线性系统部分总复习(2015)

总复习：现代控制理论1主要学习内容Ch1绪论Ch2线性系统的状态空间描述Ch3线性系统的运动分析Ch4线性系统的能控性和能观性Ch5系统运动的稳定性Ch6线性反馈系统的时间域综合总复习：现代控制理论2一．系统数学描述的两种基本类型1、输入—输出描述（外部描述）(1)用传递函数、微分方程等表征；(2)是系统的外部描述；(3)是对系统的不完全描述。第2章线性系统的状态空间描述2、状态空间描述（内部描述）(1)用状态空间表达式表征；(2)是系统的内部描述；(3)是对系统的完全描述。总复习：现代控制理论3二、线性定常连续系统状态空间表达式的建立建立状态空间表达式的方法主要有两种：1.根据系统机理建立状态空间表达式2.由系统输入输出描述建立状态空间表达式能控标准型实现能观测标准型实现总复习：现代控制理论41.可控规范形实现设1212101110()()()()()nnnnnnnsssYsNsGsUssasasaDs则矩阵形式的可控规范形实现为Auyxx+bcx式中：01101210100000100,,000101nnAaaaab=c=友矩阵上一页下一页返回主目录总复习：现代控制理论52）可观测规范形实现Auyxxbcx1212101110()()()()()nnnnnnnsssYsNsGsUssasasaDs则矩阵形式的状态方程和输出方程为式中：00112211000100010;;0001001nnnaaAaabc友矩阵上一页下一页返回主目录总复习：现代控制理论6三、传递函数矩阵的计算设线性定常连续系统的状态空间描述为：()()()()()()tAtBttCtDtxxuyxu在初始条件为零时，系统的传递函数矩阵表达式为：1()()GsCsABDI总复习：现代控制理论71.非奇异线性变换的不变特性非奇异线性变换后系统特征值不变、传递函数矩阵不变、能控性不变、能观测性不变、能控性指数不变、能观测性指数不变、稳定性不变.2.线性系统等价状态空间描述四、线性定常系统的坐标变换对于线性定常系统，两个代数等价的状态空间描述，可以化为相同的对角线规范型、约当规范型、能控规范型和能观规范型。总复习：现代控制理论82.线性时不变系统等价状态空间描述对状态向量x引入线性非奇异变换，则变换后的状态空间描述1xPxxAxBuyCxDun阶线性定常系统的状态空间描述为：xAxBuyCxDu11,,,APAPBPBCCPDD其中：称系统两种不同的状态空间描述(a)，(b)为代数等价的，对于参数矩阵满足上述关系的系统称为代数等价系统。(a)(b)总复习：现代控制理论9对角规范形状态方程中的系统矩阵A具有对角形的形式。约当规范形状态方程中的系统矩阵A具有分块对角形的形式。3.状态方程的对角规范形和约当规范形总复习：现代控制理论101)对角线规范形1)可化为对角线规范形的条件已知n阶线性定常系统的状态方程为xAxBu当系统矩阵A具有n个线性无关的特征向量时，可以通过线性非奇异变换变换为对角线规范形。即以下2种情况下可化为对角线规范形：12,,,n（1）系统矩阵A的n个特征值两两互异；（2）系统矩阵A有重特征值，且所有特征值的几何重数都等于其代数重数。总复习：现代控制理论112)约当规范形1)化为约当规范形的条件对于n阶线性定常系统当系统矩阵A有重特征值，且矩阵A的线性无关的特征向量个数少于n时，则可以通过线性非奇异变换变换为约当规范形。xAxBu总复习：现代控制理论123）特征值的代数重数和几何重数（a）代数重数设λi为系统矩阵A的一个特征值，且有det()(-)()()0iiiiisAss则称σi为特征值λi的代数重数。说明1：矩阵A的重特征值λi的重数σi就是特征值λi的代数重数。说明2：若n阶线性定常系统含有重特征值λi且可化为约当规范形时，λi的代数重数σi为该规范形中所有属于特征值λi的约当小块的阶数之和。总复习：现代控制理论13（b）几何重数设λi为系统矩阵A的一个特征值，λi的几何重数可由下式计算()iinrankIA说明：若n阶线性定常系统含有重特征值λi且可化为约当规范形时，λi的几何重数αi为该规范形中特征值λi对应的约当小块的个数。总复习：现代控制理论14说明：约当规范形的特点对包含重特征值的n维线性时不变系统，系统矩阵的约当规范形是一个“嵌套式”的对角块阵。“外层”反映整个矩阵，其形式是以相应于各个特征值的约当块为块元的对角线分块阵，约当块的个数等于相异特征值个数l，约当块的维数等于相应特征值的代数重数。“中层”就是约当块，其形式是以约当小块为块元的对角线分块阵，约当小块的个数等于相应特征值的几何重数。“内层”为约当小块，约当小块为“以相应特征值为对角元，其右邻元均为1，其余元素均为0”的矩阵。总复习：现代控制理论15五、组合系统的状态空间描述组合系统：由两个或两个以上的子系统按一定方式相互联接而构成的系统称为组合系统。基本的互联方式有三种：并联、串联和反馈三种组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵总复习：现代控制理论16两个线性时不变子系统S1和S2的状态空间描述分别为：11111111111ABSCD：xxuyxu22222222222ABSCD：xxuyxu一、子系统并联1111222211212200ABABCCDDxxuxxxyux1()()NiisGsG总复习：现代控制理论17二、子系统串联1111221222112122120ABBCABDDCCDDxxuxxxyux11()()()()NNsGsGsGsG总复习：现代控制理论18三、子系统反馈连接1111212122211200ABCBBCACxxuxxxyx1121()()()()ssssGIGGG1121()()()()ssssGGIGG或总复习：现代控制理论19第3章线性系统的运动分析一．线性定常系统的状态转移矩阵的定义线性定常系统的状态转移矩阵为：0()00(),Attttett(),0Attet当t0=0时，可将其表为即对于线性定常系统来说，它的状态转移矩阵就是矩阵指数函数。000,(),ABtttxxuxx总复习：现代控制理论20二．线性定常系统的状态转移矩阵的性质和计算1．性质：（7条）1()();tt()()(0)tAtI2．的计算方法()Atte1）定义法0()tAt（最常用）])[()(11AsLt3）拉氏反变换法（※）2）特征值法总复习：现代控制理论21三．线性定常系统状态方程解x(t)的计算(求线性定常系统的状态响应和输出响应)1．积分法：00()(),0txttBtdtxu2．拉氏变换法：1110()()()[+()]tLXsLsABsxxU总复习：现代控制理论22第4章线性系统的可控性与可观测性一、线性定常连续系统的可控性判据1．秩判据2．PBH秩判据3．对角线规范型判据4．约当规范型判据总复习：现代控制理论231.秩判据线性定常系统0()()()(0)0xtAxtButxxt完全能控的充分必要条件是1ncrankQrankBABABn其中:n为矩阵A的维数，称为系统的能控性判别阵。1ncQBABAB注：秩判据是一种方便，应用广泛的判别方法。总复习：现代控制理论242．PBH秩判据线性定常系统0()()()(0)0xtAxtButxxt完全能控的充分必要条件是：对矩阵A的所有特征值，(1,2,,)iin1,2,,irankIABnin均成立，或等价地表示为,ranksIABnsC注：当系统矩阵A的维数较高时，应用秩判据可能不太方便，此时可考虑用PBH秩判据试一下。总复习：现代控制理论253．对角线规范型判据当矩阵A的特征值为两两相异时，线性定常连续系统完全能控的充分必要条件是：其对角线规范型12,,,n0()()()(0)0xtAxtButxxt12nxxBu中，不包含元素全为零的行。B总复习：现代控制理论26当系统矩阵A有重特征值时，线性定常连续系统完全能控的充分必要条件是：由其导出的约当规范型中，中与同一特征值的各约当块对应的各子块的最后一行组成的矩阵是行线性无关的。0()()()(0)0xtAxtButxxtˆˆˆˆABxxuˆB4．约当规范型判据总复习：现代控制理论27二．线性定常连续系统的能观测性判据1．秩判据2．PBH秩判据3．对角线规范型判据4．约当规范型判据总复习：现代控制理论281.秩判据线性定常系统完全可观测的充分必要条件是:或0(0)0xAxxxtyCx1onCCArankQranknCA1[()]TTTTnTorankQrankCACACn其中：n是系统的维数，Qo称为系统的能观测性判别阵，简称能观测性阵。总复习：现代控制理论292.PBH秩判据线性定常系统完全能观测的充分必要条件是：对矩阵A的所有特征值，均有0(0)0xAxxxtyCx),,2,1(niiIrank;1,2,,iAninCIsAranknsCC，成立。或等价地表示为总复习：现代控制理论303.对角线规范型判据12,nxxyCx当矩阵A的特征值为两两相异时，线性定常连续系统完全能观测的充分必要条件是：其对角线规范型12,,,n中，不包含元素全为零的列。0(0)0xAxxxtyCxC总复习：现代控制理论314.约当规范型判据当系统矩阵A有重特征值时，线性定常连续系统完全能观测的充分必要条件是：由其导出的约当规范型中，中与同一特征值的各约当块对应的各子块的第一列组成的矩阵是列线性无关的。0(0)0xAxxxtyCxˆˆˆˆˆACxxy=xˆC总复习：现代控制理论32考虑连续时间线性时变系统线性时变系统的对偶系统的状态空间描述为：（1）（2）()()()xAtxBtuyCtx：()()()TTTTTdTTTAtCtBt：四、对偶性1.对偶系统：2.对偶原理：线性时变系统的完全能控等同于其对偶系统的完全能观测，线性时变系统的完全能观测等同于其对偶系统的完全能控。总复习：现代控制理论331.能控规范形的定义：对完全能控的单输入单输出线性时不变系统，如果其状态空间描述具有如下形式cccAbycxxux其中：01-10101cnA001cb则称此状态空间描述为能控规范形。五.能控能观规范形总复习：现代控制理论34结论：对于完全能控的单输入单输出线性时不变系统Abycxxux其中：A为n×n常阵，b，c分别为n维列向量和n维行向量。设系统的特征多项式为1110()det()nnnssIAsss引入非奇异线性变换阵P：2.化SISO能控系统为能控规范形111111111111[]11nnnnnnPAbAbbbAbAb