拓扑学测试题

拓扑学测试题一一、选择题（每小题2分，共10分）下列拓扑性质中，不满足连续不变性的是（）A.列紧B.序列紧C.可数紧D.紧致下列拓扑性质中，没有遗传性的是（）A.1T空间B.2T空间C.3T空间D.4T空间下列拓扑性质中，有限积性不成立的是（）A.1T空间B.2T空间C.3T空间D.4T空间设X多于两点，21,是X的两个拓扑，则下列命题不成立的是（）(A)21是X的某个拓扑的基;(B)21是X的一个拓扑;(C)21是X的一个拓扑;(D)21是X的某个拓扑的基。设A为度量空间),(dX的任一非空子集,则下列命题不成立的是（）(A)x为A的边界点当且仅当(,)(,)0dxAdxXA(B)x为A的聚点当且仅当(,)0dxA(C)x为A的内点当且仅当(,)0dxXA;(D)Ax当且仅当0),(Axd.二、二、判断题（每小题5分，共25分）三、仿紧空间是度量空间.（）四、商映射一定是闭映射或开映射.（）五、局部道路连通空间不一定是道路连通空间.（）六、连通空间一定是局部连通空间.（）七、若11:fS连续，则1t，使1()ft不可数.（）八、三、解答题（第1小题10分，第2小题15分，共25分）九、举例说明拓扑空间中的有限子集可以有聚点.十、设0,1,2X，试写出X上的所有拓扑.十一、四、证明题（每小题10分，共40分）十二、若X满足1T公理，则X中任一子集的导集都是闭集.十三、证明欧氏平面除去可数个点后仍是道路连通的.十四、证明至少有两个点的T4空间的连通子集一定是不可数集.十五、证明X为Hausdorff空间当且仅当{(,)|}xxxX是XX的闭集.答案一、选择题1、A2、D3、D4、C5、B二、是非题1、ⅹ2、ⅹ3、√4、ⅹ5、√三、解答题1.举例说明拓扑空间中的有限子集可以有聚点.解例如0,1X，,0,X，01.2.设0,1,2X，试写出X上的所有拓扑.解2个开集的共有1个：{Φ,{0,1,2}},3个开集的共有6个：{Φ,{0},{0,1,2}},{Φ,{1},{0,1,2}},{Φ,{2},{0,1,2}}，{Φ,{1,2},{0,1,2}},{Φ,{0,1},{0,1,2}},{Φ,{0,2},{0,1,2}}4个开集的共有9个：{Φ,{0},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{0},{0,2},{0,1,2}}，{Φ,{1},{1,2},{0,1,2}}，{Φ,{1},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{2},{0,2},{0,1,2}}，{Φ,{2},{1,2},{0,1,2}}，{Φ,{0},{1},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{0},{2},{0,2},{0,1,2}}{Φ,{1},{2},{1,2},{0,1,2}}5个开集的共有6个：{Φ,{0},{0,2},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{1},{1,2},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{2},{1,2},{0,2},{0,1,2}}{Φ,{1},{2},{1,2},{0,1,2}}{Φ,{0},{1},{0,1},{0,1,2}}{Φ,{0},{2},{0,2},{0,1,2}}6个开集的有6个：{Φ,{0},{1},{0,2},{0,1},{0,1,2}},{Φ,{0},{1},{1,2},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{1},{2},{1,2},{0,2},{0,1,2}},{Φ,{1},{2},{1,2},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{0},{2},{0,1},{0,2},{0,1,2}},{Φ,{0},{2},{1,2},{0,2},{0,1,2}}…8个开集的有1个：{Φ,{0},{1},{2},{1,2},{0,2},{0,1},{0,1,2}}因此共有1+6+9+6+6+1＝29个拓扑四、证明题1.若X满足1T公理，则X中任一子集的导集都是闭集.证明设AX，只要验证cA是开集.cxA，则x有开邻域U，使得\UxA，由1T公理知，\Ux是开集，从而\cUxA，于是cUA；所以x是cA的内点.2.证明欧氏平面除去可数个点后仍是道路连通的.证明设X是从2R除去可数个点后所得到的空间,,xyX，若xy，设L是线段xy的中垂线，设zL,用(,,)xyz表示连接,,xyz的折线,由于这样的折线有不可数多条,而X的余集Y是可数集,所以至少有一条折线(,,)xyz不含Y中的点,这表明X是道路连通的.3.证明至少有两个点的4T空间的连通子集一定是不可数集.证明设X是至少有两个点的连通的4T空间Y的子集，设,xy是X中的两个不同点，令{},{}AxBy，则A和B是子空间X中的两个非空不相交的闭集，故由乌里松引理知，存在连续函数:[0,1]fX使得，()0,()1fxfy，又因X是连通的，故()fX是[0,1]中的连通集，而0,1()fX，因此()[0,1]fX，于是X一定是不可数集.4.证明X为Hausdorff空间当且仅当{(,)|}xxxX是XX的闭集.证明（必要性）要证为闭集，只要证它的余集是开集。(,),(,)cxyxy为内点.由(,)cxy知，xy，因X为Hausdorff空间知，存在x开邻域U，y的开邻域V，使得,UV于是(,)cxyUV，所以(,)xy为内点，这就证明了为闭集.（充分性）对,,xyxy,由的定义知，(,)xy，即由Δ为闭集知，c为开集，于是存在开集,UV使得(,)cxyUV，由cUV知，,UV为,xy的不相交的邻域，这表明X为Hausdorff空间.