考研数学线性代数强化资料-矩阵的概念及运算

点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料2017考研已经拉开序幕，很多考生不知道如何选择适合自己的考研复习资料。中公考研辅导老师为考生准备了【线性代数-矩阵的概念及运算知识点讲解和习题】，希望可以助考生一臂之力。同时中公考研特为广大学子推出考研集训营、专业课辅导、精品网课、vip1对1等课程，针对每一个科目要点进行深入的指导分析，欢迎各位考生了解咨询。模块三矩阵的概念及运算Ⅰ教学规划【教学目标】1、全面复习矩阵的各类运算及其相关运算法则2、掌握与矩阵的运算相关的各类基本题型的求解思路【主要内容】1、矩阵的基本运算2、矩阵的常用运算法则3、矩阵方幂的计算【重难点】1、对矩阵的运算法则的掌握和运用2、矩阵方幂的计算点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料Ⅱ知识点回顾一．基本概念1．矩阵的定义由mn个数(1,2,...,;1,2,...,)ijaimjn排列成的m行n列数表111212122212.....................nnmmmnaaaaaaaaa称为mn矩阵，简记为ijmnaA.当nm时，A也称为n阶方阵.两个矩阵ijmnaAijskbΒ，如果,msnk则称它们为同型矩阵.如果两个同型矩阵ijmnaAijmnbB对应的元素相等，也即(1,..,;1,...,)ijijabinjm，则称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B.2．特殊矩阵（1）零矩阵：所有元素均为0的矩阵称之为零矩阵，记为O.（2）对角矩阵：主对角线以外的元素均为0的矩阵称之为对角矩阵.（3）数量矩阵：主对角线上的元素均相等的对角矩阵称之为数量矩阵.（4）单位矩阵：主对角线上的元素均为1，其余元素均为0的矩阵称之为单位矩阵，记作E.（5）上（下）三角矩阵：主对角线以下的元素全为0的矩阵称之为上三角矩阵；主对角线以上的元素全为0的矩阵称之为下三角矩阵.（6）对称矩阵：如果矩阵A的转置TA等于A，则称A为对称矩阵.如果矩阵A的转置TA等于A，则称A为反对称矩阵.（7）正交矩阵：设A是n阶矩阵，如果TTAA=AA=E，则称A是正交矩阵.二．矩阵的运算1.加法设()ijaA，()ijbB是两个mn矩阵，定义矩阵()ijijijcabC为矩阵A与矩阵B的和，记作C=A+B.2.数乘点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料设()ijaA是一个mn矩阵，k为任意实数，则定义()(1,2,...,;1,2,...,)ijkkaimjnA，称之为矩阵的数乘.3.转置设()ijaA是一个mn矩阵，定义nm矩阵(),1,...,;1,...,ijjibaimjnB为矩阵A的转置，记作TB=A.4.乘法设()ijmnaA，()ijnkbB（注意A的列数和B的行数相等），定义矩阵()ijmkcC，其中11221...nijijijinnjikkjkcabababab，称为矩阵A与矩阵B的的乘积，记作C=AB.三．矩阵的运算法则1．加法与数乘交换律：A+B=B+A；结合律：klklA+B+C=A+B+C,(A)=()A；分配律：,()kkkklklABABAAA.2．转置kkTTTTTTTTA+B=A+B,A=A,AB=BA3．乘法结合律：ABC=ABC；分配律：CA+B=CA+CB,(A+B)C=AC+BC；数乘与乘法的结合律：()()kkkABABAB.方幂：,nmnmnmmnAAAAA.点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料4.不成立的运算法则1）交换律：矩阵乘法一般来说不满足交换律.事实上，满足AB=BA的情况是比较少的，在线性代数中我们称满足该等式的矩阵A与B可交换.2）消去律：矩阵的运算也不满足消去率.四．矩阵的分块1.定义用水平和竖直的直线将矩阵A分成很多小块，每一块称之为A的一个子矩阵，则A称为以这些子矩阵为元素的分块矩阵.2.运算大多数情况下，我们只需要掌握分成4块的分块矩阵就可以了，即如下形式的矩阵：ABCD.对分块矩阵也有相应的加法，数乘、转置等运算：11111111ABAABBABCDCCDDCDkkkkkABABCDCD，111111111111ABAABCABBDABCDCADCCBDDCDTTTTTABACCDBD3.矩阵按行或按列分块另一种常见的分块方式，是将矩阵A按行或列分块，也即写成12nA=α,α,...,α或12mββA=...β，其中12,,...,nααα和12,,...,mβββ分别代表矩阵A的列向量和行向量.这种情况下的加法、数乘和转置运算和前面类似，我们着重讲一下乘法：点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料设12nA=α,α,...,α，假设ijbB为nm矩阵，则12n12nBA=Bα,α,...,αBα,Bα,...,Bα111212122212112111222212........................,...,...,...mmnnnnmnnmmnmbbbbbbbbbbbbbbbbbb1212n12n12nABα,α,...,αααααααααα矩阵A按行分块时的运算法则类似.这种矩阵分块的方式我们在上一讲计算抽象矩阵行列式时已经用到过，可以用于矩阵的分解.Ⅲ考点精讲一．矩阵的定义及常见的运算法则【例1】：设α为三维列向量，111111111Tαα，则Tαα=.【答案】：3【例2】：证明：上三角矩阵与上三角矩阵的乘积仍为上三角矩阵.【例3】：假设A为nm矩阵，B为n阶反对称矩阵，证明：2TAA+B为n阶对称矩阵.【例4】：设α为n维列向量，并且2Tαα，证明：TA=E-αα为对称正交阵.【例5】：已知A,B均为n阶矩阵,2A=A,2B=B,2A+B=A+B（）,证明AB=O.二．矩阵方幂的计算1．秩等于1型点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料【例6】：已知123246369A,试计算nA.【答案】：114nA-【例7】：已知1111222244445555A,试计算nA.【答案】：112nA-2．使用二项式定理【例8】：设000000abAc，求nA.【答案】：200000000acA(2)nAOn=【例9】：已知110100A,试计算nA.【答案】：1121(1)2000nnnnnnnnnnnnAn【例10】：已知100210431A,试计算nA.点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料【答案】：2100210331nnnnnA●小结：（1）例8的结论可以推广为：230**00*0**00*000,00*0000000000；23000000000*00000,*000**0*00**0（2）形如**0*00或00*0**的计算方法为：先将矩阵分解为0**00*000E或者000*00**0E的形式，再利用二项式定理展开.【例11】：已知1200240000200042A,试计算nA.【答案】：3．利用矩阵相似【例12】：设1010100,001ABPAP，求201622BA.111115250025450000200022nnnnnnnnnA点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料【答案】：331【例13】：已知215100022,010022001AB,X为3阶矩阵，满足XAXBAB，求2016X.【答案】：E●小结：现将矩阵的方幂的计算方法做如下小结，以便于考生掌握：（1）秩为1的矩阵（各行成比例）方法：将矩阵分解成一个行向量与列向量的乘积，利用矩阵乘法的结合律导出递推公式；（2）**0*00型的矩阵方法：将矩阵分解为0**00*000E再利用二项式定理计算；（3）利用矩阵的相似假设矩阵A相似与B，则有-1A=PBP，此时nn-1A=PBP.三．矩阵可交换的讨论【例14】：1）已知0010A，求所有与A可交换的矩阵.2）已知2012B，求所有与B可交换的矩阵.【答案】：1）1210kkk，2）【例15】：假设A,B均为n阶方阵，且满足AB=A+B，试证明A,B可交换.1210kkk点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料【例16】：假设A,B均为n阶方阵，2AB=E，则有（）（A）AB=E（B）AB=-E（C）22AB=E（D）2BA=E【答案】：DⅣ测试成绩在紧张的复习中，中公考研提醒您一定要充分利用备考资料和真题，并且持之以恒，最后一定可以赢得胜利。更多考研数学复习资料欢迎关注中公考研网。