考研数学线性代数强化资料-相似与相似对角化

点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料2017考研已经拉开序幕，很多考生不知道如何选择适合自己的考研复习资料。中公考研辅导老师为考生准备了【线性代数-相似与相似对角化知识点讲解和习题】，希望可以助考生一臂之力。同时中公考研特为广大学子推出考研集训营、专业课辅导、精品网课、vip1对1等课程，针对每一个科目要点进行深入的指导分析，欢迎各位考生了解咨询。模块九相似与相似对角化Ⅰ教学规划【教学目标】1、系统梳理相似的概念与性质2、熟练掌握相似对角化的概念，判断方法及其性质3、熟练掌握矩阵相似对角化的相关运算4、熟练掌握实对称矩阵的特殊性质并利用正交矩阵实现对称矩阵的对角化【主要内容】1、相似的概念与性质定理2、相似对角化的概念与性质3、可对角化的充要条件及充分条件4、实对称矩阵的特殊性质5、实对称矩阵的正交相似对角化点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料6、利用相似对角化求矩阵的幂【重难点】1、矩阵可相似对角化的条件2、相似对角化的相关计算3、实对称矩阵的性质4、实对称矩阵的正交相似对角化Ⅱ知识点回顾一．相似1．基本概念设和为两个阶方阵，如果存在一个阶可逆矩阵使得1BPAP，则称矩阵和相似，记作.2．常见性质1）；2）且矩阵可逆；3），其中为多项式；4）；5）；6）；7），也即相似的矩阵具有相同的特征值.二．相似对角化ABnnPAB~AB~~TTABAB~ABA11~AB~()~()ABfAfB()fx~ABAB~ABtrAtrB~ABrArB~ABEAEB点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料1．基本概念对阶方阵，如果存在一个阶对角矩阵使得与相似，则称矩阵可相似对角化，并把称为矩阵的相似标准型.2．公式定理定理1：阶矩阵可相似对角化的充要条件是矩阵存在个线性无关的特征向量.同时，在等式中，对角矩阵的元素为的个特征值，可逆矩阵的列向量为矩阵的个线性无关的特征向量，并且中特征向量的排列顺序与中特征值的排列顺序一致.推论：设矩阵有个互不相同的特征值，则矩阵可相似对角化.定理2：阶矩阵可相似对角化的充要条件是对任意特征值，属于的线性无关的特征向量个数都等于的重数.推论：阶矩阵可相似对角化的充要条件是对任意特征值，的重数.三．实对称矩阵设为实对称矩阵（），则关于的特征值与特征向量，我们有如下的结论：定理3：的所有特征值均为实数，且的所有特征向量均为实向量.定理4：属于不同特征值的特征向量必正交.定理5：一定有个线性无关的特征向量，即可以相似对角化.且存在正交矩阵，使得，其中为矩阵的特征值.我们称实对称矩阵可以正交相似于对角矩阵.Ⅲ考点精讲一．相似矩阵【例1】下列矩阵中，和相似的是（）（A）（B）nAnAAAnAAn1APPAnPAnPAAnAnAnAnrEAATAAAAAAAnAQ112(,,...,)TnQAQQAQdiag12,,...,nAAB201200000,001000000AB120211231,120015102AB点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料（C）（D）【答案】：C●小结：相似的矩阵具有相同的行列式、迹、秩与特征值，当考查两个矩阵是否相似时，往往可以通过上述矩阵相似的必要条件进行排除：只要两个矩阵的行列式、迹、秩与特征值有任何一项是不完全相等的，那么矩阵就不相似.【例2】已知矩阵与相似，求与.【答案】：0,1【例3】下列矩阵中和矩阵相似的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】：B●小结：当两矩阵满足相似矩阵的所有常见性质时（特征值、行列式、迹、秩全相同），还可以借助于相似对角化来判断：如果两个矩阵都能相似对角化，则相似；如果两个矩阵其中之一能相似对角化另一个不能，则不相似.【例4】设为三阶矩阵，为三维列向量，满足线性无关以及.（1）试求三阶矩阵使得（2）求.【答案】：（1）,（2）201203000,000000000AB200100020,030003003AB20000101Ax20000001Byxy100010102A113025003102010002100110002113015000Ax2,,xAxAx3223AxxAxAxB22,,,,AxAxAxxAxAxB2AE00110201315点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料二．相似对角化的条件【例5】判断矩阵是否可相似对角化【答案】：不能●小结：判断三阶矩阵是否可相似对角化的三种可能的情况：三个特征值互不相同（即有三个单特征值），可对角化；仅有一个三重特征值（设为），当且仅当时，也即时，可对角化；有一个二重特征值和一个单特征值（本题的情况），当且仅当，也即时，可对角化.【例6】下列矩阵中不能相似对角化的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】：C【例7】设问a为何值时A能对角化？【答案】：【例8】设矩阵的特征方程有一个二重根，求的值，并讨论是否可相似对角化.【答案】：；当时，可以相似对角化；当时，不可以相似对角化。【例9】设为阶方阵，满足，证明：（1）；（2）矩阵可以相似对角化.310410482A30rAEAE12132rAE11rAE113025003100010202100000101213142325102014522Aaaa31,2aa构51341321aAaA223a或=--2a=-23a=-An2AArAErAnA点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料三．相似对角化中与的计算【例10】若矩阵相似于对角阵，试确定常数a的值，并求可逆阵P，使.【答案】：●小结：矩阵相似对角化的方法：先计算出矩阵所有的特征值；对于每个特征值，计算出的基础解析（其中为特征值的重数）；以特征向量作为列向量即得到，此时有.相似标准型中特征值的排列顺序可以改变，只要保证中特征向量的排列与之一致即可.【例11】已知矩阵，相似（1）求，（2）求，使【答案】：【例12】设A为三阶矩阵，，，是线性无关的三维列向量，且满足，，（1）求矩阵B，使得；（2）求矩阵A的特征值；（3）求可逆阵P，使得为对角阵.P22082006Aa1PAP0110,022100a骣÷ç÷ç÷ç÷=-ç÷ç÷ç÷÷ç桫A1,...,si0iEAx12,,...,iiiinini12111212122212,,...,,,,...,,...,,,...,snnsssnP11122diag,..,,,..,,...,,..,ssPAPP200204zAzx22By,,xyzP1PAPB1002,4,0,P=0110-21xyz骣÷ç÷ç÷ç÷=-=-=ç÷ç÷ç÷÷ç桫1233211A3222A32332ABA321321,,),,(APP1点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料【答案】：，特征值为1（二重），4，【例13】已知，又已知，，全是的特征向量，求矩阵【答案】：●小结：当矩阵可相似对角化时，如果知道了所有的特征值和特征向量，则可以利用等式计算出矩阵.四．的计算【例14】设，，，试求及.【答案】：1201nnB，412841nnnAnn【例15】某实验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将110熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐.新老非熟练工经过陪练及实践至年终考核有成为熟练工.设第年的熟练工和非熟练工所占的百分比分别为，记作向量.（1）求与的关系式并写成形式；100B=122113骣÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷÷ç桫123120P=(,,)101011aaa骣÷ç÷ç÷ç÷-ç÷ç÷ç÷÷ç-桫111Aabcdef11,0,1T21,0,1T31,1,0TAA111020111骣÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷÷ç-桫AA1APPAnA5283A3221P1BPAPnBnA25n,nnxynnxy11nnxynnxy11nnnnxxAyy点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料（2）验证是的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；（3）当时，求.【答案】1）2）；3）五．对实对称矩阵性质的考查【例16】设为3阶实对称矩阵，满足，若的秩为2，则=.【答案】2【例17】矩阵与相似的充分必要条件为（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【例18】设3实对称矩阵的特征值为，矩阵属于的特征向量分别为（1）试求的属于特征值的特征向量；（2）求矩阵.1241,11A111212xy11nnxy1+192105=13105nnnnxxyy+骣÷ç÷ç骣骣÷ç÷鼢珑ç÷鼢珑ç÷鼢珑ç鼢÷珑桫桫ç÷÷ç÷ç桫1211,2ll==1+1183(12=11023(2nnnnxy+骣÷ç-÷ç骣÷ç÷÷çç÷÷çç÷÷çç÷ç÷桫ç÷÷+ç÷ç桫））A4320AAAAA2AE1111aabaa2000b00000,2ab为任意常数ba,00,2ba为任意常数ba,2A1,2,3A1,212(1,1,1),(1,2,1)TTA3A点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料【答案】（1）31,0,1,0Tkk；（2）13251210265213●小结：实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，当实对称矩阵仅有一个特征值的特征向量未知时，可以通过该方法求得特征向量.【例19】设3阶对称矩阵的特征值为是的属于的一个特征向量，记，其中为3阶单位矩阵.（1）验证是矩阵的特征向量，并求的全部特征值的特征向量；（2）求矩阵.【答案】（1）特征值1，特征向量；特征值-2，特征向量；（2）011101110B.【例20】为三阶实矩阵，，且（1）求的特征值与特征向量（2）求【答案】:（1）特征值-1，特征向量;特征值1，特征向量；特征值0.特征向量（2）六．实对称矩阵的正交相似对角化【例21】设矩阵，，已知线性方程组有解，但不唯一.A1231,2,2,1(1,1,1)TA1534BAAEE1BBB12(1,0,1)(1,1,0)TTkk-+(1,1,1)Tk-A()2rA111100001111AAA(1,0,1)T-(1,0,1)T(0,1,0)T001000100A111111aAaa