第五章2QR分解

Schoolofmathematicsandstatistics第5章2QR分解Schoolofmathematicsandstatistics最小二乘近似TTGGaGy求解法问题的解的方法的特点232/2/6,()TGGmnnOmn1.生成矩阵约需的浮点运算量,解方程组需要浮点运算量总运算量为G2.矩阵的条件数一般较大,因此会使得到的解存在较大的误差因此,应避免用法方程来求最小二乘问题的解,比较可靠的方法是正交化方法,2()[()]TcondGGcondG可以证明因此会使得到的解存在较大的误差TGG3.矩阵正定Schoolofmathematicsandstatistics最小二乘近似()(0,1,2,...,),jigxxjn若取则最小二乘拟合函数为21231()nnpxxxx得到法方程11112211111121111mmmniiiiiimmmmniiiiiiiiimmmmnnnnniiiiiiiiimxxyxxxxyxxxxy可以使用平方根法求解法方程SchoolofmathematicsandstatisticsSchoolofmathematicsandstatisticsSchoolofmathematicsandstatistics最小二乘近似121112,,...,,,,,1,0,...,0TnTmvvvvQQveveme引理3.6对任何维非零向量存在正交矩阵使此处是维单位向量证明:2,1umu设是维向量且,-2TQIuu令TQQ由于-2-2TTTIuuIuu-44TTTIuuuuuu22-44TTIuuuuuIQ为正交矩阵-2TQvIuuv由于-2Tvuuv1Qve要使1-2Tveuvu必须且只需1-uve即与平行1(-)uve可取为一个数21u由条件知121ve,=112,veuQve因此,取则得到的就是满足引理条件的正交阵证毕12Tvuuve即Schoolofmathematicsandstatistics天长地久。天地所以能长且久者，以其不自生，故能长生。是以圣人後其身而身先，外其身而身存。非以其无私邪！故能成其私。Schoolofmathematicsandstatistics最小二乘近似(),,,,,(-3.7)GnmnmnmQRQGORnOmnn设是秩为的的矩阵那么存在阶正交阵使式中为阶非奇上三定理角阵为的零矩阵-2TQIuu由确定的正交阵称为镜像变换或Householder变换阵1:ve几何意义将向量反射到所在的直线上而不改变其长度证明:12nGGggg将按列分块成12(1,2,...,)TjjjmjggggGjjn其中是的第列11111mQQge则存在阶正交阵使111QGGQG以左乘得(1)(1)112negg(1)12,3,...,jjgQgjn其中Schoolofmathematicsandstatistics最小二乘近似(1)(1)jijgg记的分量为1(1)(1)1121(1)(1)22211(1)(1)2,00nnmmnGggggGQGgg则可写成1(1)(1)(1)22232(1)(1)(1)__323331(1)(1)(1)23(-1)(-1)nnmmmnGmnggggggGggg若记的右下角的的子矩阵为-1m__2则存在阶的正交阵Q(2)(2)2232(2)(2)______333212(2)(2)300nnmmnggggGQGgg使Schoolofmathematicsandstatistics最小二乘近似__221TOQOQ令-1Om,其中为维的零向量2Qm,显然为阶正交矩阵,且21QQG___221GQG(1)(1)(1)112131(2)(2)2232(2)(2)333(2)(2)300000nnnmmnggggggggg12,nnnmQQQ重复以上步骤,经过步后就可以找到个阶的正交阵,,...,,使11nnnGQQQG(1)(1)(1)112131(2)(2)2232(3)330000000000nnnnggggggSchoolofmathematicsandstatistics最小二乘近似Gn由的秩数为12,,...,,nQQQ,均为正交阵知0,1,2,...,iin对均成立,则有11,nnQQQQ若记并将右端矩阵分块RQGO(1)(1)(1)112131(2)(2)2232(3)33,(1,2,...,)000000innnnRingggggRg其中是以为对角线元的n阶上三角阵0,,iR由于因此是非奇上三角阵证毕Schoolofmathematicsandstatistics最小二乘近似QR分解RQGOTRGQOnmn即:任何秩为的矩阵可以分解为正交阵和上三角阵的乘积上述分解式,可称为矩阵的或QR分解正交分解QR利用分解求解法方程组步骤TGGTRR()TTTGyROQy12()TThROh1TTRRaRh因此有1Rah11aRh,TTRGGaGyQQGO若对于存在正交阵使TRQOTTROQSchoolofmathematicsandstatistics最小二乘近似QR分解计算步骤1212,,...,,,nQQQRhh1.逐步计算矩阵并计算出和1Rah12hRQGQyhO2.求解方程ia得到所有的Schoolofmathematicsandstatistics最小二乘近似QR分解计算公式2TQIuu1wve其中12,,Timwiw若记的第个分量为即令则1,1,i=2,3,...,miiviv1-2Tveuvu由于21u122Tuvve有2w222TwwIw1111222()TveveIveve2Twv因此2(2())TTuvuv=2(2)Tuv=22wSchoolofmathematicsandstatistics最小二乘近似2221112222miivvvvv用分量形式得到222v2v12sgn()vv为保证精度,取12-1,,,...,kkQQQ一般地,在作第步变换前已得到正交阵12-1,,...,kGGG,并且计算出了10,1,2,...,1()iiiGQGikGG满足关系记(1)(1)(1)(1)1121311(2)(2)(2)22322(1)(1)111,1,(1)(1)knknkkkkkkknkkmkmngggggggGggggSchoolofmathematicsandstatistics最小二乘近似,kKQG计算的过程按下述过程进行12(1)(1)2sgn()()(3-71)mkkkkkikikgg()()()1()kkkkkkmw若记22()(-1)(1)221()mkkkkkkikikwgg则(1)2(-1)2()2kmkkikkkkikgg2(-1)22kkkkkkg(-1)2()kkkkkg()2kkk1kkve(-1)(-1)1,(-1)0-0kkkkkkkkmkgggSchoolofmathematicsandstatistics最小二乘近似(3-72)(k)kkk记=1__1Q1kkkkIOIkPQ则在中是阶单位阵()()__2()2-2kkTkkwwQIw1()()kkTkIww1(1)(1)kkQGmknk于是左乘右下角的的子矩阵(-1)(-1)__1(-1)(-1)kkkkknkkkmkmnggGgg__1kG__k可由Q乘的各列完成,__________111kkkknGGggg将分块成__(1)(1),...,,,1,...,Tkkkjmjkgggjkkn式中Schoolofmathematicsandstatistics最小二乘近似______1()()__()()(3-73)kkTkkjjkjkjQgIwwggtw于是__1()1()(1)(3-74)mkkkjkkkiijjiktwgg这里(3-71)(3-74)kkQG因此,由到式可以计算出和Schoolofmathematicsandstatistics最小二乘近似22E因此可得最小二乘解的误差2122hRahO2122Rahh222h22()QGay22,QxQxx由于正交矩阵对任意的向量都有2222EGaySchoolofmathematicsandstatisticsSchoolofmathematicsandstatisticsSchoolofmathematicsandstatistics第4章数据近似Lagrange插值多项式插值Newton插值Hermite插值数据似合分段线性插值数据近似分段插值分段二次插值三次样条插值最小二乘拟合数据逼近Bezier曲线小结Schoolofmathematicsandstatistics谷神不死，是谓玄牝。玄牝之门是谓天地根。绵绵若存，用之不勤。