水利工程风险分析(第三章)(全)(1)

第三章水利工程风险估算2019/8/9风险分析第三章风险估算2水利工程中风险的定义：在规定的时间和规定的条件下，水利工程不能够完成预计功能的概率。水利工程中可靠度的定义：系统在规定的时间和规定的条件下，完成预定功能的概率。2019/8/9风险分析第三章风险估算3•规定的时间：在设计使用期内•规定的条件：规定的运行工况下•预定功能：根据不同的工程，功能不同2019/8/9风险分析第三章风险估算4系统的极限状态•整个系统或系统的某一部分超过某一特定状态时，系统就不能满足设计规定的某一功能要求，此特定状态称为该系统的极限状态。2019/8/9风险分析第三章风险估算5功能函数•系统的极限状态可通过功能函数定义设X1，X2，……，Xn为影响系统功能的n个随机变量，则下面的随机函数称为系统的功能函数），，，（n21XXXgZ2019/8/9风险分析第三章风险估算6当Z0时，系统可以完成规定功能，处于可靠状态当Z0时，系统丧失规定功能，处于失效状态当Z=0时，系统处于临界状态，或称为极限状态2019/8/9风险分析第三章风险估算7荷载和抗力•荷载可以理解为使系统失去中规定功能的影响因素•而抗力则可理解为使系统保持可靠状态的影响因素。2019/8/9风险分析第三章风险估算83.1抗洪能力为常值的风险分析抗洪能力为常值，即抗力为常值，非随机变量。而洪水的值（荷载）为随机变量。假设洪水设计值x0对应的超过概率p是已确定的值以上定义的在水文计算中叫重现期，含义为平均意义上的发生间隔。TxFxPpr1)(00pT1•T被理解为首次发生时间的期望值更好。•首次发生时间：从现在开始首次发生指定事件（即)的时间间隔，是一个随机变量。2019/8/9风险分析第三章风险估算90x•显然，对于防洪系统（水库、围堰、河堤等）在运行过程中，要么发生超标准洪水，要么不发生，二者必居其一。因此可以用二项分布来表达。以施工导流工程为例：设施工全过程防洪年限N年中，实际遭遇超标准洪水I年，设计施工洪水频率为P，若允许超过设计标准的洪水次数为z，则有：设计施工洪水Xp的重现期为即：随机安全度式中：R称为随机风险度P1TTPXXPp1)(RPPCZIPSINIIN1)1(当N，Z确定之后，则S~P（或S~T）的关系可求得。对N10，T15时，上式可用泊松分布表达，近似可以写为：RieSZi1!0这里：TN因此在Z=0时，则得到：TeRN1或)1ln(RNT根据上两式，在给定风险度R及施工防洪年限N以后，则可算出设计频率P或设计重现期T了。可以看出，工期愈长，则遭遇超设计标准洪水的几率就愈大。例如：当围堰的使用期为N=1年或N=3年，若风险度R同取为10%，则有：围堰用一年，N=1年，年5.2847.28)10.01ln(33T围堰用三年，N=3年，年5.949.9)10.01ln(11T由此可以看出，围堰只用一年和用三年相比，若要承受同样的风险，则设计的重现期后者比前者更长。重现期为T年，围堰使用期为N年内都不出现重现期为T的洪水的概率则为（1-1/T)N，风险度R则为：NRT/1)1(-11NTR111NRP/1)1(-1或的T10年，R50%的情况下，则可简化为：NTNR5.0NRNT5.0或在风险度R和施工年限N已给定的条件下，设计施工洪水频率P（或重现期T）立即可以求得。这样可以在施工年限和设计洪水组合上考虑经济与安全的统一。•参考文献：论施工导流标准，肖焕雄，水力发电学报，1987年第3期。2019/8/9风险分析第三章风险估算173.2抗洪能力为随机变量的风险分析实际上，水文事件和抗洪能力都是随机变量，亦即荷载和抗力都是随机变量。那么风险可以定义为0)(PrPrRSRSR记SRZ则破坏可以定义为0Z一般R，S是独立的、不同分布的随机变量；Z的分布较难推出。先考虑下面的情况。1、设R和S都服从正态分布),(~),(~22RRSSmNSmNR则),-(~22SRSRmmNZ的正态分布zmzzfZZZ-21exp21)(2Z的概率密度函数为概率密度如图dzmzdzzfZPPZZZf20021exp21)()0(dzmzdzzfZPPZZZr20021exp21)()0(2、R,S为非正态分布随机变量概率密度函数分别为fR(r)和fS(s)失效概率依然可以表示为)0)()0(SRPZPPf先考虑抗力落在区间ds内的概率，显然dssfdssSdssPS)(22(）而抗力R小于荷载S的概率为drrfSRPRs)((0）假定R和S为相互独立的随机变量，则根据概率的乘法定理，在S落在ds的时候，R小于S的概率应为sSdrRfdssf0)()(失效的概率Pf是在整个区间（0，）上R小于S的概率，所以有dssfsFdsdrrfsfPSRsSf)()()()(00R0sRdrrfsF0R)()(drrfrFdrdssfrfPRSrRf)()()()(0S0同理，还可写成：3、可靠度与可靠指标仍以R和S均为正态随机变量的极限状态方程为例有dzmzdzzfZPPZZZf20021exp21)()0(将正态分布的随机变量Z转换成标准正态分布随机变量Y有)-2exp212-ZZmfmdyyPzz（)()22fSRSRZZPmmm（引入符号并令4、计算可靠指标的两个常用公式5、可靠指标与安全系数的关系a.可靠指标可以反映变量的随机性，能够更加真实地反映系统的风险情况。b.可靠指标可以反映随机变量的离散程度，更加合理。3.3一次二阶矩法•结构功能函数大多是非线性函数，且不服从正态分布。不能直接计算结构可靠指标，而采用近似计算法。•在通常情况下，只有一阶矩(均值)和二阶矩(方差)较容易得到。•一次二阶矩法是一种在随机变量的分布尚不清楚时，采用只有均值和标准差的数学模型去求解结构可靠度的方法。•该法将功能函数在某点用泰勒级数展开，使之线性化，然后求解结构的可靠度，因此称为一次二阶矩。),,,(21nxxxgZ定义如果函数f(x)在x0的某邻域内是存在任意阶导数,则幂级数称为函数f(x)在x0处的泰勒级数.泰勒级数nnnnnxxnxfxxxfxxxfxfxxnxf)(!)()(!2)())(()()(!)(00)(200000000)(　•不考虑随机变量的实际分布，给出有关结构构件可靠度的解析表达式，采用泰勒级数在平均值（中心点）处展开，进行分析和计算，称为均值一次二阶矩法。1、均值一次二阶矩法•在早期结构可靠性分析中，假设线性化点就是均值点，此时，极限状态方程为：•••式中表示随机变量的对应均值0xxim0)(),,,(121nimixiixnxxxxgmxmmmgZ),,1(nimix),,1(nixi设各随机变量统计独立，功能函数Z的均值mz，和标准差σz可由下式求得：22122),,,()(21ixnXmniiZxxxZXgZEZEmmmgZEm例题8：圆截面直杆，承受拉力P=100kN，已知材料屈服强度fy的均值及标准差、杆的直径均值和标准差分别为：用均值一次二阶矩法求杆的可靠性指标β。22/5.2,/29:,3.0,3:cmkNcmkNffcmcmmdyfyydd解题步骤：①给出极限状态方程②求偏导，给出均值泰勒展开线性化方程③求均值④求标准差⑤求可靠性指标β解：P为常量，fy与d为随机变量。用极限载荷表示的极限状态方程为：所以有：04),(2PfddfgZyy069.7494422dmmymdfgxx1366592900032.22yxxfdmymmmfddg0069.7)29000(136659)0.3(9.104988)()()4(),(2ymyfymdyfdyfdfgmfdgmdPmmdfgZxyx方程为：07214419332),(dfdfgZyy线性化后的极限状态方程为：由此有：1xmyfg19332xmdgZ的均值：1484972147193323290007214719332dfZmmmy可靠度指标为：35.2631514849ZZm63153.01933225001)(22222122imiZixxxgZ的标准差：另一解法：解：P为常量，fy与d为随机变量。用应力极限状态方程来进行求解：有：04),(2dPfdfgZyy1xmyfg94318833dmmmPdPdgxx4244094311)29000(9431)0.3(94000002900)()()4(),(2dffdfgmfdgmdmPmdfgZyymyfymddyfyxyx由此得：1xmyfg9431xmdg14850424403943129000ZmZ的均值：Z的标准差：37763.09431250012222Z可靠度指标为：93.3377614850ZZm优点：（1）直接给出β，直观（2）计算简便，当β=1~2时，尤为适用。缺点：由上可以看出，对于同一问题，当采用不同的且等效的极限状态方程时，将获得不同的可靠度指标β，这就是均值一次二阶矩法存在的严重问题，即（1）同一失效面，可能有多个等效的失效函数，（2）取不同形式的功能函数，计算得到的可靠度指标不同。这是因为对于非线性功能函数，因略去二阶及高阶项，故随着线性化点X0i(i=1，…，n)到失效边界距离的增加而使误差越来越大.由于选用均值点作为线性点，而均值点一般在可靠区（M）而非失效边界上，故往往有相当大的误差。2、改进一次二阶矩为解决均值一次二阶矩的问题，将线性化点选在失效边界上，而且选在于结构最大可能失效概率对应的设计验算点P*(S*,R*)上。依此得到的方法称为改进一次二阶矩法或验算点法。该方法是1974年由Hasofer和Lind提出来的，也称H-L法。定义可靠度指标为：在标准化坐标系中从原点（均值点）到失效面的最短距离。当极限状态方程为线性的时候，则ZZm当极限状态方程为非线性的时候，则必须采用其他的方法来求得β，其中最常用的是迭代法。β的求法：已知随机变量，对应的功能函数为：极限状态方程为：将验算点作为线性化点，用泰勒级数展开（一次展开），则有：),,,(21nxxxgZ0),,,(21nxxxgZ),,2,1(nixi),,2,1(*nixi0)(),,,(1***2*1*nixiiinxgxxxxxgZZ的均值：nixiixnZxgxmxxxgmi1***2*1*)(),,,(由于在失效边界面上，因此必有：*ix0),,,(**2*1nxxxgnixiixZxgxmmi1**)(所以Z的标准差nixiZixxg122*)(线性化nixixiZxgi1*且：21122**)(njxjxiXijxiXgxg表示第i个随机变量对整个标准差的相对影响，因此称为灵敏系数。在已知变量方差下，可以完全由确