考研线性代数讲义

12011年万学海文线性代数主讲铁军教授铁军教授简介：著名考研数学辅导专家，近几年在全国各大城市声名鹊起，成为与王式安、赵达夫齐名的考研数学辅导“三驾马车”之一。铁军教授从事考研数学辅导工作以来，以其高屋建瓴、大气磅礴、睿智幽默的风格，对考点、重点、难点全面、深刻、透彻的把握，关爱学生、高度负责的态度以及对考题的精准预测，令考生受益无穷。特别是铁军老师的数学全程保过班，更是以无与伦比的连续性、系统性和考生的数学成绩大面积高分而受到广大莘莘学子的爱戴！2011年，考研竞争空前激烈！万学海文邀请铁军教授亲临面授，为您考研成功保驾护航。您的理想将在您我的共同努力下实现。这是我们的信心，也将是您的信心！线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视。线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，主要用证明题的方法技巧来解决计算题。因此，必须掌握证明题的证明技巧，并会在计算题中灵活应用。难点在于线性代数的内容比较抽象，综合性强，特别是关于向量的线性相关性、矩阵的秩与线性方程组的解的结构定理的综合题难度较大，必须突破这一难点。第一章行列式行列式的核心考点是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶。但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开。另外，用简单的递推公式求行列式的方法也应掌握。【大纲内容】行列式的概念和基本性质；行列式按行（列）展开定理。【大纲要求】了解行列式的概念，掌握行列式的性质。会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。【考点分析】考研试题中关于行列式的题型主要是填空题,纯粹考行列式的题目很少，但行列式是线性代数中必不可少的工具，它在处理以下问题中都有重要应用：1．判定方阵是否可逆以及应用公式AAA11求逆矩阵；2．判定n个n维向量的线性相关性；万学教育·海文考研2011春季数学基础班—线性代数23．计算矩阵的秩；4．讨论系数矩阵为方阵的线性方程组的解的情况并利用克莱姆法则求方程组的解；5．求方阵的特征值；6．判定二次型及实对称矩阵的正定性。同时，上述内容也可与行列式知识相结合构造新的关于行列式的题型。在复习过程中，请大家注意及时归纳总结。【重要考点】1．行列式按行、按列展开公式为：knknkkkkAaAaAaD2211nknkkkkkAaAaAa2211)2,1(nk2．两个特殊公式：设A是m阶方阵，B是n阶方阵，则（1）AOACABCBOB；（2）(1)mnOACAABBCBO3．范德蒙行列式：)(1111112112222121jinijnnnnnnxxxxxxxxxxx4．余子式和代数余子式的定义，其中ija的余子式为ijM，ija的代数余子式为ijjiijMA)1(。【典型例题】1.计算n阶行列式123211000001000000000001000001aaaaaaxxxxxDnnnn2.n阶行列式_____________________0000000000000000abbaababa.3★范德蒙行列式：1222212111112111()nnnijjinnnnnxxxDxxxxxxxx，n阶范德蒙行列式nD的结构特点是每列元素211,,,,niiixxx按ix的升幂排列，构成一个等比数列。3.计算四阶行列式1111231449116827164D.4.计算四阶行列式3433333124423322221142432322212134333231bbbbbabababababababaaaaaD（其中4321,,,aaaa均不为0）5.计算四阶行列式1234222211223344322323231122334411111sin1sin1sin1sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinD★形如的行列式称为三对角型（三斜线形）行列式。三对角型行列式的特点是沿主对角线方向三列元素不为零，其余元素均为零。对于这类三对角型行列式通常可用递推法。万学教育·海文考研2011春季数学基础班—线性代数46.计算1n阶行列式nnnnbbbbbbbD110000100000000011000011000011221117．五阶行列式54300014300014300014300014D的值为_________.8.五阶行列式10001100_____________0110001100011aaaaDaaaaa.★形如的行列式称为箭形、爪形或扇形行列式，其特点是行列式中主对角线上的元素和第一行、第一列上的元素不为零，其余元素均为零。对于箭形、爪形或扇形行列式，可用主对角线上的元素化其为上（下）三角型行列式进行计算。9.计算1n阶行列式nnaaaaD0010010011112101)0(21naaa10.计算n阶行列式5nDn00010000030100021111011.计算n阶行列式123nnabbbbbabbDbbabbbba),2,1,(nibai★计算含子块的四分块的分块矩阵的行列式：掌握简化行列式运算的两个重要公式：设A是m阶方阵，B是n阶方阵，则（1）AOACABCBOB；（2）(1)mnOACAABBCBO.12．计算1203001040000507116571818113.计算五阶行列式8950078650673214300021000D14．设,AB均是n阶矩阵，*13,,1()2AAAaBbCBO，则_________.C万学教育·海文考研2011春季数学基础班—线性代数615.四阶行列式1122334400000000ababbaba的值等于()（A）12341234aaaabbbb（B）12341234aaaabbbb（C）))((43432121bbaabbaa（D）))((41413232bbaabbaa★若行列式中含有变量x，则该行列式展开后成为关于x的多项式，可考查该多项式的次数、零点等问题。16.设行列式45123213231213xxDxxx，则4D的展开式中，4x的系数是，3x的系数是。17.设行列式212322212223()333245354435743xxxxxxxxfxxxxxxxxx，则方程0)(xf的根的个数为（）（A）1（B）2（C）3（D）418.设多项式11121314212223243132333441424344()axaxaxaxaxaxaxaxpxaxaxaxaxaxaxaxax则)(xp的次数至多是（）。（A）1（B）2（C）3（D）47★计算代数余子式线性组合的值：1．余子式和代数余子式在n阶行列式,nijDai中划去元素所在的第行和第j列，余下的元素按原有顺序构成的1n阶行列式，称为元素ija的余子式，记作.ijMijM余子式之前加上符号，称为元素ija的代数余子式，记作(1)ijijijAM2．代数余子式的性质：（1）ijA和ija的大小无关；（2）1122iiiiininaAaAaAA，1122jjjjnjnjaAaAaAA(,1,2)ijn（3）11220()ijijinjnaAaAaAij（4）A的伴随矩阵112111222212*()nnjinnnnnnAAAAAAAAAAA，则①由于*()jinnAA中的元素为jiA，可先求1*AAA，再求12iiinAAA和12jjnjAAA②设*A的特征值为12,,,n，则112212nnnAAA【评注】设111111jniijinnnjnnaaaaaaAaaa，ija的代数余子式为ijA，则ijA只与ija的位置有关，而与ija的大小无关。所以若改变A中ija的值而其他元素不变，则ijA的值不变，因此可用元素置换法计算代数余子式线性组合的值。万学教育·海文考研2011春季数学基础班—线性代数819.设4521011130112101A，求（1）42322212AAAA；（2）44434241AAAA.20.设行列式2235007022220403D，则第四行各元素余子式之和的值为。21．设A是三阶可逆矩阵，1A的特征值为1,2,3,求A的代数余子式之和：112233.AAA★计算抽象矩阵的行列式：主要利用矩阵行列式的性质。设A为n阶矩阵，则有（1）nkAkA（2）,kkABABAA（3）,()TTTTAAABABAB（4）设A为n阶可逆矩阵，则11AA（5）利用行列式加法运算的性质：设i为n维列向量，i为n维行向量，则1231241234，111222343422.设A为3×3矩阵，2A，把A按列分块为),,(321AAA，其中)3,2,1(jAj是A的第j列，则1213,3,2AAAA。923.设,,,,321均为4维列向量，且a,,,321，b132,,,，则321,,,2.24.设n阶矩阵),,,(21nA，),,,(13221nB，其中12,,,n为n维列向量。已知行列式)0(aaA，求行列式B的值。25．若A是n阶方阵，且EAAT，1A，证明0EA.26．设A、B均为n阶矩阵，3,2BA，则12BA__________第二章矩阵矩阵是线性代数的主要研究对象，有着广泛的应用。矩阵考试的重点是：矩阵的乘法运算，逆矩阵，伴随矩阵，初等矩阵。以计算题为主，技巧性强。【大纲内容】矩阵的概念；矩阵的线性运算；矩阵的乘法；方阵的幂；方阵乘积的行列式；矩阵的转置；逆矩阵的概念和性质；矩阵可逆的充分必要条件；伴随矩阵；矩阵的初等变换；初等矩阵；矩阵的等价；矩阵的秩；初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法；分块矩阵及其运算。【大纲要求】掌握矩阵的概念和矩阵的各种运算，特别是矩阵的乘法、矩阵的转置、逆矩阵、方阵的行列式等。要掌握它们的运算规律、逆矩阵的性质及矩阵可逆的充分必要条件，会用各种方法求出矩阵的逆矩阵，矩阵的初等变换是研究矩阵各种性质和应用矩阵解决各种问题的重要方法，因此必须掌握矩阵的初等变换，会用初等变换解决有关问题。【考点分析】矩阵乘法有分配律，结合律，但是没有交换律，没有消去律。1.矩阵乘法运算一般不满足交换律，即BAAB，因此要注意运算次序。2.一般地，00AAB或0B，00AAk；3.ABACBC，除非A是列满秩矩阵4.TTTABAB)(万学教育·海文考研2011春季数学基础班—线性代数105.设TA，其中,均为n维行向量，即)(2121nnbbbaaaA，则非零阵A可表为T的形式的充要条件为：TA秩1A。注意：与T相关的问题，是考研数学中常见题型。【典型例题】★计算n阶矩阵的高次幂是一种重要题型，包括：（1）计算一般矩阵的高次幂；（2）计算能分解为一个列向量与一个行向量乘积的矩阵的高次幂；（3）计算分块对角矩阵的高次幂：设12sAAAA，则12nnnnsAAAA（4）计算能相似对角化的矩阵的高次幂1．设101020101A，而2n为正整数，则12_____,_____nnnA