考研数学高等数学强化资料-极限(计算)

点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料一份好的考研复习资料，会让你的复习力上加力。中公考研辅导老师为考生准备了【高等数学-极限（计算）知识点讲解和习题】，同时中公考研网首发2017考研信息，2017考研时间及各科目复习备考指导、复习经验，为2017考研学子提供一站式考研辅导服务。模块一极限（计算）Ⅰ教学规划【教学目标】1、回顾极限计算的基本方法2、了解极限计算的基本考查方向和命题特点3、深入学习极限计算的核心方法，形成系统计算思路【主要内容】1、运用四则运算法则进行极限计算及收敛性的讨论2、运用洛必达法则计算极限的基本方法和易错点解析3、泰勒公式的基本内容及在极限计算中的使用方法4、极限式中幂指函数的常用处理方法5、运用夹逼定理及定积分定义计算极限的基本方法6、运用单调有界收敛定理计算极限的基本方法【重难点】点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料1、洛必达法则成立的条件2、泰勒公式的理解和运用3、单调有界收敛定理的使用方法4、各类方法的选择，系统的计算思路的形成Ⅱ知识点回顾一．基本概念1．极限1）数列极限lim0nnxa，正整数0N，当nN时，恒有||nxa2）函数极限lim()0xafxA，正整数0，当0||xa时，恒有()||fxAlim()0xfxA，正整数0M，当||xM时，恒有()||fxA3）左（右）极限lim()0xafxA，正数0，当0-xa时，恒有()||fxA右极限的定义类似。2．无穷小与无穷大1）无穷小以0为极限的量，也即，如果（x可以是0xx，x或n等），则称时为无穷小。lim()00xafx，正数0，当||0xa时，恒有()||fxlim()00xfx，正数0M，当||xM时，恒有()||fx【注】：无穷小量的重要性质（1）有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量；lim()0xfxx()fx点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料（2）有限个无穷小量的和仍为无穷小量；（3）无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量。2）无穷大在自变量的某一极限过程中，函数值无限增大的量lim()0xafxM，正数0，当|0|xa时，恒有()||fxMlim()0xfxM，正数0X，当|xX|时，恒有()||fxM【注】：无穷大量的重要性质（1）无穷大实际上是极限不存在的情况，但极限不存在的量并不一定都是无穷大量。（2）与无穷小类似，无穷大量也是一个动态变化的过程，而不是一个实际存在的数。（3）无穷大量与无穷小量的关系：无穷大量的倒数是无穷小量，非0的无穷小量的倒数是无穷大量。3）无穷小量的比较设lim()0,lim()0xxxx.（1）高阶无穷小量与低阶无穷小量：()lim0()xxx()x是()x的高阶无穷小量，()x是()x的低阶无穷小量，记作()(())xox（2）同阶无穷小量()lim0()()xxCxx与()x为同阶无穷小量（3）等价无穷小量同阶无穷小量的特殊情况，将定义中的C改为1即可，记作【注】：等价无穷小在计算极限中有重要的作用，需要记住的等价无穷小有0x时，2sinarcsintanarctan1ln1111,1cos2xaxxxxxexxaxxx二．基本性质()~()xx点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料1．四则运算设lim(),lim()xxfxAgxB.2．数列极限的性质唯一性：若nx收敛，且有limnnxA及limnnxB，则AB有界性：若nx收敛，则nx有界保序性：有两个数列nx与ny若从某一项开始，以后所有项都有，则（注：把都改为结论不成立）若有，则从某一项开始，以后所有项都有（注：把都改为结论不成立）3．函数极限的性质唯一性：若存在，且有及，则。有界性：若存在，则存在正数，使得在内有界保序性：若存在正数，对于任意满足的都有，则若有，存在正数，对于任意满足的都有三．重要公式与定理lim[()()]lim()lim()lim()()lim()lim()lim()()lim(0)()lim()xxxxxxxxxfxgxfxgxABfxgxfxgxABfxfxABgxgxBNnnxylimlimnnnnxylimlimnnnnxyNnnxy0lim()xxfx0lim()xxfxA0lim()xxfxBAB0lim()xxfx()fx0000,,xxxx00||xxx()()fxgx00lim()lim()xxxxfxgx00lim()limg()xxxxfxx00||xxx()()fxgx点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料1．两个收敛准则1）夹逼定理：若存在正数，对于任意满足的都有，且，则.若存在自然数N，当nN时，恒有nnnyxz，且有limlimnnnnyza，则有limnnxa.2）单调有界原理：单调递增有上界的数列必有极限；单调递减有下界的数列必有极限；单调无界的数列极限为2．两个重要极限1）2）3．洛必达法则1）（型）设满足ⅰ）ⅱ）在的某邻域内可导（点除外）且ⅲ）''()lim()xafxgx存在（或等于+或-）则有2）（型）设满足ⅰ）ⅱ）在的某邻域内可导（点除外）且ⅲ）''()lim()xafxgx存在（或等于+或-）00||xxx()()()xfxx00lim()lim()xxxxxxA0lim()xxfxA或-0sinlim1xxx10lim1xxxe00(),()fxgxlim()0,lim()0xaxafxgx(),()fxgxaa'()0gx''()()limlim()()xaxafxfxgxgx(),()fxgxlim(),lim()xaxafxgx(),()fxgxaa'()0gx点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料则有4．泰勒公式1）带皮亚诺余项的泰勒公式：设函数在点处有直至阶导数，则()fx在的某邻域内有2）带拉格朗日余项的泰勒公式：设函数在含的区间具有阶导数，在内有阶连续导数，则有介于与之间，也可以写成3）麦克劳林公式：在处的泰勒公式又称为麦克劳林公式。Ⅲ考点精讲一．四则运算应用一：函数的分解【例1】：计算下列极限（1）（2）答案：（1）32，（2）12【例2】：计算下列极限''()()limlim()()xaxafxfxgxgx()fx0xn0x''()2'00000000()()()()()...2!!nnnfxfxfxfxfxxxxxxxoxxn()fx0x(,)ab1n,abn,xab''()(1)21'00000000()()()()()()...2!!1!nnnnfxfxffxfxfxxxxxxxxxnnx0x00,(0,1)xxx00x220sinln(1)limxxxxx01limcos1lncosxxexxx点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料（1）（2）（3）答案：（1）54（2）16（3）0●小结：1）假设，则有2）假设，则有应用二：抓大头【例3】：计算下列极限（1）（2）（3）答案：（1）3（2）23（3）1应用三：收敛性的讨论【例4】：存在，不存在，则正确的是（）（A）不一定存在(B）不一定存在（C）必不存在（D）不存在答案：D【例5】：假设连续，有间断点，且，则下列函数中一定有间断点的有（）（1），（2），（3），（4）（5），（6）220coslimarcsinxxxex301tan1limarcsinxxxxarctan0limln(1)arctancosxxxeexxxxlim()xfxAlim[()()]lim()lim()lim()xxxxfxgxfxgxAgxlim()0xfxAlim()()lim()lim()lim()xxxxfxgxfxgxAgx22411limsinxxxxxx3140303218lim42xxxxxxxx22limxxxxxxx0lim[()()]xxfxgx0lim[()()]xxfxgx0lim()xxfx0lim()xxgx022lim[()()]xxfxgx0lim()xxfx()fx()gx()0fx()()fxgx()()fxgx2()gx()ln()gxfx()()gxfx()1()1gxfx点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料答案：（1）（2）（5）●小结：1），，2），，二．洛必达法则【例6】：计算下列极限（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）答案：（1）16（2）16（3）6（4）12（5）32（6）13（7）92●小结：使用洛必达法则时要注意两点：1）一定要检验条件（确保分子分母都趋近于零或无穷）；2）一定要先化简关注点一：可导性【例7】：已知，求。答案：0【例8】：已知二阶可导，求。+=收敛收敛收敛+=收敛发散发散+=发散发散？=收敛收敛收敛0=0发散，收敛收敛发散=？，收敛=发散发散？30arctanlimln(12)xxxx30arcsinlimarcsinxxxx2000arctan(1)lim(1cos)xuxtdtduxx2220limxtxxtedtxe011lim1xxxex2011limtanxxxx23lim3ln1xxxx(0)0,'(0)''(0)1fff20()1limxxfxex()fx20()()2limhfxhfxhfxh点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料答案：()fx【例9】：已知可导，并且满足(0)0,(0)0ff，求。答案：2●小结：当已知极限式中的函数存在阶导数时，则只能使用洛必达法则至出现阶导数，最后一步一般要凑导数的定义；当已知极限式中的函数存在阶连续导数时，则可以使用洛必达法则至出现阶导数。关注点二：求导之后的极限必须存在【例10】：设时，，求。答案：11,6ab●小结：极限中参数的求法1）常用结论：存在且，则；且，则.2）当极限式中有两个或两个以上的未知参数时，则一般先保证极限存在，从而确定一部分参数值，再求出极限值，进而确定剩余的参数.【例11】：已知，求。答案：11,0,2abc三．泰勒公式应用一：等价无穷小替换公式的推广【例12】：计算下列极限()fx000()lim()xxxtftdttfxtdtn1nnn0x2sinln1xaxxbx,ab()lim()xxlim()0xlim()0x()lim0()xcxlim()0xlim()0x30sinlim0ln1xxbaxxctdtt,,abc点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简