运动中的速度例3：（08·江苏）如图所示，间距为l的两条足够长的平行金属导轨与水平面的夹角为q，导轨光滑且电阻忽略不计.场强为B的条形匀强磁场方向与导轨平面垂直，磁场区域的宽度为d1，间距为d2，两根质量均为m、有效电阻均匀为R的导体棒a和b放在导轨上，并与导轨垂直.（设重力加速度为g）（1）若d进入第2个磁场区域时，b以与a同样的速度进入第1个磁场区域，求b穿过第1个磁场区域过程中增加的动能KED；（2）若a进入第2个磁场区域时，b恰好离开第1个磁场区域;此后a离开第2个磁场区域时，b又恰好进入第2个磁场区域.且a、b在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相等.求a穿过第2个磁场区域过程中，两导体棒产生的总焦耳热Q；（3）对于第（2）问所述的运动情况，求a穿出第k个磁场区域时的速率v.解析：(1)因为a和b产生的感应电动势相等，按回路方向相反，所以感应电流为0，所以a和b均不受安培力作用，由机械能守恒知，1sinkEmgdqD=……①（2）设导体棒刚进入无磁场区域时的速度为v1，刚离开无磁场区域时的速度为v2，即导体棒刚进入磁场区时的速度为v2，刚离开磁场区域时的速度为v1，由能量守恒知，在磁场区域中，2212111sin22mvQmvmgdq+=+……②在无磁场区域中，2221211sin22mvmvmgdq=+……③解得Q=mg(d1+d2)sinq（3）设导体棒在无磁场区域和有磁场区域的运动时间都为t，在无磁场区域根据匀变速直线运动规律v2-v1=gtsinq……④且平均速度2122vvdt+=……⑤有磁场区域棒a受到合力F=mgsinq-BIl感应电动势E=Blv感应电流I=2ER解得F=mgsinq-222BlRv……⑥因为速度v是变量，用微元法根据牛顿第二定律，在t到t+tD时间内FvtmD=DFvtmD=D邋则有22[sin]2BlvvgtmRqD=-D邋解得v1-v2=gtsinq-222BlRd1……⑦联列④⑤⑦式，得222112214sin8mgRdBldvvBldmRq==-3．“微元法”应用于求非匀速运动中的时间例4：（09•江苏）如图所示，两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上，导轨间距为L、足够长且电阻忽略不计，导轨平面的倾角为α，条形匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B、方向与导轨平面垂直．长度为2d的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成“”型装置，总质量为m，置于导轨上．导体棒中通以大小恒为I的电流（由外接恒流源产生，图中未画出）．线框的边长为d（d＜L），电阻为R，下边与磁场区域上边界重合．将装置由静止释放，导体棒恰好运动到磁场区域下边界处返回，导体棒在整个运动过程中始终与导轨垂直．重力加速度为g．求：（1）装置从释放到开始返回的过程中，线框中产生的焦耳热Q；（2）线框第一次穿越磁场区域所需的时间t1；（3）经过足够长时间后，线框上边与磁场区域下边界的最大距离Χm．解析：（1）设装置由静止释放到导体棒运动到磁场下边界的过程中，作用在线框上的安培力做功为W。由动能定理mgsin4d+W-BILd=0a×且Q=-W解得Q=4mgdsin-BILda（2）设线框刚离开磁场下边界时的速度为v1，则接着向下运动2d,由动能定理得：211mgsin2d-BILd=0-mv2a×装置在磁场中运动时收到的合力F=mgsin-Fa¢′感应电动势E=Bdv感应电流EI=R¢安培力F=BIdⅱ由牛顿第二定律，在t到t+△t时间内，有Fv=mtDD则22sinBdvvgtmRa轾犏錎=?D犏臌有22112sinBdvgtmRa=-解得()231222sinsinBdmBILdmgdRtmgaa-+=（3）经过足够长时间后，线框在磁场下边界与最大距离xm之间往复运动由动能定理mmmgsinx-BIL(x-d)=0a×得sinmBILdxBILmga=-4.应用“微元法”求非匀变速运动中的位移例5：从地面上以初速度v0竖直向上抛出一质量为m的球，若运动过程中受到的空气阻力与其速率成正比关系，球运动的速率随时间变化规律如图所示，t1时刻到达最高点，再落回地面，落地时速率为v1，且落地前球已经做匀速运动．求：（1）球从抛出到落地过程中克服空气阻力所做的功；（2）球抛出瞬间的加速度大小；（3）球上升的最大高度H。解：（1）由动能定理得20212121mvmvWf克服空气阻力做功21202121mvmvWWf（2）空气阻力kvf落地前匀速运动，则01kvmg刚抛出时加速度大小为a0，则00makvmg解得gvva1001（3）上升时加速度为a，makvmgvmkga取极短△t时间，速度变化△v，有：vmktgtav又htv上升全程hmktgvv00则Hmkgtv10gvgtvH1105.“微元法”求变化电量的运用例6：如图，水平放置的导体电阻为R，R与两根光滑的平行金属导轨相连，导轨间距为L，其间有垂直导轨平面的、磁感应强度为B的匀强磁场。导轨上有一ab质量为m导体棒以初速度v0向右运动。（1）导体棒将做什么运动？（2）能否求出全过程中通过导体某个横截面的电量？解析：（1）加速度越来越小的减速运动最终静止。（2）在某一时刻取一个微元tiqRBLvi根据牛顿第二定律，导体棒在运动过程中受到安培力，导体棒做匀减速运动vmtBiL两边求和vmtiBL因此00vmBLqBLmvq0总之，“微元法”是分析、解决高中物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法，更是近几年高考提倡的处理问题的数学方法，是高考的热点。结合“微元法”可以考查电磁感应、力学等方面的知识，运用这一方法不仅丰富了处理问题的手段，拓展了我们的思维，还为高中阶段的后续学习奠定了思维基础。因此，高三学生就当熟练掌握。用微元法巧解a-t图象图象问题是高考考查的热点.在全国各地的高考试题中,均有一定数量的图形考题出现,且占有较大的分值比例,有关图象试题的设计意图,明显由“注重对状态的分析”转化为“注重对过程的理解和处理.处理该类问题过程中往往要借助于物理图象的斜率,物理图象的斜率代表一物理量随另一物理量变化的快慢,即用两物理量增量的比值来表示,斜率往往代表另外一个有特定意义的物理量,如s-t图象中的斜率为速度,v-t图象中的斜率为加速度,由此可推知,任一图象中的斜率均可表示为,那么a-t图象的斜率表示什么物理意义呢?a-t图象一般考查的是变力作用下加速度随时间的变化关系,学生往往不会分析加速度随时间变化的快慢,学生在这方面失分较多,笔者平时教学过程中,尝试用微元法教学,效果比较明显.例1