考研数学线代真题—矩阵

点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料2017考研已经拉开序幕，很多考生不知道如何选择适合自己的考研复习资料。中公考研辅导老师为考生准备了【线性代数-矩阵知识点讲解和习题】，希望可以助考生一臂之力。同时中公考研特为广大学子推出考研集训营、专业课辅导、精品网课、vip1对1等课程，针对每一个科目要点进行深入的指导分析，欢迎各位考生了解咨询。第二章矩阵综述：矩阵是线性代数中最基本的内容，线性代数中绝大多数运算都是通过矩阵进行的。本章相关的概念和运算贯穿整个学科，在后续章节中有很重要的运用。考试直接考查本章的知识点以选择题或填空题为主，平均每年1到2道。但实质上，线性代数中基本上没有题目不涉及到矩阵以及矩阵的运算的。因此，本章的复习效果在很大程度上决定了整个学科复习的成败。本章的主要知识点有：矩阵的概念，矩阵的各种运算及其法则，逆矩阵的概念，伴随矩阵的概念，伴随矩阵和逆矩阵的关系以及矩阵可逆的充要条件，初等变换与初等矩阵，利用初等行变换计算逆矩阵，矩阵的等价，矩阵的秩。复习时要以矩阵的运算为线索，系统把握所有知识点。矩阵的运算中，核心的是矩阵的乘法，要特别注意与乘法相关的各种特殊的运算规律：如交换律和结合律都不成立。本章考查最多的考点是逆矩阵，这一部分可以从三个方面来把握:一是它的定义，二是它与伴随矩阵的关系，三是利用初等变换计算逆矩阵的方法。最后，对于矩阵的秩，要着重理解它的定义，理解它和行列式以及矩阵的可逆性的关系。本章常考的题型有：1.对矩阵的运算的考查，2.对逆矩阵的考查，3.初等变换，4.矩阵方程，5.矩阵的秩，6.矩阵的分块。常考题型一：矩阵的运算1.【1994—13分】已知1,2,3，111,,23，设TA，其中T是的转置，则nA_______.点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料2.【1999—33分】设101020101A，而2n为正整数，则12nnAA_________.3．（2003-24分）设为3维列向量，T是的转置.若111111111T，则T=.【小结】：对于可以写成121233aAabbba形式的矩阵，利用矩阵乘法的结合律，都有和本题类似的结论：1nnAMA，其中112321122333aMbbbaabababa。常考题型二：逆矩阵（1）．利用定义计算逆矩阵4.【2001—13分】设矩阵A满足24AAEO，其中E为单位矩阵，则1AE______.5.【2000—23分】设1000230004500067A，E为4阶单位矩阵，且1()()BEAEA，则1()EB________6.【2003—34分】设n维向量0,),0,,0,(aaaT；E为n阶单位矩阵，矩阵TEA，TaEB1，其中A的逆矩阵为B，则a=.7．（2002-26分）已知,AB为3阶矩阵，且满足124ABBE,其中E是3阶单位矩阵.(1)证明：矩阵2AE可逆；点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料(2)若120120002B,求矩阵.A8.(1997-33分)设,AB为同阶可逆矩阵,则()(A)ABBA(B)存在可逆矩阵P,使1PAPB(C)存在可逆矩阵C,使TCACB(D)存在可逆矩阵P和Q,使PAQB【小结】：一般地，若方阵A满足2AlAmEO，则对任何常数n，总可凑出分解式：AnEAlnEnlnmE，这里，若常数0nlnm，则AnE可逆，且有11AnEAlnEnlnm。需要考生注意的是，对于一般的矩阵,AB，公式22()()AnBAmBAmnABmnB不一定成立。该公式成立的充要条件是,AB可交换。（2）．矩阵可逆的充要条件9..【1997—13分】设12243311At，B为三阶非零矩阵，且ABO，则t_______.10.【2008—1234分】设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵.若30A，则（）AEA不可逆，EA不可逆.BEA不可逆，EA可逆.CEA可逆，EA可逆.DEA可逆，EA不可逆.11.【1997—36分】设A为n阶非奇异矩阵，为n维列向量，b为常数.记分块矩阵*0,TTEAPQAAb，其中，*A是矩阵A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵.（1）计算并化简PQ;（2）证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是1TAb.点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料12.【1996—17分】设TAE，其中E是n阶单位矩阵，是n维列向量，T是的转置，证明：12AA的充分必要条件是1T；2当1T时，A是不可逆矩阵.【小结】：证明矩阵A不可逆的方法：1）证明0A；2）反证法；3）证明A不满秩；4）证明0Ax有非零解；5）证明0是A的特征值。（3）．伴随矩阵13.【1994—16分】设A为n阶非零实方阵，*A是A的伴随矩阵，TA是A的转置矩阵，当*TAA时，证明0A.14.【2009—1234分】设A、B均为2阶矩阵，*A、*B分别为A、B的伴随矩阵，若2,3AB，则分块矩阵OABO的伴随矩阵为（）A**32OBAOB**23OBAOC**32OABOD**23OABO15.【1996—33分】设n阶矩阵A非奇异2n，*A是A的伴随矩阵，则()A*1*nAAA.B*1*nAAA.C*2*nAAA.D*2*nAAA16.【1995—33分】设100220345A,*A是A的伴随矩阵，则1*A______________.点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料17.【2005—34分】设矩阵A=33)(ija满足TAA*，其中*A是A的伴随矩阵，TA为A的转置矩阵.若131211,,aaa为三个相等的正数，则11a为()(A)33(B)3(C)31(D)318.【2013—1234分】设(a)ijA是三阶非零矩阵，|A|为A的行列式，ijA为ija的代数余子式，若ijijA0(i,j1,2,3),____aA则19.【1998—23分】设A是任一(3)nn阶方阵,A是其伴随矩阵,又k为常数,且0,1k,则必有()kA()(A)kA(B)1nkA(C)nkA(D)1kA【小结】：伴随矩阵是本章的一个难点，复习时应该从三个方面来把握它：一是它的定义，1,1,1*1,,...............nnnnAAAAA，它在低阶的情况及需要讨论伴随矩阵的相关性质时有很大的作用；二是它最重要的性质：**AAAAAE；三是当矩阵A可逆时，*1AAA，这个公式运用起来最方便，但是要注意必须在确保矩阵A可逆时才能使用。常考题型三：初等矩阵20.【1995—13分】设111213212223313233aaaAaaaaaa，212223111213311132123313aaaBaaaaaaaaa，1010100001P，2100010101P，则必有（）A12APPBB21APPBC12PPABD21PPAB21.【2004—124分】设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得到B，再把B的第2列加到第3列得C，则满足AQC的可逆矩阵Q为（）点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料A101001010B100101010C110001010D10000111022.【2006—1234分】设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的1倍加到第2列得C，记110010001P，则（）A1CPAPB1CPAPCTCPAPDTCPAP23.【2005—124分】设A为2nn阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B，*A、*B分别为A、B的伴随矩阵，则（）A交换*A的第1列与第2列得*BB交换*A的第1行与第2行得*BC交换*A的第1列与第2列得*BD交换*A的第1行与第2行得*B24.【1997—15分】A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到矩阵B.（1）证明B可逆；（2）求1AB.25.【2009—234分】设,AP均为3阶矩阵，TP为P的转置矩阵，且100010002TPAP，若1231223(,,),(,,)PQ，则TQAQ为（）A210110002B110120002C200010002D10002000226.【2001—33分】设11121314212223243132333441424344aaaaaaaaAaaaaaaaa，14131211242322213433323144434241aaaaaaaaBaaaaaaaa，点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料10001010000101000P，21000001001000001P，其中A可逆，则1B等于()112AAPP112BPAP112CPPA121DPAP27.【2012—1234分】设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且1112PAP，123,,P，1223,,Q则1QAQ（）（A）121（B）112（C）212（D）22128.（2011-134分）设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得单位矩阵，记1100110001P，2100001010P，则A()(A)12PP．(B)112PP．(C)21PP．(D)121PP．常考题型四：矩阵方程29.【1997—25分】111011,001A且.2EABA其中E是三阶单位矩阵，求矩阵B．30.【1998—25分】设11(2)TECBAC，其中E是4阶单位矩阵，TA是4阶矩阵A的转置矩阵，点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料1232012300120001B，1201012000120001C,求A.31.【1999—26分】设矩阵111111111A，矩阵X满足12AXAX，其中A是A的伴随矩阵，求矩阵X.32.【1995—13分】设三阶方阵A、B满足关系式：16ABAABA,且100310041007A,则B___