2018年广东省佛山市高考数学一模试卷(理科)

第1页，共16页2018年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数𝑧1=1−2𝑖2+𝑖 5的实部为(  )A.−0B.0C.1D.22.已知全集𝑈=𝑅，集合𝐴={0，1，2，3，4}，𝐵={𝑥|𝑥2−2𝑥0}，则图1中阴影部分表示的集合为(  )A.{0，1，2}B.{1，2}C.{3，4}D.{0，3，4}3.若变量𝑥，𝑦满足约束条件{𝑦≤0𝑥−2𝑦−1≥0𝑥−4𝑦−3≤0，则𝑧=3𝑥−2𝑦的最小值为(  )A.−1B.0C.3D.94.已知𝑥∈𝑅，则“𝑥2=𝑥+2”是“𝑥=√𝑥+2”的(  )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.把曲线𝐶1：𝑦=2sin(𝑥−𝜋6)上所有点向右平移𝜋6个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的12，得到曲线𝐶2，则𝐶2(  )A.关于直线𝑥=𝜋4对称B.关于直线𝑥=5𝜋12对称C.关于点(𝜋12，0)对称D.关于点(𝜋，0)对称6.已知tan𝜃+1tan𝜃=4，则cos2(𝜃+𝜋4)=(  )A.12B.13C.14D.157.当𝑚=5，𝑛=2时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为(  )第2页，共16页A.20B.42C.60D.1808.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(  )A.212B.15C.332D.189.已知𝑓(𝑥)=2𝑥+𝑎2𝑥为奇函数，𝑔(𝑥)=𝑏𝑥−log2(4𝑥+1)为偶函数，则𝑓(𝑎𝑏)=(  )A.174B.52C.−154D.−3210.△𝐴𝐵𝐶内角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐，若𝑎=5，𝐵=𝜋3，cos𝐴=1114，则△𝐴𝐵𝐶的面积𝑆=(  )第3页，共16页A.10√33B.10C.10√3D.20√311.已知三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶中，侧面𝑃𝐴𝐶⊥底面𝐴𝐵𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=90∘，𝐴𝐵=𝐴𝐶=4，𝑃𝐴=√10，𝑃𝐶=√2，则三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶外接球的表面积为(  )A.24𝜋B.28𝜋C.32𝜋D.36𝜋12.设函数𝑓(𝑥)=𝑥3−3𝑥2+2𝑥，若𝑥1，𝑥2(𝑥1𝑥2)是函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝜆𝑥的两个极值点，现给出如下结论：①若−1𝜆0，则𝑓(𝑥1)𝑓(𝑥2)；②若0𝜆2，则𝑓(𝑥1)𝑓(𝑥2)；③若𝜆2，则𝑓(𝑥1)𝑓(𝑥2).其中正确结论的个数为(  )A.0B.1C.2D.3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设𝑎⃗⃗=(1，2)，𝑏⃗=(−1，1)，𝑐⃗=𝑎⃗⃗+𝜆𝑏⃗，若𝑎⃗⃗⊥𝑐⃗，则实数𝜆的值等于______．14.已知𝑎0，(𝑎𝑥−1)4(𝑥+2)展开式中𝑥2的系数为1，则a的值为______．15.设袋子中装有3个红球，2个黄球，1个篮球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个篮球得3分，现从该袋子中任取(有放回，且每球取得的机会均等)2个球，则取出此2球所得分数之和为3分的概率为______．16.双曲线𝐶：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0，𝑏0)的左右焦点分别为𝐹1，𝐹2，焦距2c，以右顶点A为圆心，半径为𝑎+𝑐2的圆过𝐹1的直线l相切与点N，设l与C交点为𝑃，𝑄，若𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则双曲线C的离心率为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知各项均不为零的等差数列{𝑎𝑛}的前n项和𝑆𝑛.且满足2𝑆𝑛=𝑎𝑛2+𝜆𝑛，𝜆∈𝑅．(1)求𝜆的值；(2)求数列{1𝑎2𝑛−1𝑎2𝑛+1}的前n项和𝑇𝑛．18.有甲乙两家公司都愿意聘用某求职者，这两家公式的具体聘用信息如下：甲公司职位ABCD月薪/元6000700080009000获得相应职位概率0.40.30.20.1乙公司职位ABCD月薪/元50007000900011000获得相应职位概率0.40.30.20.1(1)根据以上信息，如果你是该求职者，你会选择哪一家公司？说明理由；(2)某课外实习作业小组调查了1000名职场人士，就选择这两家公司的意愿作了统计，得到如下数据分布：第4页，共16页人员结构选择意愿40岁以上(含40岁)男性40岁以上(含40岁)女性40岁以下男性40岁以下女性选择甲公司11012014080选择乙公司15090200110若分析选择意愿与年龄这两个分类变量，计算得到的𝐾2的观测值为𝑘1=5.5513，测得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析，选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？附：𝐾2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)𝑃(𝐾2≥𝑘)0.0500.0250.0100.005k3.8415.0246.6357.87919.如图，已知四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐵⊥𝐴𝐷，𝐴𝐵=3，𝐶𝐷=4，𝐴𝐷=𝐴𝑃=4，∠𝑃𝐴𝐵=∠𝑃𝐴𝐷=60∘．(1)证明：顶点P在底面ABCD的射影在∠𝐵𝐴𝐷的平分线上；(2)求二面角𝐵−𝑃𝐷−𝐶的余弦值．20.已知椭圆𝐶1：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0)的焦点与抛物线𝐶2：𝑦2=8√2𝑥的焦点F重合，且椭圆𝐶1的右顶点P到F的距离为3−2√2；(1)求椭圆𝐶1的方程；(2)设直线l与椭圆𝐶1交于𝐴，𝐵两点，且满足𝑃𝐴⊥𝑃𝐵，求△𝑃𝐴𝐵面积的最大值．第5页，共16页21.已知函数𝑓(𝑥)=(𝑥−𝑎)ln𝑥+12𝑥，(其中𝑎∈𝑅)(1)若曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(𝑥0，𝑓(𝑥0))处的切线方程为𝑦=12𝑥，求a的值；(2)若12𝑒𝑎2√𝑒(𝑒为自然对数的底数)，求证：𝑓(𝑥)0．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{𝑥=𝑡cos𝛼𝑦=2+𝑡sin𝛼(𝑡为参数，0≤𝛼𝜋)，曲线C的参数方程为{𝑥=2cos𝛽𝑦=2+2cos𝛽(𝛽为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)设C与l交于𝑀，𝑁两点(异于原点)，求|𝑂𝑀|+|𝑂𝑁|的最大值．23.已知函数𝑓(𝑥)=𝑥|𝑥−𝑎|，𝑎∈𝑅．(1)若𝑓(1)+𝑓(−1)1，求a的取值范围；(2)若𝑎0，对∀𝑥，𝑦∈(−∞，𝑎]，都有不等式𝑓(𝑥)≤|𝑦+54|+|𝑦−𝑎|恒成立，求a的取值范围．第6页，共16页答案和解析【答案】1.B2.A3.A4.B5.B6.C7.C8.C9.D10.C11.D12.B13.−514.1215.1316.217.解：(1)因为数列{𝑎𝑛}为等差数列，设𝑎𝑛=𝐴𝑛+𝐵，因为{𝑎𝑛}的公差不为零，则𝑆𝑛=(𝐴+𝐵+𝐴𝑛+𝐵)𝑛2，所以2𝑆𝑛=𝐴𝑛2+(𝐴+2𝐵)𝑛，因为2𝑆𝑛=𝑎𝑛2+𝜆𝑛，𝜆∈𝑅，所以𝐴𝑛2+(𝐴+2𝐵)𝑛=𝐴2𝑛2+(2𝐴𝐵+𝜆)𝑛+𝐵2，所以{𝐴=𝐴2𝐴+2𝐵=2𝐴𝐵+𝜆𝐵2=0𝐴≠0⇒{𝐴=1𝐵=0𝜆=1．(2)由(1)知𝑎𝑛=𝑛，所以1𝑎2𝑛−1𝑎2𝑛+1=1(2𝑛−1)(2𝑛+1)=12(12𝑛−1−12𝑛+1)，所以𝑇𝑛=12[(1−13)+(13−15)+⋯+(12𝑛−1−12𝑛+1)]=12(1−12𝑛+1)=𝑛2𝑛+1．18.解：(1)设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量𝑋，𝑌，则𝐸(𝑋)=6000×0.4+7000×0.3+8000×0.2+9000×0.1=7000，𝐸(𝑌)=5000×0.4+7000×0.3+9000×0.2+11000×0.1=7000，𝐷(𝑋)=(6000−7000)2×0.4+(7000−7000)2×0.3+(8000−7000)2×0.2+(9000−7000)2×0.1=10002，𝐷(𝑌)=(5000−7000)2×0.4+(7000−7000)2×0.3+(9000−7000)2×0.2+(11000−7000)2×0.1=20002，则𝐸(𝑋)=𝐸(𝑌)，𝐷(𝑋)𝐷(𝑌)，我希望不同职位的月薪差距小一些，故选择甲公司；或我希望不同职位的月薪差距大一些，故选择乙公司；(2)因为𝑘1=0.55135.024，根据表中对应值，得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错的概率的上限是0.025，由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的2×2列联表如下：选择甲公司选择乙公司总计男250350600女200200400总计4505501000计算𝐾2=1000×(250×200−350×200)2600×400×450×550=2000297≈6.734，且𝐾2=6.7346.635，第7页，共16页对照临界值表得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率上限为0.01，由0.010.025，所以与年龄相比，选择意愿与性别关联性更大．19.解：(1)证明：设点O为点P在底面ABCD的射影，连接𝑃𝐴，𝐴𝑂，则𝑃𝑂⊥底面ABCD，分别作𝑂𝑀⊥𝐴𝐵，𝑂𝑁⊥𝐴𝐷，垂直分别为𝑀，𝑁，连接𝑃𝑀，𝑃𝑁，因为𝑃𝑂⊥底面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐴𝐵⊂底面ABCD，所以𝑃𝑂⊥𝐴𝐵，又𝑂𝑀⊥𝐴𝐵，𝑂𝑀∩𝑂𝑃=𝑂，所以𝐴𝐵⊥平面𝑂𝑃𝑀，𝑃𝑀⊂平面OPM，所以𝐴𝐵⊥𝑃𝑀，同理𝐴𝐷⊥𝑃𝑁，即∠𝐴𝑀𝑃=∠𝐴𝑁𝑃=90∘，又∠𝑃𝐴𝐵=∠𝑃𝐴𝐷，𝑃𝐴=𝑃𝐴，所以△𝐴𝑀𝑃≌△𝐴𝑁𝑃，所以𝐴𝑀=𝐴𝑁，又𝐴𝑂=𝐴𝑂，所以𝑅𝑡△𝐴𝑀𝑂≌𝑅𝑡△𝐴𝑁𝑃，所以∠𝑂𝐴𝑀=∠𝑂𝐴𝑁，所以AO为∠𝐵𝐴𝐷的平分线．(2)以O为原点，分别以𝑂𝑀，𝑂𝑁，𝑂𝑃所在直线为𝑥，𝑦，𝑧轴，建立如图所示的空间直角坐标系𝑂−𝑥𝑦𝑧，因为𝑃𝐴=4，所以𝐴𝑀=2，因为𝐴𝐵⊥𝐴𝐷，𝐴𝑂为∠𝐵𝐴𝐷的平分线，所以∠𝑂𝐴𝑀=450，𝑂𝑀=𝐴𝑀=2，𝐴𝑂=2√2，所以𝑃𝑂=√𝑃𝐴2−𝐴𝑂2=2√2，则𝐵(2，1，0)，𝑃(0，0，2√2)，𝐷(−2，−2，0)，𝐶(−2，4，0)，所以𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(4，3，0)，𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(2，2，2√2)，𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(0，6，0)设平面BPD的一个法向量为𝑛1⃗⃗⃗⃗=(𝑥1，𝑦1，𝑧1)，则{𝑛1⃗⃗⃗⃗⋅𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4𝑥1+3𝑦1=0𝑛1⃗⃗⃗⃗⋅𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑥1+2𝑦1+2𝑧1=0，可取𝑛1⃗⃗⃗⃗=(3√2，−4√2，1)，设平面PDC的一个法向量为𝑛2⃗⃗⃗⃗=(𝑥2，𝑦2，𝑧2)，则由{𝑛2⃗⃗⃗⃗⋅𝐷𝑐⃗⃗⃗⃗⃗=6𝑦2=0𝑛2⃗⃗⃗⃗⋅𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑥1+2𝑦1+2√2𝑧1=0，可取𝑛2⃗⃗⃗⃗=(√2，0，−1)，所以cos〈𝑛1⃗⃗⃗⃗，𝑛2⃗⃗⃗⃗=𝑛1⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑛2⃗⃗⃗⃗⃗|𝑛1⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|𝑛2⃗⃗⃗⃗⃗|=6−1√18+32+1√2+1=5√1751，第8页，共16页所以二面角𝐵−𝑃𝐷−𝐶的余弦值为5√1751．20.解：(1)设