考研高数讲义新高等数学上册辅导讲义第三章上课资料

持之以恒，厚积薄发78B1第三章中值定理与导数的应用必要条件求解函数的性态，充分渐近线凹凸性，拐点单调性，极值，最值—求极限—洛必达法则—应用数，求极限证明，确定无穷小的阶泰勒中值定理柯西中值定理拉格朗日中值定理罗尔定理中值定理第三章中值定理与导数的应用2第一节微分中值定理极值:设)(xf在0x的某一邻域)(0xU内有定义，若对一切)(0xUx有)()(0xfxf))()((0xfxf,则称)(xf在0x取得极小（大）值，称0x是)(xf的极小（大）值点，极小值和极大值统称为极值，极小值点和极大值点统称为极值点。持之以恒，厚积薄发78B3费马引理：设)(xf在0xx取极值，又)(0xf存在，则0)(0xf。第三章中值定理与导数的应用4在0xx取极值的必要条件：可导的极值点导数必为零。驻点：若0)(af，则称ax为)(xf的驻点。可导的极值点一定为驻点，但是驻点不一定为极值点。持之以恒，厚积薄发78B5定理1（罗尔定理）：条件：①)(xf在],[ba上连续；②在),(ba可导；③)()(bfaf结论：一定存在),(ba，使得0)(f。几何意义：设AB是（1）定义在],[ba上的光滑曲线)(xfy；（2）若除端点外处处有不垂直于x轴的切线；（3）两端点纵坐标相等则在AB上至少存在一点C，其切线是水平的．第三章中值定理与导数的应用6即两端点同高的连续曲线内至少有一点的切线是水平的．（如图所示）xyOab持之以恒，厚积薄发78B7【例1】（96二）设)(xf在区间ba,上具有二阶导数，且0)()(bfaf，0)()(bfaf，证明：存在),(ba和),(ba使0)(f及0)(f.第三章中值定理与导数的应用8定理2（拉格朗日中值定理）：条件：①)(xf在],[ba上连续；②在),(ba可导结论：一定存在),(bac，使得)()()(cfabafbf几何意义：设AB是（1）定义在],[ba上的光滑曲线)(xfy；（2）若除端点外处处有不垂直于x轴的切线；则在),(ba内至少有一点处的切线平行于弦AB．持之以恒，厚积薄发78B9与罗尔定理的关系：罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况。ABCxyOab第三章中值定理与导数的应用10【例2】（90一）设不恒为常数的函数)(xf在闭区间ba,上连续，在开区间),(ba内可导，且)()(bfaf，证明在),(ba内至少存在一点，使得0)(f.持之以恒，厚积薄发78B11【例3】（95三）设)(xf在区间ba,上连续，在),(ba内可导，证明：在),(ba内至少存在一点，使)()()()(ffabaafbbf.第三章中值定理与导数的应用12【例4】设)(xf在0x连续，在)(0xU内可导，且Axfxx)(lim0，则)(xf在0x可导，且Axf)(0持之以恒，厚积薄发78B13【例5】证明不等式xxxx)1ln(1，对一切0x成立第三章中值定理与导数的应用14推论1：若)(xf在区间I上导数恒为零，则)(xf在区间I上为常数．推论2：若),(bax，有)()(xgxf，则Cxgxf)()(。持之以恒，厚积薄发78B15定理3（柯西中值定理）：条件：①)(xf，)(xg在],[ba上连续；②在),(ba可导；③0)(xg结论：一定存在),(bac，使得)()()()()()(cgcfagbgafbf（设曲线参数方程为)()(tfytgx，则)()(cgcfk）第三章中值定理与导数的应用16)(ag)(bg)(af)(bf)(tg)(tf持之以恒，厚积薄发78B17【例6】设)(xf在],[ba上连续，在),(ba内可导，0ab，证明：存在),(,,ba，使得)(lnln4)()(2)(22322fababfabf第三章中值定理与导数的应用18注：三个中值定理的关系费马定理罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理持之以恒，厚积薄发78B19定理4（泰勒定理——带拉格朗日余项）泰勒公式1条件：)(xf在含有0x的某开区间),(ba内具有直到1n阶的导数结论：对任意),(bax，至少存在一点介于0x与x之间，使得200000)(!2)())(()()(xxxfxxxfxfxf第三章中值定理与导数的应用2010)(00)()()!1()()(!)(nnnnxxnfxxnxf该式为)(xf在点0x处的泰勒展开式，其中10)1()()!1()()(nnnxxnfxR称为拉格朗日余项。持之以恒，厚积薄发78B21泰勒公式2条件：①)(xf在含有0x的某邻域)(0xU内具有直到1n阶的导数;②)(0)(xfn存在结论：对任意)(0xUx，有200000)(!2)())(()()(xxxfxxxfxfxf))(()(!)(000)(nnnxxOxxnxf，其中)(0xUx。第三章中值定理与导数的应用22该式中余项))((0nxxo称为皮亚诺余项。泰勒公式中，当00x时，称为麦克劳林公式，即)(!)0(!2)0()0()0()()(2xRxnfxfxffxfnnn其中)10()!1()()(1)1(nnnxnxfxR或)()(nnxoxR持之以恒，厚积薄发78B23常用的麦克劳林展开式：)(!.......!3!2132xRnxxxxennx)(!0xRkxnnkk)()!12()1(.......!3sin121213xRnxxxxnnn)()!12()1(121121xRkxnnkkk第三章中值定理与导数的应用24)()!2()1(.......!21cos222xRnxxxnnn)()!2()1(202xRkxnnkkk)()1()()1(.......111032xRxxRxxxxxnnkkknnn持之以恒，厚积薄发78B25)()(.......111032xRxxRxxxxxnnkknn)()1()()1(.......432)1ln(111432xRkxxRnxxxxxxnnkkknnn第三章中值定理与导数的应用26泰勒公式的应用——求极限，确定无穷小的阶数1、求极限【例7】（92一）求20111sinlimxxexx【答案】1持之以恒，厚积薄发78B27【例8】（87二）求极限111lim0xxex【答案】21第三章中值定理与导数的应用28【例9】（91二）求)1(sinlim20xxexxx【答案】61持之以恒，厚积薄发78B292、确定无穷小的阶【例10】（92二）当0x时，xxsin是2x的（A）低阶无穷小.（B）高阶无穷小.（C）等价无穷小.（D）同阶但非等价无穷小.【答案】（B）第三章中值定理与导数的应用30【例11】（96二）设当0x时，)1(2bxaxex是比2x高阶的无穷小，则（A）1,21ba.（B）1,1ba.（C）1,21ba.（D）1,1ba.【答案】（A）持之以恒，厚积薄发78B31第二节洛必达法则两种基本未定式：)()(limxgxfx□:（1）00:0)(limxfx□，0)(limxgx□（2）:)(limxfx□，)(limxgx□第三章中值定理与导数的应用32洛必达法则：条件：（1）满足基本未定式（2）)(xf与)(xg在□的附近内可导，且0)(xg；（3）)()(limxgxfx□存在（或为），结论：)()(lim)()(limxgxfxgxfxx□□持之以恒，厚积薄发78B33注1：注2：在用洛必达法则时，只要满足其条件，那么可以连续使用；注3：我们在使用洛必达法则时，可以与求解极限的其它方法联合使用；第三章中值定理与导数的应用34注4：在洛必达法则中条件（2）和条件（3），若有一个不成立，都说明此时不可以使用洛必达法则，需要使用其它的方法求解。【例12】极限xxxxxsinsinlim存在么？能否用洛必达法则求其极限？【答案】1持之以恒，厚积薄发78B35【例1】（87三）求极限xarcxxcot)11ln(lim（00）【答案】1第三章中值定理与导数的应用36【例2】（92一）求20111sinlimxxexx.【答案】1持之以恒，厚积薄发78B37【例3】（91二）求)1(sinlim20xxexxx.【答案】61第三章中值定理与导数的应用38【例4】（92二）xexxxcos11lim20.【答案】0持之以恒，厚积薄发78B39注5：其它类型的未定式（0，，0，00，1）的求解：000乘法化除法转化或，利用洛必达法则求解1200000方法：通分方法：提无穷大或利用洛必达法则求解再化成或利用洛必达法则求解()()ln()()000000gxgxfxfxe，再化成或利用洛必达法则求解第三章中值定理与导数的应用40()()ln()1(()1)()()()1()()[1(()1)]0001000gxgxfxfxgxgxfxfxefxfx再化成或利用洛必达法则求解利用重要极限转化为再化成或利用洛必达法则求解持之以恒，厚积薄发78B41【例5】（93二）0limlnxxx.【答案】0第三章中值定理与导数的应用42【例6】（93二）求2lim(100)xxxx.【答案】50－持之以恒，厚积薄发78B43【例7】（99一）2011lim()tanxxxx.【答案】13第三章中值定理与导数的应用44【例8】（94三）求极限21limln(1)xxxx.【答案】12持之以恒，厚积薄发78B45【例9】（94一）011limcotsinxxxx.【答案】16第三章中值定理与导数的应用46【例10】（88二）tan01limxxx.【答案】1持之以恒，厚积薄发78B47【例11】（89三）求极限1lim()xxxxe【答案】e第三章中值定理与导数的应用48第三节函数的单调性和极值一、函数单调性的判别法设()fx在[,]ab连续，在(,)ab上可导，结论1：()fx在[,]ab上严格单调上升（下降）在(,)ab上0()(0)fx，且在(,)ab的任意小区间上()fx不恒等于零。持之以恒，厚积薄发78B49结论2：()fx在[,]ab上单调上升（下降）在(,)ab上0()(0)fx结论3：在(,)ab上0()()(0)fxfx在[,]ab上单调上升（下降）。第三章中值定理与导数的应用50【例1】（95二）设()fx在(,)内可导，且对任意12,xx，当12xx时，都有12()()fxfx，则（）（A）对任意x，()0fx.（B）对任意x，()0fx.（C）函数()fx单调增加.（D）函数()fx单调增加.【答案】（D）持之以恒，厚积薄发78B51【例2】（95一二）设函数()fx在0,1上()0fx，则(1)f、(0)f、(1)(0)ff或(0)(1)ff的大小顺序是（A）(1)(0)(1)(0)ffff.（B）(1)(1)(0)(0)ffff.（C）(1)(0