第五章图与网络分析-基础

第五章图与网络分析图是最直观的模型图论是交通系统分析中的重要工具图论在交通系统规划、管理中作用大图论是对实际交通网络进行抽象分析的重要手段SEU2苏州市规划公交线路网SEU3SEU4SEU5大量的工程对象无法研究实物只能进行抽象道路网、公交线网等SEU6BACD图论GraphTheory•哥尼斯堡七桥问题(欧拉回路)/环球旅行问题(哈密尔顿回路)/中国邮路问题•欧拉Euler(1707-1783)在1736年发表第一篇图论方面的论文，奠基了图论中的一些基本定理•很多问题都可以用点和线来表示，一般点表示实体，线表示实体间的关联ABCDSEU7一、图与网络的基本概念•节点(Vertex)–物理实体、事物、概念–一般用vi表示•边(Edge)–节点间的连线，表示有关系–一般用eij表示•图(Graph)–节点和边的集合–一般用G(V,E)表示–点集V={v1,v2,…,vn}–边集E={eij}v1v5v4v3v2e12e34e13e24e22e'13e45网络(Network)边上具有表示连接强度的权值，如wij又称加权图(Weightedgraph)SEU8无向图与有向图•边都没有方向的图称为无向图•在无向图中eij=eji，或(vi,vj)=(vj,vi)•当边都有方向时，称为有向图，用G(V,A)表示•在有向图中，有向边又称为弧，用aij表示，i,j的顺序是不能颠倒的，图中弧的方向用箭头标识•图中既有边又有弧，称为混合图端点，关联边，相邻，次•图中可以只有点，而没有边；而有边必有点•若节点vi,vj之间有一条边eij，则称vi,vj是eij的端点(endvertex)，而eij是节点vi,vj的关联边(incidentedge)•同一条边的两个端点称为相邻(adjacent)节点，具有共同端点的边称为相邻边•一条边的两个端点相同，称为自环(self-loop)；具有两个共同端点的两条边称为平行边(paralleledges)•既没有自环也没有多重边的图称为简单图(simplegraph)•在无向图中，与节点相关联边的数目，称为该节点的“次”(degree)，记为d；次数为奇数的点称为奇点(odd),次数为偶数的点称为偶点(even)；图中都是偶点的图称为偶图(evengraph)SEU10端点，关联边，相邻，次•有向图中，由节点指向外的弧的数目称为正次数，记为d+，指向该节点的弧的数目称为负次数，记为d–•次数为0的点称为孤立点(isolatedvertex)，次数为1的点称为悬挂点(pendantvertex)链，圈，路径，回路•相邻节点的序列{v1,v2,…,vn}构成一条链(link)，又称为行走(walk)；首尾相连的链称为圈(loop)，或闭行走•在无向图中，节点不重复出现的链称为路径(path)；在有向图中，节点不重复出现且链中所有弧的方向一致，则称为有向路径(directedpath)•首尾相连的路径称为回路(circuit)；SEU11连通图，子图，成分•设有两个图G1(V1,E1),G2(V2,E2),若V2V1,E2E1，则G2是G1的子图•若V2V1，E2E1,称G2为G1的真子图•若V2=V1，E2E1,称G2为G1的部分图•无向图中，若任意两点间至少存在一条路径，则称为连通图(connectedgraph)，否则为非连通图(discon-nectedgraph)；非连通图中的每个连通子图称为成分(component)•链，圈，路径(简称路)，回路都是原图的子图SEU12V6V1V4V2V5V3V1V2V3V4V5V6V1（a）（b）V2V3V4V5（c）（d）V2V3V4V5V6b,c,d均为a的子图，b为a的部分图，c,d为a的真子图SEU13子图基础图(母图)真子图部分图真子图SEU14树图与最小部分树•一般研究无向图•树图：倒置的树，根(root)在上，树叶(leaf)在下•多级辐射制的电信网络、管理的指标体系、家谱、分类学、组织结构、路网布局等都是典型的树图C1C2C3C4根叶SEU15树的定义及其性质•任两点之间有且只有一条路径的图（无圈的连通图）称为树(tree)，记为T•树图G=（V,E）的点数记为p，边数记为q，则q=p-1。•树的性质：•最少边的连通子图，树中必不存在回路•任意两节点之间必有一条且仅有一条链•任何树必存在次数为1的点•具有n个节点的树T的边恰好为n1条，反之，任何有n个节点，n1条边的连通图必是一棵树SEU16路(通路)初等路初等回路链、路、树4528572111vevevevevQ44322112vevevevQ1956452113vevevevevQ简单链初等链初等圈树SEU17图的部分树（支撑树）•图T=（V，E‘）是图G=（V，E）的支撑子图，若图T是一个树，则称T是G的一个支撑树；•部分树一定是部分图，但部分图不一定是部分树。v1v2v3v5e2e3e5e1e6e7e8破圈法v1v2e1v3e2e4e4v4v4v5e6避圈法v2e2e3e5e4v4v1v3v5e1e6e7e8SEU18给图G中的每一条边[vi，vj]一个相应的数ij，则称G为赋权图。在赋权图G的所有支撑树中，必有某个支撑树，其所有边的和为最小，称为最小树。求赋权图G的最小支撑树的方法也有两种,“破圈法”和“避圈法”。655172344v1v2v3v4v5v6破圈法：任选一个圈，从圈中去掉权最大的一条边。在余下的图中重复这个步骤，直到得到一不含圈的图为止。最小部分树（支撑树）SEU19v3v21v42v53v64v15655172344v1v2v3v4v5v6避圈法：开始选一条权最小的边，以后每一步中，总从未被选取的边中选一条权尽可能小，且与已选边不构成圈的边。SEU20归纳G=（V，E）子图矩阵表示含元素的个数点的次边特殊的图点边关系简单图多重图空图连通图树部分树空图G=(V,E)矩阵表示A邻接矩阵B关联矩阵D距离矩阵……边e=[u,v]端点重合环自回路多重边平行边简单图多重图含点的次01奇数偶数子图真子图部分图导出子图孤立点悬挂点奇点偶点悬挂边顶点数p边数q点边关系各种链的概念SEU22点边关系真子图部分图子图各种链的概念点）初等链（无重边、无重简单链（无重边）初等回路简单回路路）链、开链、闭链（即回点边交替序列序列各种链的概念通路树连通图部分树有向、无向SEU23两个主要定理定理1图G中，所有顶点的次的和等于所有边数的2倍。即定理2在任一图中，奇点的个数必为偶数。qvdVv2)(SEU24二、图论在网络分析中的应用中心、重心最小费用最大流结果分析？步骤？求解原理？使用条件？理解各种算法海斯算法算法）列表法（氏标号法最短路问题最大流问题（标号法）最短树问题应用网络赋权图权有向图弧网络有关概念FordDSEU25（3）权——指与边或弧有关的数量指标。根据实际背景可赋予不同含义，如距离、时间、费用、容量等。（1）弧——点与点之间有方向的连线。指从；),(jivvajivv（5）网络——指定了起点、终点和中间点的连通的赋权有向图。包括无向网络、有向网络、混合网络。),(EVG（4）赋权图—图连同边上的权总体。),(EVG),(AVD（2）有向图——由点集v和弧集A组成的图SEU26三、网络的计算机表示大量的工程计算无法依靠手工完成交通工程中的网络计算必须依靠计算机网络在计算机中的表示与存储SEU27900多节点，3000多条边SEU28构造VE阶矩阵A={aij}否则相联时与点边01ijijVeaV1V3V2V4e1e2e3e4e6e5111000100110010011001101A1、关联矩阵法SEU29V4V2V1V5V3563263540111010101110111010101110D2、邻接矩阵法D={dij}否则有边相联与节点节点0ji1ijdSEU30V4V2V1V5V356326354权重矩阵有边相连无边相连jiwjiWijij,0035630625604364052350WSEU31V4V2V1V5V3•3、边目录法e1e6e7e4e5e2e3e1=(1,2)e2=(2,5)e3=(5,4)e4=(1,4)…SEU324、邻接目录法（推荐）计算机存储利用率高123456节点号V(I)（相邻节点数）N(I,J)（相邻节点）号122,5231,3,4322,6432,5,6531,4,6633,4,5