考研数学线代资料—矩阵可逆的充要条件

点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料2017考研已经拉开序幕，很多考生不知道如何选择适合自己的考研复习资料。中公考研辅导老师为考生准备了【线性代数-矩阵可逆的充要条件知识点讲解和习题】，希望可以助考生一臂之力。同时中公考研特为广大学子推出考研集训营、专业课辅导、精品网课、vip1对1等课程，针对每一个科目要点进行深入的指导分析，欢迎各位考生了解咨询。三．矩阵可逆的充要条件1.伴随矩阵设ijA为n阶矩阵A的代数余子式，定义1121112222*12......()...............nnjinnnnAAAAAAAAAAA为A的伴随矩阵。注：注意伴随矩阵中代数余子式的排列顺序里行和列是相反的，*A的第i行的元素是A第i列元素的代数余子式；【例1】：计算下列矩阵A的伴随矩阵*A。（1）abcdA（2）211121112A【答案】：（1）acbd；（2）*333333333A.点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料2.伴随矩阵的性质设A为n阶方阵，*A为它的伴随矩阵则有**AAAAAE。【证明】：注：这是伴随矩阵最重要的性质，它是通过行列式按行与按列展开的定理证明的，考生要掌握其推理过程。该公式不但是解决与伴随矩阵相关问题的关键，更重要的还在于它可以推出矩阵可逆的充要条件：3.矩阵可逆的充要条件定理：设A为n阶方阵，则A可逆的充要条件为0A。【证明】：推论：设A为n阶方阵，那么当AB=E或BA=E时，有1A=B【证明】：注：该定理的意义在于将计算或者验证逆矩阵的工作减少了一半，只需说明AB=E或BA=E即可，但在使用该定理时一定要注意A必须为方阵。【例2】：设3阶方阵A满足2AAE，求（1）1A；（2）13AE。【答案】：（1）AE；（2）25EA.【小结】：一般来说，题目中给出了矩阵的等式，要计算某矩阵的逆矩阵，我们常见的思路就是利用矩阵的运算法则对等式变形、分解因式，从中凑出逆矩阵的定义。【例3】：设ξ为3维列向量，满足1Tξξ，TA=ξξ+E。（1）验证232AAEO；（2）求1AE。【答案】：（2）46EA.点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料【例4】：设,AB均为3阶方阵，且满足ABBAO。证明A+E可逆并求1AE；【答案】：EB。【小结】：矩阵与其逆矩阵是可交换的，类似地，矩阵与其伴随矩阵也是可交换的，这是我们证明矩阵可交换的常见思路。【小结】：利用单位矩阵变形的技巧是解题中很重要的思路。【例6】：设0052002112001100A，试计算1A。【答案】：12003311003312002500.【小结】：逆矩阵的计算方法1）利用定义：设A为n阶方阵，如果能得到AB=E或BA=E，则有-1B=A。这是计算抽象矩阵逆矩阵最常用的方法，一般来说，当题目中给出了相关矩阵的等式时，就可以通过相关运算法则进行变形，凑出等式AB=E或BA=E。2）利用相关性质：一般来说，我们在利用定义计算逆矩阵时，还会结合逆矩阵的相关性质，考生要熟练掌握相关的公式，灵活运用。3）利用初等行变换：设A为n阶可逆矩阵，我们可以通过初等行变换来计算其逆矩阵。对分块矩阵AE做初等行变换，将矩阵A化为E，此时的E就化为了1A，也即-1AEEA行。需要注意的是只能做行变换。例如:计算223110121A的逆矩阵点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料223100110010110010121001121001223100AE110010100143100143011011010153010153043120001164001164因此-1143153164A。计算低阶数值型矩阵的逆矩阵，往往采用初等行变换的方法。考试一般不会直接考查这一方法，但它是我们求解后续章节很多题目的基础，是考生必须熟练掌握的基本技能。4）利用伴随矩阵：公式1*1AAA也可以用于计算逆矩阵。例如，借助2阶矩阵的伴随矩阵的公式，我们有：当0adbc时，11abdbcdcaadbc。但一般来说，伴随矩阵的计算要比逆矩阵的计算复杂，所以我们更多地是反向运用该公式，通过逆矩阵来讨论伴随矩阵。【例7】：设A为n阶可逆矩阵，证明：1*nAA。【例8】：设A为n阶可逆矩阵，0k，证明：*1*nkkAA。【例9】：设100220345A，则1*A。【答案】：110A.点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料【例10】：设A为n阶可逆矩阵，求**A。【答案】：2nAA.【例11】：设,AB均为n阶可逆矩阵，求*AOOB。【答案】：**BAOOAB.【小结】：与伴随矩阵相关的考题是考试的难点之一，一般来说，我们在处理伴随矩阵的时候有两个思路：如果已知矩阵A可逆，则用公式*1AAA；如果矩阵A不可逆或矩阵A是否可逆未知，则使用公式**AAAAAE或直接使用伴随矩阵的定义。在紧张的复习中，中公考研提醒您一定要充分利用备考资料和真题，并且持之以恒，最后一定可以赢得胜利。更多考研数学复习资料欢迎关注中公考研网。点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料