第五章《数列》测评A2卷参考答案

第五章《数列》测评A2卷参考答案一、选择题1．(2011·高考重庆卷)在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝()A．12B．14C．16D．18解析：选D.设该数列的公差为d，则d＝a3－a2＝2，因而a10＝a2＋8d＝2＋2×8＝18.2．(2012·高考辽宁卷)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝()A．58B．88C．143D．176解析：选B.利用等差数列的性质及求和公式求解．因为{an}是等差数列，所以a4＋a8＝2a6＝16a6＝8，则该数列的前11项和为S11＝＝11a6＝88.3．在等差数列{an}中，2(a1＋a4＋a7)＋3(a9＋a11)＝24，则此数列的前13项之和等于()A．13B．26C．52D．156解析：选B.2(a1＋a4＋a7)＋3(a9＋a11)＝6a4＋6a10＝24，a4＋a10＝4.S13＝＝＝26.4．(易错题)已知等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d＜0，Sn是数列{an}的前n项和，则()A．S5＞S6B．S5＜S6C．S6＝0D．S5＝S6解析：选D.d＜0，|a3|＝|a9|，a3＞0，a9＜0，且a3＋a9＝0，a6＝0，a5＞0，a7＜0；S5＝S6.5．(2013·德州质检)如果数列{an}满足a1＝2，a2＝1，且＝(n≥2)，则这个数列的第10项等于()A.B.C.D.解析：选D.＝，＋＝，数列是首项为，公差为的等差数列．＝＋9×＝5，a10＝.二、填空题6．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________.解析：设等差数列公差为d，则S3＝3a1＋d＝3a1＋3d＝3，即a1＋d＝1，S6＝6a1＋d＝6a1＋15d＝24，即2a1＋5d＝8.联立两式得a1＝－1，d＝2，故a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15.答案：157．已知数列{an}中，a1＝－1，an＋1·an＝an＋1－an，则数列的通项公式为________．解析：由an＋1·an＝an＋1－an，得－＝1，即－＝－1，又＝－1，则数列{}是以－1为首项和公差的等差数列，于是＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，an＝－.答案：an＝－8．(2013·济南质检)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a7＝7a4，则＝________.解析：因为{an}为等差数列，所以＝＝＝×＝×7＝13.答案：13三、解答题9．(2013·西安调研)已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求通项an；(2)若数列{bn}满足bn＝，是否存在非零实数c使得{bn}为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由等差数列的性质得，a2＋a5＝a3＋a4＝22，所以a3，a4是关于x的方程x2－22x＋117＝0的解，又公差大于零，所以a3＝9，a4＝13，易知a1＝1，d＝4，故通项为an＝1＋(n－1)×4＝4n－3.(2)由(1)知Sn＝＝2n2－n，所以bn＝＝.所以b1＝，b2＝，b3＝(c≠0)．令2b2＝b1＋b3，解得c＝－.当c＝－时，bn＝＝2n,当n≥2时，bn－bn－1＝2.故当c＝－时，数列{bn}为等差数列．10．已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2(nN*)，它的前n项和为Sn，且a3＝10，S6＝72.若bn＝an－30，求数列{bn}的前n项和的最小值．解：2an＋1＝an＋an＋2，{an}是等差数列，设{an}的首项为a1，公差为d，由a3＝10，S6＝72，得，an＝4n－2.则bn＝an－30＝2n－31.解，得≤n≤.n∈N*，n＝15.{bn}的前15项为负值，S15最小，由可知{bn}是以b1＝－29为首项，d＝2为公差的等差数列，S15＝＝＝－225.一、选择题1．(2012·高考浙江卷)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是()A．若d＜0，则数列{Sn}有最大项B．若数列{Sn}有最大项，则d＜0C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意nN*，均有Sn＞0D．若对任意nN*，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列解析：选C.因Sn＝na1＋n(n－1)d＝n2＋n，所以Sn是关于n的二次函数，当d＜0时，Sn有最大值，即数列{Sn}有最大项，故A命题正确．若{Sn}有最大项，即对于nN*，Sn有最大值，故二次函数图象的开口要向下，即d＜0，故B命题正确．而若a1＜0，d＞0，则数列{Sn}为递增数列，此时S1＜0，故C命题错误．若对于任意的nN*，均有Sn＞0，则a1＝S1＞0，且n＋a1－＞0对于nN*恒成立，＞0，即命题D正确，故选C.2．已知数列{an}为等差数列，若－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使Sn0的n的最大值为()A．11B．19C．20D．21解析：选B.－1，且Sn有最大值，a100，a110，且a10＋a110，S19＝＝19·a100，S20＝＝10(a10＋a11)0，故使得Sn0的n的最大值为19.二、填空题3．在数列{an}中，若点(n，an)在经过点(5,3)的定直线l上，则数列{an}的前9项和S9＝________.解析：点(n，an)在定直线l上，数列{an}为等差数列．an＝a1＋(n－1)d.将(5,3)代入，得3＝a1＋4d＝a5.S9＝(a1＋a9)＝9a5＝3×9＝27.答案：274．(2012·高考江西卷)设数列{an}，{bn}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.解析：设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，因为a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35.答案：35三、解答题5．(2013·临沂检测)在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)．(1)证明数列是等差数列；(2)求数列{an}的通项；(3)若λan＋≥λ对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．解：(1)证明：将3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)整理得－＝3(n≥2)．所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列．(2)由(1)可得＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以an＝.(3)λan＋≥λ对n≥2的整数恒成立，即＋3n＋1≥λ对n≥2的整数恒成立，整理得λ≤，令cn＝，cn＋1－cn＝－＝.因为n≥2，所以cn＋1－cn＞0，即数列{cn}为单调递增数列，所以c2最小，c2＝.所以λ的取值范围为.