谈解高考题的一些思维策略

1百度文库专用谈解高考题的一些思维策略浙江省奉化中学(315500)孙伟奇数学问题的解决,最终是通过思维实现的，启迪思维、培养思维能力和优化学生的思维品质，是数学教育的核心。在数学教学中，传授具体思路并不是培养人思维能力的主要方法，更重要的是在学生思维实践的基础上，帮助他们总结策略思想，尽量把思考提高到策略水平，以增强思维品质.近年来高考题的命题以能力立意，因此在解题教学中总结解题的思维策略，不仅能使学生学会解决更广泛更多样的问题，还能适应高考命题的这一改革，更何况经常在教学中总结解题策略，也能使高三复习的效率得以提高。本文以近几年全国高考题为例，就其思维策略谈谈自己的体会.一、缩格策略缩略策略是指在问题的条件系中寻找最小的独立完全系，从而把问题只涉及最小独立完全系的问题的策略。例如等差数列、等比数列的变量系中只含有三个独立变量；有心圆锥曲线也只有三个独立变量；对于几何题也常用寻找最小独立完全系的方法，使问题得到解决.例1、（2003年理科第7题）已知方程0)2)(2(22nxxmxx的四个根组成一个首项为41的等差数列，则nm……………………………………………………（）（A）1（B）43（C）21（D）83分析：解题时，总是把复杂的问题最大限度地转化为只涉及到最基本的几个独立变量的问题，观察本题，虽然所涉及到等差数列的四项，但独立变量只有首项与公差，而由条件，首项已知，所以这里的独立的变量只有一个公差d.2设四项依次为ddd341,241,41,41，注意到020222nxxmxx与中的一次项系数均为2，所以，以上四项中的第一、四项是一个方程的根，而第二、三则是另一个方程的根，于是我们有：2321d21d，所以四根为：47,45,43,41由韦达定理，不妨设为21,1615,167nmnm，故选C。例2、（2003年理科第12题）一个四面体的所有棱长都为2，四个项点在同一球面上，则此球的表面积为……………………………………………………………………（）（A）3（B）4（C）33（D）6分析：如图,BCDA是球的内接正四面体,所有棱长都为2,O是球心，AE是球的直径，AF是四面体在面BCD的高，不难得到，三角形ABE是直角三角形，所以这个问题归结为只涉及到三角形ABE中的有关线段的问题，因为AE=2R，又3322362AFAB，于是，由233)332()2(22RAEAEAEAFAB，所以，此球的表面积为3)23(42，选A.例3、（97年理科25题）已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的E.ABCDO.F3比为3∶1；在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线02:yxl距离最小的圆的方程.分析：由已知可设所求的方程为：222)()(rbyax，其中)0(r，把问题转化为rba,,这三个变量的求解问题。而由条件可得122222arbr，又点),(ba到直线02yx的距离为52bad，所以，abbabad4425222212)(24222222abbaba，当且仅当ba是时取等号，即当ba时d取最小值1。所以得到1222abba，此时把问题中的独立的变量变成了2个。解得：11,11baba或，可得2r.于是所求的圆的方程为.2)1()1(,2)1()1(2222yxyx或二、降格策略降格策略是指当人们对复杂的事物或抽象的事物一时认识不清时，暂时退到简单的仍能保持事物特征的形态寻找事物的规律或关系的一种策略，如解方程或方程组时的“消元”、“降次”，复数集的问题通过yixz转化为实数集的问题；空间问题归纳为平面问题或直线问题的“降维法”；任意角的三角函数化为)2,0[内的三角函数；为了发现nk的规律，先观察n1、2、3时的情况等等.例4、（1999年理科第4题）函数)0)(sin()(xMxf在区间],[ba上是增函数，且,)(Maf4Mbf)(，则函数)cos()(xMxg在],[ba上…………（）（A）是增函数（B）是减函数（C）可以取得最大值M（D）可以取得最小值M分析：对于题设条件，我们考察一个不改变问题性质而又简单的问题，取2,2,0,1,2baM，则xxfsin2)(符合条件，而xxgcos2)(，易得“可以取得最大值M”故选（C）.例5、（1992年理科第9题）在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有………………（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个分析：四棱锥是多种多样的，我们从侧面是直角三角形这个条件出发，找一个简单的特殊四棱锥，其底面ABCD是矩形，且一条侧棱PA⊥底面AC，结合三垂线定理可得四个侧面都是直角三角形，故选（D）.例6、（90年理科18题）已知}{na是公差不为0的等差数列，如果nS是}{na的前n项和，那么nnnSnalim等于_______________分析：我们知道，一个无穷数列若有极限，其极限为唯一且是常数，因此无穷数列}{nnSna如存在极限，必是唯一的常数，由此给出题设中的一个特殊等差数列：1，2，3，……，n……此时nan，),1(21nnSn于是无穷数列)1(212nnn5的极限为2.例7、（2000年理科20题）（Ⅰ）已知数列}{nc，其中nnnc32，且数列}{1nnpcc为等比数列，求常数p对于这样一个复杂的数列，我们注意到p是常数，于是我们考虑这个数列的前三项：令3,2,1n依题意可得342312,,pccpccpcc即pp1335,513，p3597成等比，由32)3597)(513()1335(2ppppp或。三、升格策略升格策略是指把维数较低或抽象水平较低的有关问题转化为维数较高，抽象水平较高或整体性较强的整体间的问题，通过对整体性质或关系的考察，而使原来的问题获得解决.例8、（1996年理科15题）设)(xf是),(上的奇函数，),()2(xfxf当)10(x时，xxf)(则)5.7(f等于…………………………………………………………（）（A）0.5（B）5.0（C）1.5（D）5.1分析：我们局部扩大到整体，考虑Zkkkx],14,14[的函数解析式，根据题设)(xf是奇函数，且当)10(xxxf)(，所以]1,1[x时，xxf)(，又由于),()2(xfxf所以)()4(xfxf，于是我们得到：],14,14[kkx时有.4)4()(kxkxfxf而]9,7[5.7，所以5.085.7)5.7(f，选B.例9、（91年理科20题）6在球面上有四个点，P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球面的面积是____________分析：我们从整体上考虑另一个问题，以PA、PB、PC为棱组成球的内接正方体，从这个整体考察，球面直径就是这个正方体的一条对角线长.所以球面面积为.3)23(422aa例10、（2003年文科第17题）已知正四棱柱111111,2,1,CCEAAABDCBAABCD为点中点，点F为1BD中点.（Ⅰ）证明11CCBDEF与为的公垂线；（Ⅱ）求点1D到面BDE的距离.（Ⅰ）证略.（Ⅱ）分析：我们把1D、B、D、E这四个点看成一个整体，它组成一个三棱锥，由DBEDDBDEVV11，并设1D到面BDE的距离为d，于是我们有.1EFSdSDBDDBE（*）22221,22,2,1,211DBDSEFEDBEBDABAA，.23)2(23212DBES分别代入（*）便可得332d.四、更格策略更格策略是指保持数学问题的某些不变性质，改变信息形态，借以解决问题的策略.这种策略就是数学上常用的化归的思想方法.如换元，方程的同解变7形；平移变换；坐标与向量间互化；参数法；数形结合等等.例11、（2000年理科15题）设是首项}{na为1的正项数列，且)3,2,1(,0)1(1221naanaannnnn，则它的通项公式是na__________分析：将已知等式视为关于1na的一元二次方程，解得1na=nann1或nnaa1．其中nnaa1与题设0na恒成立矛盾，故1na=nann1由,11a31,2132aa……可得nan1.例12、（2000年理科14题）椭圆14922yx的两焦点为21,FF，点P为椭圆上的动点，当21PFF为钝角时，点P横坐标的取值范围是___________分析：题目无论条件还是结论都是以数的形式给出的，我们从形的角度去观察，由于椭圆的对称性，只考虑点P自长轴的右端点A运动至短轴的上端点B的过程．当点P重合于A时，∠F1PF2=0，随着点P逐渐向点B运动时，∠F1PF2逐渐增大，由锐角到直角，再由直角到钝角．当∠F1PF2=90°时，点P在以椭圆两焦点的连线F1F2为直径的圆上，这时点P坐标满足522yx，与14922yx联立，并消去y，得1952x，解得553x.由此可得当∠F1PF2为钝角时，)553,553(x.本题的这种思维方法运算量小，其原因还在于合理应用了运动变换的思想方法．8五、分格策略分格策略是指把综合性较强的数学问题看成是若干个子问题构成的整体，把一个问题分解为若干个较容易解决的子问题的策略。例13、（2003年理科第3题）设函数0,,0,12)(1xxxxfxx若,1)(0xf则0x的取值范围是（）（A）)1,1(（B）（,1）（C）),0()2,(（D）),1()1,(分析：只要把0x分成大于等于0，和小于0的两种情况，很容易得出正确的答案:若00x，则由1)(0xf得11112000xxx；若00x则由1)(0xf得110210xx，所以1100xx或，选（D）.例14、（2003年理科15题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色.现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有______分析：我们不难发现要使相邻区域不同色，至少要使用三种颜色，于是我们可以把这个问题分解成2个子问题：（1）用3色.此时③、⑤，②、④须同一色，故不同的着色方法有24234种；②用4色.此时③、⑤，②、④中其中一组用同一色,故不同的着色方法为484412PC种，所以不同的着色方法共有72种.例、15（1996年理科25题）已知cba,,是实数，函数,)(,)(2baxxgcbxaxxf9当11x时，.1)(xf（1）证明：1c；（2）证明：当11x时；2)(xg（3）……分析：（1）略.（2）不难发现a的符号变化可引起)(xg的增减性的变化，因而可能引起)(xg范围的变化，于是我们从a的符号出发把这个问题分解成三个比较易于解决的子问题.当]1,1[)(0在时baxx，ga上是增函数，)1()()1(gxgg，,2)1()1()1(,1),11(1)(cfcfbagcxxf,2))1(()1()1(cfcfbag由此得：2)(xg；当]1,1[)(0在时baxx，ga上是减函数，)1()()1(gxgg,2)1()1()1(,1),11(1)(cfcfbagcxxf,2))1(()1()1(cfcfbag由此得：2)(xg当0a时，cfxgxcbxxfbxg)1()(,11,)(,)(2)