第五章位移法.

船体结构计算的两条路1先求未知力,再求位移(变形)力法2先求未知位移(变形),再求内力位移法力法是求解超静定结构的有效方法之一,原理容易理解、基本结构选取灵活、简单，适应不同计算要求。原则上讲,它可以解决所有的超静定结构问题。但对有些问题力法不是很方便。5.1位移法一、力法与位移法的比较例：求如图所示的一次超静定桁架,设杆的材料相同,断面面积均为A,中间杆长l,斜杆长l′(l′=l/sinα).PB1、用力法求解解：1）分析判断：对于此超静定桁架分析可知，每一根杆件均为二力杆，解除中间杆上端约束，用约束反力X代替，得原超静定结构的基本结构，如图。BPαXBPα2）列变形协调方程：由题意，在仅有力P作用时，两斜杆的拉力均为：sin2PTP斜杆的伸长为（沿斜杆方向）为：2'sin2'EAPlEAlTPP在仅有约束反力X作用时，斜杆的缩短(沿斜杆方向)为：2'sin2EAXlXXBPα3''sin2)(sinEAlXPXP在P和X共同作用下，B端向下的位移为:中间杆B端的伸长也应该为△,这就是变形协调条件,则有:EAXlEAlXP3sin2)(3)解方程,可得到:3sin21PX即此超静定结构解完,余下的问题是静定问题,很容易求解.如果在此结构中再对称地增加几根杆件,如图,B点会产生向下的位移△。就此结构而言，是5次超静定结构。虽然此时可利用对称性，只剩下3个未知力，但用力法解时仍比较麻烦。若结构中有n根杆件时，则用力法求解时就会非常麻烦。PBB'2、现在我们从另一个角度出发来考虑问题的求解。PBB'Δui=ΔsinαiB'BB''αiABB''Niuiαi1)分析:从原结构中任意取出一根杆,如图,设此杆下端位移为ui,由图中几何关系得:iiusin此拉力在垂直方向上的分力为:iiNsiniiiiulEAN2)列位移法基本方程:此结构受力平衡,则有PNiiisin71即PlEAiiii271sin………位移法基本方程解得:iiiilEAP271sin分析:此刚架共有十根杆子，八个节点，是一个复杂刚架。如果用力法来解这个刚架我们需要把它在节点处切开(或加铰)后成为十个单跨梁,并出现十六个未知弯矩——节点1、4、5、8断面各有一对相同的弯矩,节点2、3、6、7断面各有三个不同的弯矩，因此我们就需要列十六个方程式才能求解。根据刚架是左右对称的,未知弯矩的数目可以减少一半,但仍嫌太多。方程式多了不但求解困难，还容易带来误差，因此力法解题不适合.例2求解如图表示的一个具有两道纵仓壁的油船宽肋骨刚架.位移法就是计算这类复杂刚架的一个较好的方法。θ0θ1θ2θ1以节点转角为基本未知数(转角是角位移),再根据杆件节点断面弯矩平衡条件建立方程式,最后解出位移,所以叫做“位移法”。1)含义:和力法不同，位移法中不是把杆系拆为两端自由支持的单跨梁，而是将杆系中各杆化为两端刚性固定的单跨梁。2)位移法的基本结构例如，对于图中的双跨梁，我们首先把它在支座0、l和2处加固，即加上抗转约束，使其分成两根两端刚性固定的单跨梁，如图所示。这种两端刚性固定的单跨梁就是位移法中的基本结构，显然此基本结构不是静定结构。θ0θ1θ2θ13)现在来比较上下两图中的梁的差别：上图中的梁是连续的,支座0与支座2是自由支持的,所以梁在支座0、1和2断面都将发生转角。而下图中的梁在支座0、l和2处被刚性固定了,因而在该处转角为零.(a)变形的差别:(b)力的差别:上图中梁的中间支座断面的弯矩(指中间支座左断面与右断面的弯矩)大小相等、方向相反(弯矩平衡),且支座0和2是自由支持端,弯矩为零。而下图中的梁被分成了两个刚性固定的单跨梁,在外力作用下,梁0-l在1断面的弯矩和梁1-2在l断面的弯矩显然不等,并且在0和2断面中的弯矩亦不等于零θ0θ1θ2θ1为使基本结构中的梁的受力与变形情况与原结构中的梁一致,并把基本结构中的两个单跨梁联系起来,我们强迫下图中梁0-1的0端转动一个角度θ0，l端转动一个角度θ1,同时梁1-2的1端亦转动角度θ1,另外梁1-2的2端转动一个角度θ2,如图所示。θ0θ1θ2θ14)基本概念①“固端弯矩”②“转角弯矩”两端刚性固定的单跨梁在外力作用下的固定断面的弯矩M两端刚性固定的单跨梁仅因固定端发生转角而引起的在固定端断面中的弯矩Mθ0θ1θ2θ1把上述两个阶段“固端弯矩”与“转角弯矩”叠加,并设θ0、θ1、θ2恰好转到这样大小,使得梁端的总弯矩应该具有的条件满足,即5)位移法基本方程形成：a)对支座0,弯矩等于零的条件满足01010MMb)对支座l,弯矩平衡条件满足10101212MMMMc)对支座2,弯矩等于零的条件满足21210MM于是就可以从这三个方程式中解出未知转角θ0、θ1和θ2求出了这三个转角后，还可以求出因转角而引起的弯矩M’,于是每一根梁的梁端总弯矩即可由公式求到。MMM…………..以上所述的就是位移法的基本原理（1）位移法的符号规定：弯矩一律以顺时针方向为正；杆端剪力一律与y轴正向为正。二、位移法的符号规定与基本方程注意:单跨梁弯曲理论所规定的符号法则在位移法中不适用.在计算平面刚架和平面板架时,我们规定将结构置于XOY平面内,XOYZ为右手直角坐标系,称为“总体坐标系”或“结构坐标系”.为研究方便,每根杆件都要取一个坐标系,称为“局部坐标系”.局部坐标系规定:杆件轴线为x轴,原点为杆一端,另一端在x轴正方向上,z轴正方向与总体坐标系相同.（2）位移法的基本方程：通过弯曲要素表来求固端弯矩、转角弯矩。MMθθθθ图中,因有强迫转角存在,则有转角弯矩：则：jijijiijijijlEIlEIM24jijijiijijjilEIlEIM42同不难得：ijjiijijlMMNijjiijjilMMNθθθθijijjiijijijiEIlMEIlM63ijijijijijjijEIlMEIlM63固端弯矩:01011001111212，MQlMQl121221121188，MPlMPl则求杆端总弯矩：jijijiijijijijijijlEIlEIMMMM24jijijiijijjijijijilEIlEIMMMM42根据新的符号规定可以列出，平衡方程：0...321isiiiMMMM121231212123224iiiiiisiiiiiiisEIEIIIIIEllllll12320issiiiisisEIMMMMl将杆端总弯矩代入上式后,可得:若令1231231212121234222,iiiisiiiiiisijiiiiijiiijiiiiisIIIIkEllllEIEIEIkkklllMMMMM则上式改写作:1122iiiiiissikkkkM对于整个结构,如果有n个节点发生转动,则将有如下之节点平衡方程式组：111122133112112222332231132233333112233nnnnnnnnnnnnnkkkkMkkkkMkkkkMkkkkM此方程式组叫做“位移法方程式”(3)位移法的计算步骤:1.分析结构的节点，确定可以发生转角的节点，从而决定几个未知数。2.形成刚性固定端，计算固端弯矩；3.强迫转动，使发生转角，求；4.求总弯矩，并求未知数。5.根据下图对位移法的解题思路进行分析nn、、、...,21___Mn、、、...21'M'___ijijijMMMn、、、...21例题：θ0θ1θ2θ1（1）确定未知数（2）求固端弯矩100101121MQlM＝－21121281MPlM＝－（3）求强迫弯矩10101001010124lEIlEIM10101001011042lEIlEIM21212112121224lEIlEIM21212112122142lEIlEIM（4）列总弯矩表达式010101MMM101010MMM121212MMM212121MMM（5）列并解平衡方程0...321isiiiMMMM（6）求总弯矩例1用位移法计算图中的等断面双跨梁(即前一章中用力法算过的例子，见图4-6)。解:1)先决定未知数的数目.这个双跨梁有三个节点(支座),由于支座0为刚性固定，θ0=0,故未知转角数目有两个:θ1与θ2,于是假想在支座l与2处加固,使原来的双跨梁变成两个两端刚性固定的单跨梁,其基本结构如下:2)求固端弯矩及转角弯矩.查弯曲要素表,得固端弯矩为:22011011,1212MqlMql22122111,1212MqlMqlθ1θ2θ1再计算因转角θ1与θ2引起的杆端弯矩：01110124,EIEIMMll121221124224,EIEIEIEIMMllll3)列位移法的基本方程:对支座1,有:101012120MMMM21210MM对支座2,有:将求得的固端弯矩及转角引起之杆端弯矩代入上两式,得:221122121414201212124012EIEIEIqlqllllEIEIqlll整理得:1221282024112EIEIllEIEIqlll4)求解,得:331211,16842qlqlEIEI求出了θ1与θ2后，即可计算出各杆杆端弯矩如下：32220101011210.07141216814EIqlMMMqlqlqllEI32221010101430.1071216828EIqlMMMqlqlqllEI3321212121421216842EIqlEIqlMMMqllEIlEI2230.10728qlql33221212112401216842EIqlEIqlMMMqllEIlEI所得的弯矩值与上一章中用力法算得的数值相同。01234例2计算“庆阳”号第三货舱肋骨刚架(如图),画出肋骨刚架的弯矩图。已知数据如下：上甲板横梁l01=6.6m=2.2l0,I01=45100cm4=6.8I0甲板间肋骨l12=3.0m=l0,I12=6655cm4=I0下甲板横梁l23=6.6m=2.2l0,I23=8600cm4=1.29I0货舱内肋骨l24=8.1m=2.7l0,I24=25200cm4=3.8I0其中，q1=44.15kN/m=2q0，q2=22.07kN/m=q0q4=81.72kN/m=3.7q0解：(1)确定未知转角的数目：由题意可知，除了节点4是刚性固定没有转角外,其余四个节点0、l、2、3在计算过程中都要把它固定然后强迫转动,因此未知转角有四个，即θ0、θ1、θ2和θ3。(2)计算固端弯矩：查附录表A-4,可得杆0-l、1-2和2-4在外荷重作用下的固端弯矩为：222011010100001122.20.8071212MMqlqlql222122120000110.03333030Mqlqlql222212120000110.052020Mqlqlql24M42M计算与时,梁2-4上的梯形荷重=矩形荷重+三角形荷重2222242244224000020011112.72.72.7123012301.262Mqlqqlqlqlql2222422244224000020011112.72.72.7122012201.590Mqlq