第五章机械振动.

P.0/46参考书：•普通物理学（第五版）－程守洙江之永•大学物理学—张三慧本学期主要内容：振动与波、光学、气体动理论、热学、相对论、量子物理P.1/46P.2/46振动振动：广义地说凡描述物质运动状态的量在某一数值附近作周期性的变化。实例:行星的运动、血液的循环、生态的循环、消费指数的振荡、交流电路中电流的变化等。P.3/46机械振动物体在一定位置附近作来回往复的运动。实例:心脏的跳动，钟摆，乐器，地震等。P.4/463265琴码弓提琴弦线的振动P.5/46简谐运动最简单、最基本的振动谐振子作简谐运动的物体简谐运动复杂振动合成分解物理量按余弦或正弦函数的规律随时间变化。P.6/46[基本内容]一、简谐振动的特征二、简谐振动的特征量[重点]振动（一）*掌握简谐振动的特征和规律*求简谐振动表达式*会用旋转矢量方法和振动图线的讨论来解简谐振动的有关问题。P.7/46弹簧振子的振动00Fx振动的成因b惯性a回复力§1简谐振动P.8/46建立坐标系，o点选在弹簧平衡位置处。kxF一、简谐振动的基本规律1.动力学特征x是物体相对O点的位移。xxFmoP.9/4622dtxda022xmkdtxd令mk20222xdtxd简谐振动微分方程makx)cos(tAx其解为：谐振动表达式积分常数—，A2.运动学特征角频率xxFmoP.10/46dtdxv)sin(tAdtdav)cos(2tA振动速度振动加速度)cos(tAxx2xxFmoP.11/46例1.证明竖直悬挂在弹簧下端的小球运动是谐振动。证明：平衡位置弹簧伸长x00kxmg任意位置x处，合力为)(0xxkmgFkx物体作谐振动。x0xxomP.12/46tmamgsin22dtdllatsin022lgdtd例2证明：5时，单摆的运动为简谐运动.证：取逆时针为张角正向，lgmTsingm0222dtd单摆的运动为简谐运动2Tgl2lg2令P.13/461.振幅)cos(tAx1)cos(tAxAAxmax—振幅:物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。二、谐振动的特征量振动系统能量大小的标志,由初始条件决定。tx图AAxT2TtoP.14/462T21T2.周期频率周期T:完成一次全振动所需要的时间。)()(tTxtx)(cos)cos(tTAtA2T频率:单位时间内完成全振动的次数。由振动系统性质确定P.15/46kmT2mk21mk弹簧振子的周期弹簧振子的频率——固有周期——固有频率P.16/463.振动的相位称为振动的相位.)cos(tAx)(t2)用“相位”来比较两个同频率简谐振动的“步调”.初相位描述质点初始时刻的运动状态.)sin(tAv1)用“相位”描述物体的运动状态),(vxt=0时刻的相位称为初相位.),(00vxP.17/46)cos(tAx)sin(tAv或Ax0cos三、振幅与初相的确定初始条件00,,0vvxxtsincos00AAxv002020)(xtgxAvv值。振幅和初相由初始条件决定。正负0vP.18/46xvocos0A2π0sin0Av2π0sin取0,0,0vxt已知求讨论)cos(tAxAAxT2TtoP.19/46例3一弹簧振子，弹簧的弹性系数为k，质量m，t=0时，m刚好离开平衡位置以v0向正x方向运动，求运动方程。xvo解：0cos0,00xt2π0sin0Av2π0sin取kmvvAvxA002020由)2cos(0tmkkmvxP.20/46t=0时，旋转矢量与x轴的夹角，矢量端点M在x轴上的投影点P的位移矢量端点M在x轴上的投影点P作简谐振动。旋转矢量的某一位置对应简谐振动的一个运动状态。§2旋转矢量一、旋转矢量M作矢量OM=，逆时针匀速转动，角速度为AyxPtA0xOt=0)cos(tAxP.21/46旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动.xAP.22/46A谐振动旋转矢量t+T振幅初相相位圆频率谐振动周期半径初始角坐标角坐标角速度圆周运动周期物理模型与数学模型比较P.23/46xox0tMtAP1.M点在x轴上投影点的运动)cos(tAx2.M点的运动速度)sin(tAv在x轴上投影速度AvMAvP.24/463.M点的加速度2AaMxoxMtAPa在x轴上投影加速度)cos(2tAaM点在x轴上投影点的运动,为谐振动。M点运动速度在x轴的投影,为谐振动的速度。结论：2AM点运动加速度在x轴的投影,为谐振动的加速度。0tP.25/461、求(初)位相2、作振动图3、振动的合成二、旋转矢量的应用P.26/46oxx＜0v＞0x＞0v＞0x＞0v＜0x＜0v＜0参考圆由旋转矢量法，任意时刻t,谐振动物体的位置及速度方向的判定:由此可判断相位或初相位所在的象限。P.27/46xoAoxA1)初始条件0tAx000v01.用旋转矢量表示弹簧振子运动的初相P.28/46xo2)初始条件0t00x00v2oxAP.29/463)初始条件0tAx000vxoAoxAP.30/46xo4)初始条件0t00x00v23oxA2或P.31/46txoxAt+tAxcos02.用旋转矢量画简谐运动的x-t图P.32/46（旋转矢量旋转一周所需的时间）π2T用旋转矢量图画简谐运动的图txP.33/46AAx2AtoabxAA0讨论相位差：表示两个相位之差.1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间.)()(12tt)cos(1tAx)cos(2tAx12tttat3πTTt61π23πv2AbtP.34/460xto同步2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们间步调上的差异.（解决振动合成问题）)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt12xto为其它超前落后txoπ反相P.35/46例1一质量为的物体作简谐运动，其振幅为，周期为，起始时刻物体在kg01.0m08.0s4xm04.0处，向轴负方向运动（如图）.试求Ox（1）时，物体所处的位置和所受的力；s0.1to08.004.004.008.0m/xv解:m08.0A1s2ππ2TP.36/46o08.004.004.008.0m/x3π00vm04.0,0xtA3π)3π2πcos(08.0txm08.0A1s2ππ2TP.37/46o08.004.004.008.0m/xv)3π2πcos(08.0txs0.1tm069.0xxmkxF2N1070.13kg01.0mP.38/46o08.004.004.008.0m/xv（2）由起始位置运动到处所需要的最短时间.m04.0xP.39/46o08.004.004.008.0m/x3π3π起始时刻时刻tt3πts32t（2）由起始位置运动到处所需要的最短时间.m04.0xP.40/46例2如图，求谐振动方程。解:由图知A=0.02m32π0m0.0100v-xoxAt=0t=1O34P.41/4634t1t134s)3π23π4cos(2txcmP.42/46本章作业P136/1、3、5、7、9、11P.43/46一、谐振动的动能221mvEk2)]sin([21tAm)(sin21222tmAxoAmk2)(sin2122tkAEkotkE§3谐振动的能量以弹簧振子为例：0设P.44/46二、谐振动的势能221kxEp2)]cos([21tAk)(cos2122tkAotkEpEEk最大时，Ep最小，Ek、Ep交替变化。0设P.45/46)(cos2122tkAEp)(sin2122tkAEkpkEEE三、谐振动的能量E221kA机械能守恒otkEpEP.46/46注意：振动势能与弹性势能一般是不相同的。,212kxEp振动势能：x是对平衡位置的位移。,212kxEp弹性势能：x是弹簧的伸长量。2)(21xxkEop弹例221kxEEpp振弹xm0lk0xxxo221kxEp振P.47/46)cos(111tAx)cos(222tAx振动合成21xxx分振动§4谐振动的合成一、两同方向同频率谐振动的合成P.48/4611A1xx022112211coscossinsinAAAAtg)cos(212212221AAAAA)cos(21tAxxx)cos(111tAx)cos(222tAxAx2x2A2P.49/46同方向同频率的两个简谐振动的合成合振动仍为谐振动，且圆频率不变。P.50/46xxtooA21AAA1A2A1）π212k),210(，，k)cos(212212221AAAAA讨论同相21AAA相互加强P.51/46xxtoo21AAA2A21AA2）π)12(12k),10(，k反相21AAA相互削弱3）一般情况2121AAAAAP.52/46例：两同方向、同频率谐振动合成，tx3cos41)3/3cos(22tx求：合成谐振动方程。解：合成后不变，)3cos(tAx)cos(212212221AAAAA)03/cos(242242272P.53/4622112211coscossinsinAAAAtg3/cos20cos43/sin20sin45333.0合振动方程)33.03cos(72txP.54/46)cos(11tAx)cos(22tAy①②分振动)(sin)cos(212221122221AAxyAyAx合振动为椭圆轨迹方程。二、两相互垂直同频率谐振动的合成P.55/46（1）或π2012xAAy12（2）π12xAAy12yxo1A2A1A2Aoxy)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx讨论P.56/46tAxcos1)2πcos(2tAy（3）2π121A2Aoxy1222212AyAx)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx讨论P.57/46用旋转矢量描绘振动合成图P.58/46P.59/46nm21李萨如图两振动的频率成整数比：三、相互垂直不同频率谐振动的合成利用图形，已知一频率求得另一个振动的未知频率；已知频率比，利用图形确定相位关系。P.60/46《振动》小结习题课P.61/46一、谐振动的基本规律1.动力学特征：kxF2.运动学特征：)cos(tAx)sin(tAv)cos(2tAa0222x