留数的理论及应用

1留数的理论及应用摘要：留数定理是复积分和复级数理论相结合的产物，需要正确理解孤立奇点的概念与孤立奇点的分类和函数在孤立奇点的留数概念．掌握留数的计算法，特别是极点处留数的求法，实际中会用留数求一些实积分．留数是复变函数论中重要的概念之一，它与解析函数在孤立奇点处的洛朗展开式、柯西复合闭路定理等都有密切的联系．现在研究的留数理论就是柯西积分理论的继续，中间插入的泰勒级数和洛朗级数是研究解析函数的有力工具．留数在复变函数论本身及实际应用中都是很重要的，它和计算周线积分的问题有密切关系．此外应用留数理论，我们已有条件去解决“大范围”的积分计算问题，还可以考察区域内函数的零点分布状况．关键词：留数理论；泰勒级数；积分ResidueTheoryandItsApplicationAbstract：Residuetheoremisacomplexseriespointsandcomplexproductofthecombinationoftheory，theneedtocorrectlyunderstandtheconceptofanisolatedsingularpointwiththeisolationoftheclassificationandfunctionintheisolatedsingularpointoftheconceptofresidue．Haveleftthenumberofcalculations，especiallyDepartmenttostaythenumberofpolesforlaw，inpractice．Willremainafewpointforsomeofit．Tostaythenumberofcomplexfunctiontheory，oneimportantconcept，itisanalyticfunctionintheisolatedsingularpointLaurentexpansions，Cauchy’stheorem，suchasclosed-circuitcomplexarecloselylinked．ResearchnowistostayafewtheoriesCauchyintegraltheoryisthecontinuationofthemiddleinsertTaylorseriesandLaurent’sseriesistostudyapowerfultoolforanalyticfunctions．Stayafewinthecomplexfunctiontheoryandpracticalapplicationinitselfisveryimportantandcalculationofweeksofitslineintegraliscloselyrelatedtotheproblem．Inadditiontheapplicationofresiduetheory，wehavetheconditionstosolvethe”iderange”heintegralcalculationcanalsovisittheregionfunctionagainstdistribution．Keyword：Cauchyintegraltheory；TheoryofTaylor；Seriestostayafewpoints引言对留数理论的学习不仅是前面知识的延伸，更为对原函数不易直接求得的定积分2和反常积分的求法提供了一个较为方便的方法．1.留数的定义定义1设函数fz以有限点a为孤立奇点，即fz在点a的某去心邻域0zaR内解析，则称积分1:,02fzdzzaRi为fz在点a的留数(residue)，记为zaResfz．定义2设为函数fz的一个孤立奇点，即fz在去心邻域:0Nrz内解析，则称1,:2fzdzzri为fz在点的留数，记为zResfz，这里是指顺时针方向(这个方向很自然地可以看作是绕无穷远点的正向)．2.留数的定理定理1(柯西留数定理)fz在周线或复周线C所范围的区域D内，除12,,,naaa外解析，在闭域DDC上除12,,,naaa外连续，则(“大范围”积分)12knCzakfzdziResfz．定理2设a为fz的n阶极点，nzfzza，其中z在点a解析，0a，则11!nzaaResfzn．这里符号0a代表a，且有11limnnzaaz．推论3设a为fz的一阶极点，zzafz，3则zaResfza．推论4设a为fz的二阶极点，2zzafz，则'zaResfza．定理5设a为zfzz的一阶极点(只要z及z在点a解析，且0,0,'0.aaa)，则'zaaResfza．定理6如果函数fz在扩充z平面上只有有限个孤立奇点(包括无穷远点在内)，设为12,,,,naaa，则fz在各点的留数总和为零．定理7设PzfzQz为有理分式，其中10100mmmPzczczcc与10100nnnQzbzbzbb为互质多项式，且符合条件：(1)2nm；(2)在实轴上0Qz，于是有Im02kkzaafxdxiResfz．定理8设PzgzQz，其中Pz及Qz是互质多项式，且符合条件：(1)Qz的次数比Pz的次数高，(2)在实轴上0Qz，(3)0m，则有Im02kkimximzzaagxedxiResgze．定理9设C是一条周线，fz符合条件：(1)fz在C的内部是亚纯的；(2)fz在C上解析且不为零．则有'1,,2CfzdzNfCPfCifz，式中,NfC与,PfC分别表示fz在C内部的零点与极点的个数(一个n阶零点算作n个零点，而一个m阶极点算作m个极点)．4定理10(儒歇定理)设C是一条周线，函数fz及z满足条件：(1)它们在C的内部均解析，且连续到C；(2)在C上，fzz，则函数fz与fzz在C的内部有同样多(几阶算作几个)的零点，即,,NfCNfC．3.留数的引理引理1设fz沿圆弧:iRSzRe(12，R充分大)上连续，且limRzfz于RS上一致成立(即与12中的无关)，则21limRSRfzdzi．引理2(若尔当引理)设函数gz沿半圆周:iRzRe(0，R充分大)上连续，且lim0Rgz在R上一致成立，则lim00RimzRgzedzm．引理3(1)设a为fz的n阶零点，则a必为函数'fzfz的一阶极点，并且'zafzResnfz；(2)设b为fz的m阶极点，则b必为函数'fzfz的一阶极点，并且'zbfzResmfz．4.留数的计算例1计算积分22521zzdzzz．解显然，被积函数2521zfzzz在圆周2z的内部只有一阶极点0z及二阶级点1z．5由推论3，02052|21zzzResfzz；由推论4，'1121522||2zzzzResfzzz；故由留数定理得225222201zzdzizz．例2计算积分tanznzdz(n为正整数)．解sintancoszzz只以1,0,1,2zkk为一阶极点，由定理5得1122sin1tan|,0,1,cos'zkzkzReszkz．于是，由留数定理得tanznzdz11222tanzkkniResz22ni4ni．例3计算积分31coszzdzz．解3coszfzz只以0z为三阶极点．由定理2得''0011cos2!2zzResfzz，故由留数定理得31cos122zzdziiz．例4计算积分211zzedz．解在单位圆周1z的内部，函数21ze只有一个本质奇点0z．在该点的去心邻域内由洛朗展式212411112!zezz，6于是2100zzRese．故由留数定理得22111020zzzzedziRese．例5计算积分152342412zzIdzzz．解被积函数一共由七个奇点：244,20,1,2,3kizizek以及z．前六个奇点均含在4z内部．要计算4z内部六个奇点的留数和是十分麻烦的，所以应用上述定理及留数定理得2zIiResfz．由下式可知fz在处的洛朗展式中1z这一项的系数1c．fz15232412zzz152316241211zzzz241121213zzz，因此，6.61zResfz，故2Ii．另外，也可应用公式2011ztResfzResftt．先看211ftt1523224111112tttt23241112ttt，它以0t为一阶极点．所以I2ziResfz6.720112tiResftt2i．7例6计算积分220,0112cosdIppp．解命ize，则dzdiz．当0p时，212112cos1zppzpppzzpz，这样就有21111zzdzIeizppz，且在圆1z内11fzzppz，只以zp为一阶极点，在1z上无奇点，以公式zaResfza有211|,0111zpzpResfzppzp，所以，由留数定理得221122,0111Iipipp．例7计算积分220sin,0cosIdabab．解命ize，则2222111412zzdzIzizzabz221221221zzidzabzzzb222112zzidzbzzz，其中2222,aabaabbb为实系数二次方程2210azzb的两个相异实根．由根与系数的关系1，且显然，故必1,1．于是，被积函数fz在1z上无奇点．在单位圆1z内只有一个二阶级点0z8和一个一阶极点z．由公式'zaResfza及zaResfza得'220201221zzzaResfzabzzb，2221|zzazResfzzz2221212222abb，由留数定理得222222iaabIibbb2222aabb．例