质点动能定理的证明(高中数学基础)

ABFiΔriFinFitAimBi动能定理质点动能定理的证明（高中数学基础）如果质点m在恒力F作用下做直线运动，质点的位移为s，则根据牛顿第二定律maF和匀变速直线运动公式asvv2202，可得20220221212mvmvavvmaFsW式中2k21mvE称为质点的动能，这就是质点动能定理。对于变力的情形，可以采用以下方法分析：将外力F分解为两个分量，即切向力tF（与速度方向平行的分量）和法向力nF（与速度方向垂直的分量），根据功的定义，法向力nF与质点的位移rΔ垂直，因而不做功，因此外力F的功就等于切向力tF的功。为了计算力F做的功，可以把质点的位移rΔ分成若干小段的位移irΔ（称为位移微元或元位移，每一段元位移irΔ的方向可能各不相同），把这些元位移irΔ近似看做直线，作用在每一段元位移irΔ上的外力iF也可以近似看做恒力（类似的，作用在这每一段元位移irΔ上的外力iF的方向可能也各不相同），irΔ与iF之间的夹角为i（当元位移irΔ充分小时irΔ的方向可以认为与速度方向相同），根据恒力作用下的质点动能定理，作用在元位移irΔ上的外力iF做的功iWΔ（称为功微元或元功）为212t2121ΔcosΔΔiiiiiiiimvmvrFrFW上式中iiiFFcost为作用在每一段元位移irΔ上的外力iF在irΔ方向上的分力。为了计算外力F做的功，把外力F在每一段元位移irΔ上的元功iWΔ相加，可得2021212121212121ΔmvmvmvmvWWnniiiniiBA越元位移irΔ取得越小，以上两式的精确度就越高，如果把元位移irΔ取得接近于零（也就是irΔ无限小，即0Δir），则上式中的功BAW就是外力F做的功W的准确值。记0vvA为初速度，nBvv为末速度，则222121ABBAmvmvW如果用kΔE表示动能的增量，即222k212121ΔΔABmvmvmvE则前式可以简写为kΔEW这就是质点动能定理：外力做的功等于质点动能的增量，这样就证明了质点动能定理，这个定理仅适用于惯性系。对于一维直线运动，质点动能定理表达为2022121mvmvW上式中，)(00tvv，)(tvv，分别为质点在时刻0t和t时的速度；或者)(00xvv，)(xvv，分别为质点在位置0x和x处的速度。以上证明方法的思路就是高等数学中微积分的基本思想，即划分-求和-取极限，先对经过的路径（积分路径）进行划分得到路径微元，定出要求的物理量微元（微分），然后把各个物理量微元相加求和（积分），最后令积分路径微元取无限小（取极限），即可得到所要求物理量的准确值。