第五章_3线性定常系统的综合1201.

2019/12/18目录5.1线性反馈控制系统的基本结构及其特性5.2极点配置问题5.3系统镇定问题5.4系统解耦问题2019/12/185.1线性反馈控制系统的基本结构及其特性状态反馈反馈的两种基本形式输出反馈一、状态反馈状态反馈方框图如图所示：受控系统：通常，D＝0，则记为yCKABDuxxvXAXBuYCXDu0(,,)ABCXAXBuYCX2019/12/18图中各矩阵的维数应能保证它们之间的相互运算。代入原系统方程得闭环系统的状态空间表达式：若D＝0，则为：记为：闭环传递函数阵为：特性：状态反馈并没有增加系统的维数，通过改变K，可以选择系统的特征值，使系统获得所要求的性能。二、输出反馈uKXv()()()()XAXBuAXBKXvABKXBvYCXDuCXDKXvCDKXDv()XABKXBvYCX[(),,]kABKBC1()[()]kWsCsIABKB2019/12/18输出反馈结构图如下：受控系统：代入受控系统：0(,,,)ABCD()uHYvHCXDuvHCXHDuv1()()uIHDHCXv2019/12/18若D＝0，则闭环系统传递函数：若受控系统传递函数为：则还有以下关系式成立：111111()()[()]()()()[()]()XAXBuAXBIHDHCXvABIHDHCXBIHDvYCXDuCXDIHDHCXvCDIHDHCXDIHDv[]XABHCXBvYCX1()[()]hWsCsIABHCB10()()WsCsIAB100100()()[()][()]()hWsWsIHWsIHWsWs2019/12/18特性：H：r×m维；K：r×n维，由于mn，故H的可供选择的自由度比K小，所以输出反馈效果不如状态反馈，但是比较容易实现。三、从输出到的反馈结构图如下：XACyxxuGB2019/12/18若D＝0，则记为：闭环传递函数阵为：四、动态补偿器直接引入一个子系统来改善系统的性能。如：()XAGCXBuYCX()()()XAXBuGYAXBuGCXDuAGCXBGDuYCXDu0:(,,)ABC:(,,)ddddABCYv串联连接[(),,]kAGCBC1()[()]kWsCsIAGCB2019/12/18五、闭环系统的能控性和能观性定理1：状态反馈不改变受控系统的能控性，但不保证系统的能观性不变。证明见教材p191。实际上，对单输入-单输出系统而言，状态反馈虽然不改变系统的零点，但改变了系统的极点，有可能造成零极点对消现象，从而改变系统的能观性。0:(,,)ABC:(,,)ffffABCYv反馈连接0(,,)ABC2019/12/18【例5-1】试分析以下系统引入状态反馈K＝[-10]后的能控性和能观性。解：的能控性和能观性：因此，受控系统既是能控也是能观的。加入状态反馈后，010,01101XXuyX0(,,)AbC0121001210rankbAbrankCrankrankCA10K2019/12/18有故引入状态反馈后，系统是能控但不能观的。实际上，由传递函数010011010100AAbK01()210011()00rankbAbKbrankCrankrankCAbK121()[()]ksWsCsIAbKbss102()()1sWsCsIAbs2019/12/18产生了零极点对消，从而破坏了系统的能观性。定理2：输出反馈不改变系统的能控性和能观性。证明见教材p193。2019/12/185.2极点配置问题极点配置问题：是通过选择反馈增益矩阵K，将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获得所希望的动态性能。一、采用状态反馈定理：采用状态反馈对系统任意配置极点的充要条件是完全能控。证明：此证明过程即为极点配置问题的设计步骤。仅证充分性，即证：若完全能控，则通过状态反馈必能使0(,,)AbC0(,,)AbC***1**1101det()()()nnniniIAbKf0(,,)AbC*(1,2,,)iin我们所期望的极点2019/12/18（1）若能控，则必能通过变换将化为能控标准I型。传递函数为：001cXTX11111012101210100000100,,000011cccnnATATbTbaaaaCbbbb12121001110()nnnnnnnbsbsbsbWssasasa2019/12/18（2）设状态反馈矩阵，加入状态反馈后，有其中，闭环系统的特征多项式：011nKkkk()XAbKXbuYCX001111010001()()()nnAbKakakak1111100()()()()()nnnnfIAbKakakak2019/12/18闭环系统的传递函数：（3）欲使闭环极点与期望的极点相符，必须满足：（4）最后，把对应于的，变回对应于的。由1212101111100()()()()nnnnknnnnbsbsbsbWssaksaksak*()()ff*iiiaka*iiikaa***001111nnKaaaaaaXKXK1111ccuvKXvKTXvKXKKT2019/12/18【例5-2】设计反馈控制器，使闭环极点为解：方法一，（1）因为没有零极点对消，故系统完全能控，可以由传递函数直接写出其能控标准型：（2）加入状态反馈闭环特征多项式为：2,1j10()(1)(2)Wssss321010()(1)(2)32Wsssssss01000010,10000231XXuyX012Kkkk32210()(3)(2)()fkkk2019/12/18（3）由期望的闭环极点可得期望的特征多项式：（4）闭环特征多项式与期望的闭环特征多项式比较系数得加入状态反馈后闭环系统的结构图见下页。此种方法计算状态反馈矩阵K较简便，但由于所需状态信息难于检测，工程上实现较难。此题若用串联分解法选择状态变量，则工程上实现起来将简单得多。*32()(2)(1)(1)464fjj210(3)4(2)64kkk210144kkk2019/12/18方法二，模拟结构图如下：从图中可以看出，由于各状态变量均是各子系统的输出，因而易于检测。由模拟结构图可以写出系统的状态空间表达式：111()1021Wssss123,,xxx2019/12/18引入状态反馈，则闭环特征多项式：11122233301000110,10000021xxxxxuyxxxx012Kkkk0120120100010011001100212AAbKkkkkkk01232212010()()0112(3)(2)()fIAbKkkkkkkk2019/12/18期望的特征多项式为：比较系数即可得：闭环系统结构图见下页。*32()(2)(1)(1)464fjj2120(3)4(2)64kkkk210134kkk2019/12/18二、采用输出反馈定理：对完全能控的单输入－单输出系统，不能采用输出线性反馈来实现系统极点的任意配置。定理：对完全能控的单输入－单输出系统，通过带动态补偿器的输出反馈实现极点任意配置的充要条件是：1）完全能观；2）动态补偿器的阶数为n－1。三、采用从输出到的反馈定理：对系统采用从输出到的线性反馈实现闭环极点任意配置的充要条件是：完全能观。以上定理的证明见教材P198－1990(,,)AbC0(,,)AbC0(,,)AbCXX0(,,)AbC0(,,)AbC2019/12/185.3系统镇定问题系统镇定问题：是对受控系统通过反馈使其极点均具有负实部，保证系统为渐进稳定。系统镇定问题实际上是极点配置问题的一种特殊情况。定理1：对系统采用状态反馈能镇定的充要条件是其不能控子系统为渐进稳定。定理2：系统通过输出反馈能镇定的充要条件是结构分解中的能控且能观的子系统是输出反馈能镇定的，其余子系统是渐进稳定的。定理3：对系统采用从输出到的反馈能镇定的充要条件是的不能观子系统为渐进稳定。以上定理的证明见教材P179－182。0(,,)ABC0(,,)ABC0(,,)ABC0(,,)ABC0(,,)ABC0(,,)ABCX2019/12/185.4系统解耦问题解耦问题：寻求适当的控制规律，使输入输出相互关联（耦合）的多变量系统实现每一个输出仅受相应的一个输入所控制，每一个输入也仅能控制一个输出。（如下图所示）2019/12/18对于系统，如果其传递函数为：则称其是解耦的。解耦问题需要考虑的两个问题：（1）能解耦的充要条件（2）解耦的具体控制规律和系统结构这两个问题随着解耦方法的不同而不一样。目前实现解耦的两种主要方法：1）前馈补偿器解耦2）状态反馈解耦。0(,,)ABC11220()0()()0()mmwswsWsws2019/12/18一、前馈补偿器解耦前馈补偿器解耦只需在待解耦系统的前面串联一个前馈补偿器，是串联组合系统的传递函数矩阵成为我们所期望的对角形传递函数阵。其结构图如下：图中：1y2ymy1u2umu1w2wmw0()Ws()dWs0()Ws()dWs待解耦系统的传递函数阵前馈补偿器的传递函数阵2019/12/18组合系统的传递函数阵：因此，若存在，则特点：简单方便单增加了系统的维数。0()()()dWsWsWs1122()0()()0()mmwswsWsws我们所期望的解耦后的传递函数阵10()()()dWsWsWs10()Ws2019/12/18二、状态反馈解耦1、状态反馈解耦中的几个特征量状态反馈解耦系统结构图如下图所示：K：m×n状态反馈矩阵F：m×m非奇异变换矩阵0(,,)ABC2019/12/18为方便讨论解耦的条件，先定义几个特征量：1）定义是满足不等式且介于0到m－1之间的一个最小整数，其中表示C中第i行向量，的下标i表示行数。【例5-5】试计算a）计算id0,(0,1,,1)liCABlmidiC0100003002101000,,0001000010020001ABC(1,2)idi1d0100101000000001CABIl2019/12/18是满足的最小的故b）计算11010000300210100010000100020001CAB