第五章旋涡理论

第五章：旋涡理论(vortextheory)本章仅讨论旋涡运动，不涉及力，属于运动学容。旋涡场的特性不同于一般流场，需要专门进行研究存在旋涡运动的流场旋涡场:0即流场中课堂提问：为什么处于龙卷风中心会是风平浪静？为什么游泳时应避开旋涡区？本章讨论内容：1.漩涡场的基本概念（涡线，涡管，漩涡强度速度环量）2.司托克斯定理3.汤姆逊定理4.海姆霍兹定理5.毕奥－沙伐尔定理6.漩涡诱导速度的一般提法7.兰金组合涡§５-１旋涡运动的基本概念一般，整个流场中某些区域为旋涡区，其余的地方则为无旋区域。自然界中如龙卷风,桥墩后面规则的双排涡列等等是经常能观察到的旋涡运动的例子。但在大多数情况下流动中的旋涡肉眼难于察觉。有旋运动：ωx,ωy,ωz在流场中不全为零的流动园盘绕流尾流场中的旋涡园球绕流尾流场中的旋涡园柱绕流尾流场中的旋涡有攻角机翼绕流尾流场中的旋涡弯曲槽道内的二次流流体流过固体壁面时，除壁面附近粘性影响严重的一薄层外，其余区域的流动可视为理想流体的无旋运动。旋涡运动理论广泛地应用于工程实际:机翼、螺旋桨理论等。旋涡与船体的阻力、振动、噪声等问题密切相关。与压力差、质量力和粘性力等因素有关。旋涡的产生：旋涡场的几个基本概念：涡线上所有流体质点在同瞬时的旋转角速度矢量与此线相切。涡线(vortexline)：一、涡线,涡管,旋涡强度涡线微分方程：dsdxidyjdzk取涡线上一段微弧长xyzijk该处的旋转角速度123ds由涡线的定义（涡矢量与涡线相切），得涡线微分方程式：(,,,)(,,,)(,,,)xyzdxdydzxyztxyztxyzt(5-1)若已知，积分上式可得涡线。与流线的积分一样，将ｔ看成参数。ｔ取定值就得到该瞬时的涡线。,,xyz涡管（vortextube）：在旋涡场中任取一微小封闭曲线C（不是涡线），过C上每一点作涡线，这些涡线形成的管状曲面称涡管。涡管中充满着作旋转运动的流体，称为涡束。截面积为无限小的涡束称为涡索（涡丝）。涡丝（vortexfilament）：则dＪ＝ωndσ(5-2)为dσ上的旋涡强度若σ是涡管的截面，则Ｊ称为涡管强度。问题：式（5-3）与前面学过的什么公式类似？任取微分面积dσ，法线分量为ωｎ沿σ面积分得旋涡强度：nJd（5－3）Ｊ表征流场中旋涡强弱和分布面积大小的物理量nd二、速度环量（velocitycirculation）某瞬时在流场中任取曲线AB：速度矢在积分路径方向的分量沿该路径的线积分。速度环量定义sABABVds（5－4）sV:v在向的投影dsVsVds微元弧dsAB速度环量是标量，速度方向与积分AB曲线方向相同时（成锐角）为正,反之为负。线积分方向相反的速度环量相差一负号，即ΓAB＝－ΓBA（5－5)速度环量的其他表示形式：cos(,)xyzABABABABVdsVVdsdsVdxVdyVdz沿封闭周线C的速度环量xyzcscccdxVdyVdzVdsVdsVCdssVαV对于无旋流场:对于有旋场:ABxyzABABBBAAVdxVdyVdzdxdydzxyzd速度环量的计算1)已知速度场，求沿一条开曲线的速度环量由公式计算ABxyzABABVdsVdxVdyVdz2.若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量对于无旋场:对于有旋场:0cxyzcccVdxVdyVdzdxdydzxyzd2csncVdsd（5－11）此式称为斯托克斯定理三、斯托克斯定理沿任意闭曲线的速度环等于该曲线为边界的曲面内的旋涡强度的两倍,即Γｃ＝２J2csncVdsd（5－11）或斯托克斯定理：环量与旋涡强度通过线积分与面积分联系起来了。Cnd0cdabdxxvyvxydyyyvvdxxxxvvdyy证明:流场中取微元矩形abcd()()yxabcdaxyxyvvdvdxvdxdyvdydxvdyxy()yxvvdxdyxy()2yxzvvxy而微矩形面积ds上的环量：222znddSdSdJ将C域分为若干微矩形,对各微分面积求d推广到有限大平面两邻矩形公共边积分反向,速度环量其和为零。内部线段环量相互抵消，只剩外部边界的环量。22CndJ（5－12）证毕上述斯托克斯定理只适用于“单连通区域”C所包围的区域σ内全部是流体，没有固体或空洞。单连通区域：C的内部有空洞或者包含其他的物体。复连通域(多连通域)：AB线将σ切开，则沿周线ABB，A，EA前进所围的区域为单连通域。''2ABBAEAnd用斯托克斯定理有:CσCＬＡＥＡˊＢＢˊ''ABDBAEAABCBAL区域在走向的左侧CＬＡＥＡˊＢＢˊ积分路线相反，抵消掉了。ΓＣ：沿外边界逆时针的环量ΓL：沿内边界顺时针的环量ABBA2CLnd最后有(5-13)这就是双连通域的斯托克斯定理。反之，若沿任意封闭周线的速度环量等于零，可得处处为零的结论。推论一单连域内的无旋运动，流场中处处为零，则沿任意封闭周线的速度环量为零但沿某闭周线的速度环量为零，并不一定无旋（可能包围强度相同转向相反的旋涡）。2200cndd推论二对于包含一固体在内的双连通域，若流动无旋，则沿包含固体在内的任意两个封闭周线的环量彼此相等。则有：Γｃ＋ΓＬ＝０2CLnd即即Γｃ＝ΓＬ(与积分路径方向一致时)CＬＡＥＡˊＢＢˊ（3）正压流体（流体密度仅为压力的数）假设：（1）理想流体；（2）质量力有势；沿流体质点组成的任一封闭流体周线的速度环量不随时间而变.汤姆逊定理:（5－14）即0ddt§5-2汤姆逊定理证明:dsC上微分长经dt时间后移到C′，'v移动速度导数：第二项积分可写成cccdvdsdddvdsdtdvdsdttdt()ccdsdsddtdvdsvt21dsdsvvdtdv2)02(ccccdsdsvdtdvdsvvdddtv因此1r2r2r1rCds1v2vC’ds2v1v由欧拉方程pFdtvd1而积分式cccdvdsdddvdsdtdvdsdttdt第一项积分可写成1()ccdvdsFpdsdtUF若质量力有势则若流体正压则Ppp证毕(P)(P)0cccdvdsUdsdUdt所以0ddt1)在理想流体中,速度环量和旋涡不生不灭。因为不存在切向应力，不能传递旋转运动。汤姆逊定理和斯托克斯定理说明：2)推论:流场中原来有旋涡和速度环量的，永远有旋涡并保持环量不变，原来没有旋涡和速度环量的,就永远无旋涡和速度环量。例如，从静止开始的波浪运动，由于流体静止时是无旋的，因此产生波浪以后，波浪运动是无旋运动。注意:贴近物体表面极薄一层要除外，由于粘性的存在，这极薄一层为有旋运动。又如绕流物体的流动，远前方流动对物体无扰动，该处流动无旋，接近物体时流动不再是均匀流，根据汤姆逊定理和斯托克斯定理，流动仍保持为无旋运动。§５-３海姆霍兹定理海姆霍兹第一定理——涡管强度守恒定理（同一涡管各截面上的旋涡强度都相同）涡管上任取截面Ⅰ和Ⅱ，并将涡管表面在ａｂ处切开。由斯托克斯定理dneaaabdb2''0因为内ωｎ＝０所以2abdbaeandabba因为0故得即海姆霍兹第一定理，说明涡管各截面上的旋涡强度都相同。若涡管很小，垂直于dσ，则上式可写成ωdσ＝const.由斯托克斯定理上式写成:12nndd或.ndconst0abba而结论：涡管不能在流体中以尖端形式终止或开始，否则ｄσ→０时有ω→∞。不可能的情况constdn因为涡管存在的形式：要么终止于流体边界或固体边界，要么自行封闭形成涡环。海姆霍兹第二定理——涡管保持定理正压、理想流体在有势质量力作用下，涡管永远由相同的流体质点所组成。证明：涡管表面上取封闭流体周线C由斯托克斯定理知沿周线C的=0涡管由汤姆逊定理该速度环量永远为零即C所围的区域永远没有涡线通过。即涡管永远由相同的流体质点所组成。但涡管的形状和位置可能随时间变化。海姆霍兹第三定理——涡管旋涡强度不随时间而变正压、理想流体在有势质量力作用下，涡管的旋涡强度不随时间而变。由斯托克斯定理知绕涡管的速度环量等于涡管的旋涡强度，又汤姆逊定理知该速度环量不随时间变，因而涡管的旋涡强度不随时间而变。海姆霍兹第一定理既适用于理想流体又适用于粘性流体。海姆霍兹第二、三定理只适用于理想流体。因为流体的粘性将导致剪切、速度等参数脉动以及能量耗散，旋涡强度将随时间衰减。问题已知速度场可由式（3-39）和（3-40）求偏导来确定旋涡场。§５-４毕奥一沙伐尔定理已知旋涡场，能否确定速度场？这是本节要讨论的问题．问题的前提：流场中只存在一部分旋涡，其它区域全为无旋区。例如流场中有若干弧立涡丝，必然影响周围无旋区的速度分布。由涡丝引起的速度称为旋涡诱导速度场。涡丝诱导的速度场的计算:为了求涡丝诱导速度场，现将电磁场中的毕奥——沙伐尔定理引用过来。诱导速度场与电磁场的类比带电导线涡丝(线)电流强度ｉ旋涡强度诱导磁场强度诱导速度场磁场诱导速度场dHdV电磁场与诱导速度场的类比场点2sinrdsidH2sinrdsidH电磁学中，电流强度为ｉ的导线，微元导线ds对场点Ｐ所产生的磁场强度由毕奥——沙伐尔公式得:垂直于ds和ｒ所在的平面，按右手法则确定。ｒ:ds离场点P的矢径式中：θ:是ds与ｒ的夹角dH的方向:流体力学中毕奥——沙伐尔公式的形式旋涡强度为Ｊ（环量Γ＝2Ｊ）的ds段涡丝对于Ｐ点所产生的诱导速度：2sin4rdsdv流场中单一有限长涡丝在P点的诱导速度沿整个涡丝积分：srdsv2sin4该式可算出任意单一涡丝所引起的诱导速度场流场中多条涡丝可组成一涡面,每条涡丝的诱导速度求得后，沿涡面积分就可求得整个涡面上的诱导速度。流体力学中速度场可以看成是涡丝诱导出来的。dxrdvsin42典型实例：无限长直涡丝dx段对Ｐ点的诱导速度是：直涡丝ＭＮＭＮ段对Ｐ点的诱导速度：方向垂直于纸面向外2112sin(coscos)44vdRRθ１=０θ２=180°1.对于无限长直涡丝：2.对于半无限长直涡丝：θ１=90°θ２=180°12(coscos)[1(1)]442vRRR12(coscos)[0(1)]444vRRR在垂直于无限长直涡丝的任何平面内,流动都是相同的，可视为二维流动,相当于一个平面点涡。如环量为Γ，则在平面极坐标内的诱导速度为:02rvvRR为场点至点涡的距离例3.4中已证明这种速度场是无旋的。例5.1如图强度相等的两点涡的初始位置，试就(a)和(b)两种情况决定此两点涡的运动。解:(a)：0AxAdxvdtＡ点：1224AyAdyvdtaa由B—S定律0BxBdxvdtB点：1224ByBdyvdtaa34,4BBxcytca12,4AAxcytca积分得:,0,,0,AABBxayxay令ｔ＝０时代入方程得:Ｃ1=ａＣ2=０Ｃ3=-ａＣ4=０故Ａ，Ｂ两点的运动方程为:Ｂ点：,4BBxayta在(a)中，两点涡大小相等，方向相反。,4AAxaytaＡ点：两点涡相对位置保持不变，它们同时沿ｙ方向等速向下移动。0AxAdxvdtＡ点：