中考专题---平行四边形综合复习

1中国领先的中小学教育品牌一、同步知识梳理知识点1：平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形。定义的作用：（1）给出一种判定四边形是平行四边形的方法，如果所给四边形的两组对边分别平行，那么它一定是平行四边形；（2）给出了平行四边形的一个重要性质:两组对边分别平行。知识点2：平行四边形的性质（1）定义性质：平行四边形的两组对边分别平行。（2）性质:A、平行四边形的对角相等。B、平行四边形的对边相等。C、平行四边形的对角线互相平分。（3）平行四边形是中心对称图形，平行四边形绕其对角线的交点旋转180后，与自身重合，我们说平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点。注意：边：对边平行，对边相等；角：对角相等，邻角互补；对角线：对角线互相平分。知识点3：平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形二、同步题型分析题型1：平行四边形的定义例1：如图1，四边形ABCD与四边形BEFC都是平行四边形，则四边形AEFD是_，理由是__解：平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形例2：判断题：(1)两条对边平行的四边形叫做平行四边形．()(2)平行四边形的两角相等．()(3)平行四边形的两条对角线相等．()(4)平行四边形的两条对角线互相平分．()(5)两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段叫做两条平行线的距离．()2中国领先的中小学教育品牌(6)平行四边形的邻角互补．()题型2：平行四边形的性质例1：如图，□ABCD中，∠B、∠C的平分线交于点O，BO和CD的延长线交于E，求证：BO=OE．证明：在□ABCD中，∵AB//CD，∴EABE，又∵CBEABE（角平分线定义）．∴ECBE，又∵OCOC，OCEOCB∴OCBOCE∴BO=OE．例2：已知：如图4－21，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F．求证：OE＝OF，AE=CF，BE=DF．证明：在ABCD中，AB∥CD，∴∠1＝∠2．∠3＝∠4．又OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)，∴△AOE≌△COF（ASA）．∴OE＝OF，AE=CF（全等三角形对应边相等）．∵ABCD，∴AB=CD（平行四边形对边相等）．∴AB—AE=CD—CF．即BE=FD．例3：如图，□ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，G、H分别为AD、BC的中点，求证：EF和GH互相平分．证明：连结EH，HF、FG、GE∵AE⊥BD，G是AD中点．12GEGDAD∠GED=∠GDE同理可得1,2HFHBBCHFBHBF∵四边形ABCD是平行四边形∴ADBC，∠GDE=∠HBF∴GE=HF，∠GED=∠HFB∴GE∥HF∴四边形GEHF为平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)∴EF和GH互相平分．(平行四边形对角线互相平分)题型3：平行四边形的判定例1：如图，已知在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）若点G、H分别在线段BA和DC上，其余条件不变，则（1）中的结论是否成立？（不用说明理由）(★)解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，3中国领先的中小学教育品牌∴AB=CD，AB∥CD，∴∠GBE=∠HDF．又∵AG=CH，∴BG=DH．又∵BE=DF，∴△GBE≌△HDF．∴GE=HF，∠GEB=∠HFD，∴∠GEF=∠HFE，∴GE∥HF，∴四边形GEHF是平行四边形．（2）解：仍成立．（证法同上）例2：如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．（1）求证：BE=DF；（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）．解答：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，∴∠AEB=∠CFD=90°，∴△ABE≌△CDF，∴BE=DF；（2）四边形MENF是平行四边形．证明：有（1）可知：BE=DF，∵四边形ABCD为平行四边行，∴AD∥BC，∴∠MDB=MBD，∵DM=BN，∴△DNF≌△BNE，∴NE=MF，∠MFD=∠NEB，∴∠MFE=∠NEF，∴MF∥NE，∴四边形MENF是平行四边形．三、课堂达标检测检测题1：1.已知在平行四边形ABCD中，∠A＝72°，∠B＝___________2.已知在平行四边形ABCD中，AB＝5，它的周长30。BC＝__________3.已知在平行四边形ABCD中，∠A与∠B的度数之比为2∶3，∠B＝___________4.已知在平行四边形ABCD中，∠BAC＝58°，∠ACB＝26°，∠D=___________答案1.108°2.103.108°4.96检测题2：如图，□ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．求证：四边形AECF是平行四边形．证明：□ABCD中，ABCD∴∠ABD=∠CDB(两直线平行内错角相等)AE⊥BD、CF⊥BD∴AE∥CF∠AEB=∠CFD=90°∴△ABE≌△CDF(AAS)∴AE=CF∴四边形AECF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)检测题3：已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC交BD于点O，四边形AODE是平行四边形．求证：四边形ABOE、4都是平行四边形．(★)证明：∵□ABCD中，对角线AC交BD于点O，∴OB=OD，又∵四边形AODE是平行四边形，∴AE∥OD且AE=OD，∴AE∥OB且AE=OB，∴四边形ABOE是平行四边形，同理可证，四边形DCOE也是平行四边形．一、专题精讲例1：平行四边形的综合判定如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形．（1）当AB≠AC时，证明：四边形ADFE为平行四边形；（2）当AB=AC时，顺次连接A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件．（1）证明：∵△ABE、△BCF为等边三角形，∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°．∴∠CBA=∠FBE．∴△ABC≌△EBF．∴EF=AC．又∵△ADC为等边三角形，∴CD=AD=AC．∴EF=AD．同理可得AE=DF．∴四边形AEFD是平行四边形．（2）解：构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段．当图形为菱形时，∠BAC≠60°（或A与F不重合、△ABC不为正三角形）当图形为线段时，∠BAC=60°（或A与F重合、△ABC为正三角形）．例2：平行四边形中的计算如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，则△DFE∽△BAE，∴DFDEABEB＝，∵O为对角线的交点，∴DO=BO，又∵E为OD的中点，∴DE=14DB，则DE：EB=1：3，∴DF：AB=1：3，5中国领先的中小学教育品牌