第五章插值法.

第5章插值法返回前进函数常被用来描述客观事物变化的内在规律——数量关系，如宇宙中天体的运行，地球上某地区平均气温的变化等等，但在生产和科研实践中碰到的大量的函数中，不仅仅是用解析表达式表示的函数，还经常用数表和图形来表示函数，其中函数的数表形式在实际问题中应用广泛，主要原因是有相当一部分函数是通过实验或观测得到的一些数据，这些数据只是某些离散点xi上的值（包括函数值f(xi)，导数值f(xi)等,i=0,1,2,…,n),虽然其函数关系是客观存在的，但却不知道具体的解析表达式，因此不便于分析研究这类数表函数的性质，也不能直接得出其它未列出点的函数值，我们希望能对这样的函数用比较简单的表达式近似地给出整体的描述。第5章插值法返回前进如行星在太空中的定位问题：当行星在空间运行时，可通过精密观测仪器在不同的时间ti(i=1,2,…)观测到行星所在位置S(ti)，无论花费多少人力物力，所得到的只是一批离散数据(ti,S(ti)),i=1,2,…)，而行星是在作连续运动，它在任一时间t（与ti不同）的位置S(t)，我们只能再去通过观测得到，插值逼近是利用这组离散数据(ti,S(ti))构造一个简单的便于计算的近似函数（解析表达式），用它可求任何时间的函数值（称为插值），对这个近似解析表达式也能求导，讨论其各种性质。又如：据资料记载，某地区每隔10年进行一次人口普查，自1930年到1990年的统计结果如下：第5章插值法返回前进另一方面，有些函数，虽然有解析表达式，但因其过于复杂，不便于计算和分析，同样希望构造一个既能反映函数的特性又便于计算的简单函数，近似代替原来的函数。如在积分中，当f(x)很复杂，要计算积分I是很困难的，构造近似函数使积分容易计算，并且使之离散化能上机计算求出积分I，都要用到插值逼近。badxxfI)(年份:1930194019501960197019801990人口（百万）:123132151180203227252通过对上述数据的观察和分析，我们希望能估计出这六十年期间任何一年（例如1965年）的人口总数，或者预测2010年该地区的人口数量。利用插值方法就可以解决这一类问题。第5章插值法返回前进代数插值解决上述问题的方法有两类：一类是对于一组离散点(xi,f(xi))(i=0,1,2,…,n)，选定一个便于计算的函数形式(x)，如多项式，分段线性函数，有理式，三角函数等，要求(x)通过点(xi)=f(xi)(i=0,12,…,n),由此确定函数(x)作为f(x)的近似。这就是插值法。另一类方法在选定近似函数的形式后，不要求近似函数过已知样点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小。这类方法称为曲线（数据）拟合法，将在下一章介绍。本章主要讨论构造插值多项式的几种常用的方法及其误差用插值法求函数的近似表达式时，首先要选定函数的形式。可供选择的函数很多，常用的是多项式函数。因为多项式函数计算简便，只需用加、减、乘等运算，便于上机计算，而且其导数与积分仍为多项式。第5章插值法返回前进用多项式作为研究插值的工具，称为代数插值，其基本问题是：已知函数f(x)在区间[a,b]上n+1个不同点x0,x1,…,xn处的函数值yi=f(xi)(i=0,1,…,n),求一个次数不超过n的多项式：1)-(5)(1nnonxaxaax使其满足在给定点处与f(x)相同，即满足插值条件：n(x)称为插值多项式，xi(i=0,1,2,…,n)称为插值节点，[a,b]称为插值区间。2)-5(),,2,1,0()()(niyxfxiiin第5章插值法返回前进从几何上看（如图5-1所示），n次多项式插值就是过n+1个点yi=f(xi)(i=0,1,…,n)，作一条多项式曲线y=(x)近似曲线y=f(x):yx)(xyny0yny2x0x1x2xny1（图5-1）)(xfy因此，所谓插值，即是在x0,x1,…,xn中任意插入一个x，要求对应的f(x)，具体做法是按上述方法构造n(x)以n(x)近似f(x)。----第5章插值法返回前进插值法是求函数值的一种逼近方法，是数值分析中的基本方法之一，作为基础，后面微分，积分，微分方程在进行离散化处理时，要用到，作为一种逼近方法，本身也有广泛的应用价值，如在拱桥建设中，拱轴，拱腹的设计节点与具体施工设计点常常可能不重合。如图5-2所示。假定：设计给出的节点为xi=2,4,6,8,10，……，施工设计拱架点为xi=1.5,3.5,5.5,8,10,……部分节点不重合，此时y=f(xi)如何求？这就是插值问题。246810xy（图5-2）第5章插值法返回前进又如在软土地区修建铁路，公路，将不可避免地会出现后期沉降（工后沉降）问题，其工后沉降的大小，沉降速率都直接影响铁路，公路的养护运营，行车速度等，因此要对其进行严格控制。通过对已建成路基面标高（路肩）进行测量观测，可得到一批数据，对这些数据进行分析（包括作插值），可推算出：①某一时刻路基沉降（如3年，5年）的沉降值；②不同时期路基沉降速率；③最终沉降值。代数插值应用举例第5章插值法返回前进插值用于数码相机增加图像的分辩率：如果要将一幅数码图像放大，也就是使其具有更多的像素，而多出来的像素原本是不存在的,需要根据周围像素的色值计算出来，这个计算的过程即为插值。第5章插值法返回前进实际中，f(x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散数据；或者f(x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数g(x)来逼近f(x)。自然地，希望g(x)通过所有的离散点概念x0x1x2x3x4xg(x)f(x)第5章插值法返回前进定义：为定义在区间上的函数，为区间上n+1个互不相同的点，为给定的某一函数类。求上的函数满足)(xfba,0niix)(xgnixfxgii,,0,)()(叫截断误差叫插值结点插值区间，插值条件使被插值函数近似代替插值函数用简单函数望希)()()(,],[)()(,)()(:xgxfxRxbaxfxgxfxgiii第5章插值法返回前进插值多项式插值代数插值为多项式函数或者取三角插值为三角函数通常取Hermitexgxg)()()(问题是否存在唯一如何构造估计误差)()()(xgxfxR当不斯地增加插值节点，那么插值函数列是否收敛被插函数。第5章插值法返回前进.)(),...,2,1,0()()(1:1存在且唯一的多项式的次数不超过处满足插值条件节点互异个在定理性插值多项式的存在唯一xpnnkxfxpxnnkknk)(..............................................)(...)(...:....)(:10111100001010nnnnnnnnnnnnxfxaxaaxfxaxaaxfxaxaaxaxaaxp代入插值条件得设证第5章插值法返回前进.)(,,0)(111:01100存在唯一系数即多项式该方程组解存在唯一法则知故由系数行列式Grammerxxxxxxxxnijjinnnnn第5章插值法返回前进注2:一次多项式插值---过两点直线;二次多项式插值---过三点抛物线;不用待定系数法---(1)计算量大;(2)不易讨论误差;注1：如果要求插值多项式的次数一定要小于n－1，一般不存在。但如果要求插值多项式的次数超过n次，则存在但不唯一。上面定理告诉我们，不管用何种方法构造插值多项式，次数不超过n次的满足插值条件的多项式是同一个多项式。下面分别介绍几种构造插值多项式的方法。第5章插值法返回前进1：插值多项式的唯一性表明，对同一组节点，它们的插值多项式是唯一的，可能由不同的方法，会得到不同形式的插值多项式，但它们之间一定可以相互转化，一定会相同，当然误差也一样。2：n+1组节点只能确定一个不超过n次的多项式，若n次，如设为n+1(x)，则有n+2有待定参数a0,a1,…,an,an+1需确定，而n+1个组节点，只构成n+1个插值条件，即构成n+1个方程，只能确定n+1个变量的方程组。3：上述证明是构造性的（给出解决问题的方法）即以通过解线性方程组来确定插值多项式，但这种方法的计算量偏大，计算步骤较多，容易使舍入误差增大。因此实际计算中不采用这种方法，而用下面介绍的几种常用的方法。第5章插值法返回前进§2Lagrange插值公式第5章插值法返回前进对(xi,yi)(i=0,1,2,…,n)按插值条件（5-2）构造n次插值多项式，有几种方法，可得相应的插值多项式，下面从最简单的情形开始。n=1时，只有两个节点，x0,x1，对应于y0,y1，由前所述，插值多项式应设为1(x)=a0+a1x，且满足插值条件：101011010010111011001001)()(xxyyaxxyyxyayxaaxyxaax求解可得所以，n=1时两个节点的插值多项式为：5)-(5)(10101010011xxxyyxxxyxyx（紧接下屏）第5章插值法返回前进其几何意义，就是以过两点(x0,y0)，(x1,y1)的直线y=1(x)近似曲线y=f(x)，故这种插值又称为线性插值，如图5-3所示：x图5-3)(xfy)()(11xLxyx0x1由于1(x)为直线，由过两点的直线的点斜式可得：6)-(5)()(0010101xxxxyyyxN7)-(5)(:101001011yxxxxyxxxxxL还可由对称式得第5章插值法返回前进显然，1(x)，N1(x)与L1(x)都是同一条直线，应相同，也可以验证1(x)，N1(x)和L1(x)满足插值条件（5-2）。线性插值多项式的上述几种形式中，式（5-6）与式（5-7）由于形式上较简单，将以它们为基础，推广到n+1个节点的一般情况，分别得到牛顿插值多项式Nn(x)和拉格朗日插值多项式Ln(x)。为了将两点插值公式L1(x)推广到一般情况，引入插值基函数l0(x)，l1(x)，则：1011001)()()()(iiiyxlyxlyxlxLL1(x)是两个函数值的线性组合，组合系数为两个插值基函数：)1,0(,0,1)(ijijixlji条件它们在插值节点处满足2)-5(),,2,1,0()()(niyxfxiiin01011010)()(xxxxxlxxxxxl第5章插值法返回前进式（5-7）揭示了拉格朗日插值方法的特点，即将插值多项式表示为插值节点x0，x1对应的函数值y0，y1的线性组合，而组合系数就是插值基函数l0(x),l1(x)。所以插值问题可分解为基函数的插值问题。7)-(5)(101001011yxxxxyxxxxxL8)-(5)()()()()(202211002iiiyxlyxlyxlyxlxL可设这里，l0(x),l1(x),l2(x)是二次插值基函数，应满足插值条件：1)(,0)(,0)(0)(,1)(,0)(,0)(,0)(,1)(221202211101201000xlxlxlxlxlxlxlxlxl当n=2时，已知函数表如下，,求满足插值条件L2(xi)=yi(i=0,1,2,)的二次的插值多项式L2(x)xx0x1x2y(x)y0y1y2第5章插值法返回前进按此插值条件，每个基函数的零点都是插值节点，借助零点构造多项式，可写出三个插值基函数。例如，由于x1,x2为l0(x)的两个零点，故可设：))(()(210xxxxCxl))((11)(201000xxxxCxl再利用))(())(()(2010210xxxxxxxxxl即))(())(()())(())(()(12021022101201xxxxxxxxxlxxxxxxxxxl