点集拓扑学考试题目及答案

下为点集拓扑学考试的辨析题和证明题，解答是本人自己写的，可能有错误或者不足，希望对大家的考试有帮助。二、辨析题（每题5分，共25分，正确的说明理由，错误的给出反例）1、拓扑空间中有限集没有聚点。答：这个说法是错误的。反例：cbaX,,，规定拓扑aX,,，则当aA时，b和c都是A的聚点。因为b和c的领域只有X一个，它包含a，a不是A的聚点，因为aA\。2、欧式直线1E是紧致空间。答：这个说法是错误的。反例：对1E而言，有开覆盖Znnn|,，而对于该开覆盖没有有限子覆盖。3、如果乘积空间YX道路连通，则X和Y都是道路连通空间。答：这个说法是正确的。证明：对于投射有XYXP1，YYXP2，由投射是连续的，又知YX是道路连通，从而像也是道路连通空间，所以X和Y都是道路连通空间。4、单位闭区间I与1S不同胚。答：这个说法是正确的。下面用反证法证明，反设I与1S同胚，则21\21\2:21\2|1fSf也是同胚映射，21\I不连通，则21\1S不连通，故矛盾，所以单位闭区间I与1S不同胚。5、紧致性具有可遗传性质。答：这个说法是错误的。反例：1,0紧致但1,0不紧致。三、证明题（每题10分，共50分）1、规定111,0\:EEf为110,xxxxxf，证明f是连续映射，但不是同胚映射。证明：由于f限制在0,与,1上连续，由粘接引理，f连续。但1f不连续，如0,是1,0\1E的闭集，但0,0,0,11ff不是1E的闭集，所以f不是同胚映射。2、证明：Hausdorff空间的子空间也是Hausdorff空间。证明：设X是Hausdorff空间，Y是X的任一子空间，需证Y是Hausdorff空间。Yyx,，由X是Hausdorff空间，所以存在yx,在X的开邻域U、V使得VU，YU是x在Y中开邻域，YV是y在Y中开邻域，YVUYVYU，故Y是Hausdorff空间。3、证明：从紧致空间到Hausdorff空间的连续双射是同胚。证明：要证明XYf:1连续，只需证f是闭映射，设A是X的闭子集紧致，所以A是紧致的。又因为紧致空间在连续映射下的像也紧致，所以Af是Y的紧致子集，又由于Hausdorff空间的紧致子集是闭集，所以Af是Y的闭集。4、设0X是X的既开又闭的子集，A是X的连通子集，则或者0XA或者0XA。证明：0XA是A的既开又闭的子集，由于A连通，则或者0XA或者AXA0即0XA。5、证明：道路连通性具有可乘性质。证明：设00,yx是11,yx是YX中两点，X和Y都是道路连通，则有X中道路a，以10,xx为起始点，又有Y中道路b，以10,yy为起始点，作YX中道路c为：tbtatc,，It，则c连接00,yx和11,yx，所以道路连通性具有可乘性质。