考研数学线性代数强化资料-逆矩阵与初等矩阵

点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料2017考研已经拉开序幕，很多考生不知道如何选择适合自己的考研复习资料。中公考研辅导老师为考生准备了【线性代数-逆矩阵与初等矩阵知识点讲解和习题】，希望可以助考生一臂之力。同时中公考研特为广大学子推出考研集训营、专业课辅导、精品网课、vip1对1等课程，针对每一个科目要点进行深入的指导分析，欢迎各位考生了解咨询。模块四逆矩阵与初等矩阵Ⅰ教学规划【教学目标】1、全面复习逆矩阵的基本概念和常用性质、公式2、系统掌握矩阵可逆性的讨论及逆矩阵的计算方法3、系统掌握伴随矩阵的概念、性质和常用公式4、掌握初等矩阵与初等变换的基本关系5、理解初等矩阵与逆矩阵的本质联系【主要内容】1、逆矩阵的概念和性质2、伴随矩阵的概念、性质和常用公式3、矩阵可逆性的讨论4、逆矩阵的计算点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料5、矩阵方程的求解6、初等变换与初等矩阵【重难点】1、伴随矩阵相关的计算与证明2、矩阵可逆性的讨论3、矩阵方程的求解Ⅱ知识点回顾一．逆矩阵1.定义对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B,使得AB=BA=E，则称矩阵A为可逆矩阵，并称矩阵B为矩阵A的逆矩阵，记作-1B=A.2.性质性质一：若A可逆，则A逆矩阵是唯一的.性质二：若A可逆，则1,TAA均可逆，且1111,TTAAAA.性质三：若A,B为同阶可逆矩阵，则AB可逆，且111AB=BA.推广：111112-11mmmAA...A=AA...A，11nnAA.性质四：若A可逆，且0k则kA可逆，且111kkAA.性质五：若A可逆，则11AA.性质六：若A,B均可逆，则AOOB,OBAO均可逆且111AOAO=OBOB，111OBOA=AOBO.点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料二．伴随矩阵1.定义设ijA为n阶矩阵A的代数余子式，定义1121112222*12......()...............nnjinnnnAAAAAAAAAAA为A的伴随矩阵.2.性质定理1：设A为n阶方阵，*A为它的伴随矩阵，则有**AAAAAE.3.可逆的充要条件定理2：设A为n阶方阵，则A可逆的充要条件为0A.定理3：设A为n阶方阵，那么当AB=E或BA=E时，有1A=B.三．初等矩阵1．初等行（列）变换我们对矩阵可以做如下三种初等行（列）变换：a.交换矩阵的两行（列）；b.将一个非零数k乘到矩阵的某一行（列）c.将矩阵的某一行（列）的k倍加到另一行上.2．初等矩阵对单位矩阵实施一次初等变换得到的矩阵称之为初等矩阵.由于初等变换有三种，初等矩阵也就有三种：1）交换单位矩阵的第i行和第j行得到的初等矩阵记作ijE，该矩阵也可以看做交换单位矩阵的第i列和第j列得到的.2）将一个非零数k乘到单位矩阵的第i行得到的初等矩阵记作()ikE；该矩阵也可以看做将单位矩阵第i列乘以非零数k得到的.3）将单位矩阵的第i行的k倍加到第j行上得到的初等矩阵记作()ijkE；该矩阵也可以看做将单位矩阵的第j列的k倍加到第i列上得到的.点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料3.矩阵的等价如果矩阵A经过有限次初等变换之后可以变成B，则称矩阵,AB等价，记作AB.4.重要定理定理4：对矩阵A左乘一个初等矩阵，等于对A作相应的初等行变换；对矩阵A右乘一个初等矩阵，等于对A作相应的初等列变换.定理5：所有初等矩阵都是可逆的，并且它们的逆矩阵均为同类的初等矩阵.具体来说，我们有1ijijEE，11()()iikkEE，1()()ijijkkEE.定理6：矩阵A可逆的充要条件是它能表示成有限个初等矩阵的乘积，即12...mAPPP，其中12,,...,mPPP均为初等矩阵.定理7：矩阵A与矩阵B等价的当且仅当存在可逆矩阵P,Q使得PAQ=B.定理8：设A与B均是mn型矩阵，则()()ABrArB.Ⅲ考点精讲一．逆矩阵的计算【例1】：计算下列矩阵的逆矩阵（1）1234A（2）223110121A【答案】：（1）213122（2）143153164●小结：对于数字型的矩阵，在求其逆矩阵的时候常用的方法是利用初等行变换和伴随矩阵.（1）利用初等行变换：设A为n阶可逆矩阵，我们可以通过初等行变换来计算其逆矩阵.对分块矩阵AE做初等行变换，将矩阵A化为E，此时的E就化为了1A，也即-1AEEA行.需要注意的是只能做行变换.点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料（2）利用伴随矩阵：公式1*1AAA也可以用于计算逆矩阵.【例2】：已知0052002112001100A，求1A.【答案】：001/32/3001/31/312002500【例3】：设矩阵A满足2A40AE,其中E为单位矩阵，求1AE.【答案】：1(2)2AE+【例4】：已知2AA，求1AE.【答案】：1(2)2AE--【例5】：设A为n阶矩阵32AE，22BAAE，求1B.【答案】：22()AAE++【例6】：设为3维列向量，满足1T，E为三阶单位矩阵，TA=E+ξξ.（1）证明：232AAE=O，（2）求1A+E.【答案】：（2）1(4)6AE--【例7】：设A、B均为n阶方阵，满足ABAB.证明（1）AE可逆；（2）ABBA.点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料【例8】：已知110002300,04500067ABEAEA，求1EB.【答案】：1()2EA+【例9】：设-1-1A,B,A+B,A+B均为n阶可逆矩阵，则-1-1-1A+B.（A）-1-1A+B（B）A+B（C）-1AA+BB（D）-1A+B【答案】：C●小结：对于抽象矩阵的来说，要求其逆矩阵一般的方法是利用矩阵可逆的定义及性质.（1）利用定义：设A为n阶方阵，如果能得到ABE或BAE，则有1AB.这是计算抽象矩阵逆矩阵最常用的方法，一般来说，当题目中给出了相关矩阵的等式时，就可以通过相关运算法则进行变形，从而凑出等式ABE或BAE.（2）利用相关性质：一般来说，我们在利用定义计算逆矩阵时，还会结合逆矩阵的相关性质，考生要熟练掌握相关的公式，灵活运用.需要注意的是，我们没有总结的公式考生不能随便使用，例如A+B，A-B等矩阵的逆矩阵是没有直接的计算公式的.二．伴随矩阵【例10】：1）设123045006A，则1*A.2）设1000010020100208B，则*1B.【答案】：1）124A,2）18B【例11】：设A和B分别为m阶和n阶可逆矩阵，AOC=OB，则*C（A）AA*OOBB*（B）BB*OOAA*点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料（C）**ABOOBA（D）BA*OOAB*【答案】：D【例12】：已知1234012300120001A，求A中所有代数余子式之和4411ijjiA.【答案】：0【例13】：已知121000000,0000000innaaAaaa，求12kkknAAA.【答案】：()1111nniikaa+=-Õ【例14】：设A为n阶方阵，证明：1*nAA.【例15】：已知A为3阶非零矩阵，TAA*=，证明：0A.【例16】：已知A为3阶非零矩阵，ijijAa，求A.【答案】：1-●小结：与伴随矩阵相关的考题是本章考试的难点之一，一般来说，我们在处理伴随矩阵的时候有两个思路：如果已知矩阵A可逆，则用公式*1AAA；如果矩阵A不可逆或矩阵A是否可逆未知，则使用伴随矩阵的定义或公式**AAAAAE.三．可逆性的讨论【例17】：证明:奇数阶反对称矩阵不可逆.【例18】：设A是n阶矩阵，AE且满足2AA矩阵，证明：0A.点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料【例19】：设A是mn矩阵，B是nm矩阵，其中nm，证明：0AB.【例20】：设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵T*EOP=-αAA，bTAαQ=α，其中*A是矩阵A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵（1）计算并化简PQ（2）证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是bT-1αAα【答案】：（1）0AbT*α-αAαA●小结：矩阵A可逆的充要条件是0A，结合后续章节的知识，我们还能得到它的其它等价的描述方式，具体的内容在讲义中有详细的介绍.从解题的角度来说，说明一个矩阵A不可逆常见的方法有：说明0A（一般可以通过证明AA）；反证法；证明矩阵A不满秩；证明Ax=0有非零解；说明0是矩阵A的特征值等.证明可逆类似.四．矩阵方程【例21】：设矩阵101020101A，矩阵X满足2AX+E=A+X，试求矩阵X.【答案】：201030102【例22】：已知*1110000100,310100308AABABAE求矩阵B.【答案】：6000060060600301点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料【例23】：已知矩阵100011110,101.111110AB且矩阵X满足,AXABXBAXBBXAE其中E是3阶单位阵，求X.【答案】：125012001【例24】：假设A,B均为n阶方阵，E为n阶单位矩阵，若B=E+AB,C=A+CA，则B-C=（）（A）E（B）E（C）A（D）A【答案】：A●小结：一般来说，矩阵方程最终可能化为如下三种情况之一：AX=B，XA=B，AXB=C.其求解方法分别为：-1AX=BX=AB，-1XA=BX=BA，-1-1AXB=CX=ACB.先计算出相应的逆矩阵，再做矩阵的乘法即可.五．初等变换与初等矩阵【例25】：设A为3阶矩阵，将A的第一行与第二行交换之后得到B，再把B的第二行加到第三行得到C，求满足PAC的可逆阵P.【答案】：010100101【例26】：设11121314212223243132333441424344aaaaaaaaaaaaaaaaA，14131211242322213433323144434241aaaaaaaaaaaaaaaaB，10001010000101000P，21000001001000001P，则1Β.(A)-112APP(B)-112PAP(C)-112PPA(D)-121PAP点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料【答案】：C【例27】：设A为n阶可逆矩阵，将A的第一行加到第二行得到B，又设**,AB分别为,AB的伴随矩阵，则有（）.(A)将*A的第一列加到第二列得*B(B)将*A第一列的1倍加到第二列得*B(C)将*A的第二列加到第一列得*