拓扑学基础试题及解答

1“拓扑学基础”试题及答案一、单项选择题（每小题2分，共20分）1、设{1,2,3}X，则下列是X的拓扑的是【A】A、{,,{1}}XB、{,,{1,2},{2,3}}XC、{,,{2},{3}}XD、{,,{1},{2},{3}}X2、下列有关连续映射:fXY正确的是【B】A、对X中的任意开集U，有()fU是Y中的一个开集B、Y中的任何一个闭集B，有1()fB是X中的一个闭集C、Y中的任何一个子集A，有11()()fAfAD、若f还是一一映射，则f是一个同胚映射3、设X和Y是两个拓扑空间，A是X的一个子集，则下列错误的是【C】A、若:fXY是连续的，则|:AfAX也是连续的B、若:fXY是一个同胚，则|:()AfAfA也是一个同胚。C、:()fXfX是一个连续映射，则:fXY不一定是一个连续映射D、若X可嵌入Y，则X的任何一个子空间也可嵌入Y4、设X是一个拓扑空间，AX，则()A=【D】A、AAB、00AAC、0()AD、()XA5、下列有关连通性的命题正确的是【C】A、若A和B是拓扑空间X中的两个隔离子集，且XAB，则X是不连通的。B、有理数集Q作为实数空间子空间是一个连通空间C、若12,YY均为X的连通子集，且12YY，则12YY也是X的一个连通子集D、设Y是X的一个连通子集，ZX，若YZ，则Z也是X的一个连通子集6、下列拓扑性质中，没有继承性的是【D】A、1T空间B、2T空间C、3T空间D、4T空间7、下列有关命题，正确的是【B】A、若拓扑空间X是连通的，则X一定是局部连通的B、若拓扑空间X是道路连通的，则X一定是连通的C、若拓扑空间X是局部连通的，则X一定是道路连通的D、若拓扑空间X是连通的，则X一定是道路连通的8、下列有关实数空间，不正确的是【D】A、它满足第一可数性公理B、它满足第二可数性公理C、它的任何一个子空间都满足第二可数性公理D、它的任何一个子空间都是连通的9、下列有关Lindelöff空间的描述正确的是【A】A、任何一个满足第二可数性公理的空间都是Lindeöff空间B、任何一个Lindelöff空间都是第二可数性空间C、Lindelöff空间的子空间还是Lindeöff空间2D、满足第一可数性公理的空间的每一个子空间都是Lindeöff空间10、设A是度量空间（,X）中的一个非空子集，则下列命题错误的是【C】A、()xdA当且仅当(,{})0xAxB、()xdA当且仅当(,)0xAC、对xA，且有(,)BxA，则A为X中的一个开集D、xA当且仅当(,)0xA二、填空题（每空2分，共20分）请将答案写在横线上。1、若拓扑空间X有一个可数稠密子集，则称是一个可分空间。2、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映下的象所具有，则称这个性质是一个在连续映射下保持不变的性质。3、设E是实数空间的一个子集，E是一个连通子集当且仅当E是一个区间。4、实数空间中的有理数集Q，则()dQ=。5、设Y是拓扑空间(,)XJ的一个子空间，则Y的拓扑为|YJ。6、实数空间的一个基是{(,)|,abab且}ab。7、集合X的两个度量1和2是等价的，若A是1(,)X中的一个闭集，则A是2(,)X中的一个闭集。8、恰含2个点的拓扑空间一共有3个同胚等价类。9、设X是一个拓扑空间，DX，若D是X的一个稠密子集，则D=X。10、设X是一个拓扑空间，C是X的一个连通分支，则C=C。三、名词解释（每小题3分，共12分）1、紧致空间答：设X是一个拓扑空间，如果X的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个紧致空间。2、同胚映射答：设X与Y是两个拓扑空间，如果:fXY是一个一一映射，并且f与1:fYX都是连续的，则称f是一个同胚映射。3、不连通空间答：设X是一个拓扑空间，如果X中的有两个非空的隔离子集A和B，使得XAB，则称拓扑空间X是一个不连通空间。4、稠密子集答：设X是一个拓扑空间，DX，如果D的闭包等于整个拓扑空间X，即DX，则称D是拓扑空间X的一个稠密子集。四、证明题（第1小题8分，其余每小题10分，共48分）31、（8分）设(,)X是一个离散的度量空间，证明：（1）（4分）X的每一个子集都是开集（2）（4分）若Y也是一个度量空间，则任何映射:fXY都是连续的证明：（1）对X中的任意一个子集UxU，令11(,){|(,)}22BxyXxy又X是一个离散的度量空间∴当xy时(,)1xy1(,){}2Bxx1(,)2xBx从而U是X中的开集（2）（4分）对Y中的任意一个开集V，1()fV是X中的一个子集X是一个离散的度量空间。由（1）知：1()fV是X中的开集f是一个连续映射2、（10分）设{,,}Xabc，{,,{,},{}}JXabb（1）（3分）验证J是X的一个拓扑（2）（7分）若{,}Abc，求()dA证明：（1）,XJ{,}{}{}abbbJ{,}{}{,}abbabJJ是X的一个拓扑（2）对点a，对点a的任意邻域U，都有{,}aabU，而({}){,}({})UAaabAa()adA对点b{}bJ{}b为点b的一个开邻域且{}({})bAb()bdA对于点c，其只有一个邻域X，且({})xAc()cdA(){,}dAac3、（10分）设X和Y是两个拓扑空间，:fXY，证明以下两个条件等价4（1）f连续；（2）对于Y的每一个子集B，有1010()(())fBfB证明：（1）（2）0BB101111()()()()fBfBfYBXfB又f连续∴对于Y中的任何一个子集C，有11()()fCfC10111()()()()fBXfBXfBXXfB110(())(())fBfB即1010()(())fBfB成立（2）（1），对Y的任何一个子集B，1010()(())fBfB成立11()(())fBfB11()(())XfBXfB111()(())(())fBfBfB令AB，则A是Y中的一个子集，且11()()fAfA由B的任意性可知A的任意性f是连续的4、（10分）设Y是拓扑空间X的一个子集，证明：Y是X的一个不连通子集，当且仅当X中存在两个非空集合A和B，使得,,YABABYA和YB成立。证明：充分性：YABYABAB令1AYA，2AYB则12YAAAB12AAYAYBABY同理有12AA,YAYB,YAYAYBYB即12,AA为Y的非空隔离子集Y是不连通子集必要性：Y是X的一个不连通子集则存在Y中的两个非空隔离子集1,AB，使得：11YAB且11,AB为Y中的两个闭子集从而11,AB为X中的两个闭子集51111,,ABYAYB5、（10分）设X和Y是两个拓扑空间，:fXY是一个连续映射，证明：如果X是一个Lindelöff空间，则()fX也是一个Lindelöff空间。证明：:fXY是一个连续映射:()fXfX也是一个连续映射设A为()fX的任意一个开覆盖，即()AfXUAA11()()AAXfUAUfAAA∵f连续AA，1()fA是X中的开集1()AUfAA是X的一个开覆盖又X是Lindelöff空间∴存在一个可数子覆盖1AA使得：11()AUfAXA从而11(())()AfUfAfXA即1()AUAfXA()fX也是Lindelöff空间