第五章李亚普诺夫稳定性分析

中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第五章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析现代控制理论ModernControlTheory中南大学信息科学与工程学院自动化专业2019年12月18日中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第五章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析第五章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析5.1稳定性的基本概念5.2李雅普诺夫稳定性理论5.3李雅普诺夫方法在线性系统中应用*5.4李雅普诺夫方法在非线性系统中应用小结中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第五章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析所谓系统的稳定性，就是系统在受到小的外界扰动后，被调量与规定量之间的偏差值的过渡过程的收敛性。在控制工程和控制理论中，稳定性问题一直是一个最基本和最重要的问题。中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第五章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析经典控制理论中系统的稳定性判别方法中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第五章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析Routh-Hurwitz判据根据系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置，从而决定系统的稳定性。不必求解特征方程。Nyquist判据根据闭环控制系统的开环频率响应判断闭环系统稳定性，本质上是一种图解分析方法。中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第五章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析对于非线性、时变、多输入多输出控制系统稳定性问题的研究，经典控制理论无能为力。在解决这类系统的稳定性问题时，最通用的方法是利用俄国数学家李亚普诺夫（Lyapunov）在19世纪所提出的稳定性理论来分析和研究。Lyapunov稳定性理论是稳定性分析、应用与研究的最重要的基础。中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第五章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析李亚普诺夫方法的提出1892年，Lyapunov发表博士论文《运动稳定性的一般问题》两类解决运动稳定性问题的方法第一方法：通过求微分方程的解来分析运动稳定性，对于非线性系统，在工作点附近的一定范围内，可以用线性化微分方程来近似描述（局部运动）；第二方法：通过对系统构造一个“类似能量”的纯量函数，然后考察该函数对时间的变化来判断稳定性。又称直接方法，现今学术界广为应用且影响巨大的方法。在1960年前后被系统地引入到系统与控制理论中，就很快得到了广泛的应用，不管是理论上还是在应用上都显示出了它的重要性。返回中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第五章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析定义5.1.1自治系统零输入作用的系统，用如下方程描述5.1稳定性的基本概念000(,)()xfxtttxtx其中，x为n维状态向量，f(.,.)为n维向量函数。定义5.1.2受扰运动系统状态的零输入响应定义5.1.3平衡状态如果对于所有的t总存在着(,)0efxt(,)0efxt则称xe为系统的平衡状态。中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第五章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析如果系统是线性定常的，则(,)efxtAx称为x向量的欧几里德范数。定义欧几里德(Euclid)范数n维空间中的任意一个点当A非奇异，原点是系统唯一的平衡状态。当A奇异，则存在无穷多个平衡状态。12Tnxxxx到原点距离中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第五章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析1/22221122eeennexxxxxxxxexxk表示在n维平衡状态xe周围，半径为k的超球域，其中中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第五章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析研究平衡状态的稳定性，也即偏离平衡状态的受扰运动能否依靠系统内部的结构因素返回到平衡状态，或限制在他的一个有限领域内。稳定与一致稳定渐近稳定与一致渐近稳定不稳定中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第五章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析定义5.1.4稳定系统(5.1.1)中，对，若00(,)0t＞使得由满足不等式000(,),exxttt000(;,,etxtxtt）则称xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。的任一初始状态x0出发的受扰运动都满足不等式中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第五章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析二维空间李雅普诺夫意义下稳定性的几何解释示意图xe－平衡状态x0－初始状态ex1x2x0x中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第五章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析定义5.1.5一致稳定如果δ只依赖于ε而和t0的选取无关，则称平衡状态xe是一致稳定的。对于定常系统，稳定和一致稳定是等价的。通常要求系统是一致稳定的。中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第五章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析定义5.1.6渐近稳定如果xe是李雅普诺夫意义稳定的，并且对于和总使得由满足不等式则称平衡状态xe是渐近稳定的。000(,),exxttt的任一初态x0出发的受扰运动都满足不等式中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第五章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析随着μ→0，显然有T→∞，因此原点的平衡状态xe为渐近稳定时，必成立0000lim;;0,ttxtxS既反映了运动的有界性，同时又反映了运动随时间变化过程的渐近性。中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第五章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析二维空间李雅普诺夫意义下渐近稳定性的几何解释示意图xe－平衡状态x0－初始状态0xex1x2x中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第五章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析定义一致渐近稳定如果实数δ和T的大小都不依赖于初始时刻t0，则称平衡状态xe是一致渐近稳定的。对于定常系统，渐近稳定和一致渐近稳定是等价的。从实际应用的角度，渐近稳定性比稳定性重要，一致渐近稳定又比渐近稳定重要。中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第五章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析定义5.1.7大范围渐近稳定则称平衡状态xe=0为大范围渐近稳定的。如果从状态空间的任一有限非零初始状态x0出发的受扰运动都是有界的，且满足在00;;txtt时，00;;0txt另一种说法：如果xe=0是稳定的平衡状态，且当t→∞时，系统(5.1.1)的每个解都收敛于xe=0，则此平衡状态就是大范围渐近稳定的。显然，大范围渐近稳定的必要条件是在整个状态空间中只有一个平衡状态。中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第五章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析对于线性系统，若其平衡状态为渐近稳定，则必然是大范围渐近稳定。定义5.1.8不稳定如果平衡状态既不是稳定的，更不是渐近稳定的，则称此平衡状态为不稳定的。在不稳定平衡状态下：对于某个实数和，在超球域内始终存在状态x0，S使得从该状态开始的受扰运动要突破超球域S中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第五章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析0x1x2x二维空间不稳定的几何解释示意图x0－初始状态中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第五章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析图(a),(b),(c)分别表示平衡状态为稳定、渐近稳定和不稳定时初始扰动所引起的典型轨迹。取平衡状态xe=0。S(ε)是由初始状态x0所引起的运动轨迹的边界，S(δ)表示x0的取值范围。中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第五章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析几种稳定性之间的关系中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第五章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第五章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析定义5.1.10正定函数令V(x)是向量x的标量函数，S是x空间包含原点的封闭有限区域。如果对于S中的所有x，都有1）存在且连续2）3）当时，则称V(x)是正定的（正半定的）。如果条件3）中不等式的符号反向，则称V(x)是负定的（负半定的）。如果在S域内，不论S多么小，V(x)既可为正值也可为负值时，则称V(x)是不定的。中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第五章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析例5.1.11）正定的2）半正定的3）负定的4）半负定的5）不定的中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第五章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析定义5.1.11二次型建立在李雅普诺夫第二方法上的稳定性分析中，有一类标量函数起着重要的作用，即为二次型函数()TVxxPxP为权矩阵。一般，有于是11()nnijijijVxpxx常取P为对称矩阵，即pij=pji中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第五章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析塞尔维斯特（Sylvester）定理：中的P是对称矩阵时，V(x)为正定的充要条件是P的所有顺序主子行列式都是正的。即11121121220det0det0pppPpp，，，如果P的所有主子行列式为非负的(有的为零)，那么V(x)即为半正定的。如果－V(x)是正定的（半正定的），则V(x)将是负定的（半负定的）。中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第五章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析例5.1.2证明下列二次型函数是正定的。解：二次型V(x)可以写为因为所以返回为正定中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第五章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析5.2李雅普诺夫稳定性理论返回5.2.1李雅普诺夫第一方法5.2.2李雅普诺夫第二方法5.2.3几点说明中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第五章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析Lyapunov稳定性理论主要内容Lyapunov第一法􀂄由系统的动态方程来找出其一次近似的线性化方程，在通过对线性化方程的稳定性的分析而给出原非线性系统在小范围内稳定性的有关信息。Lyapunov第二法􀂄不需要引入线性近似，而直接由系统的运动方程出发，通过构造一个类似于“能量”的Lyapunov函数，并分析它和其一次导数的定号性而获得系统稳定性的有关信息。中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第五章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析5.2.1李雅普诺夫第一方法李雅普诺夫第一方法又称间接法，其基本思想是解出系统的状态方程，根据状态方程解的性质判别系统的稳定性。线性系统，只须求出系数矩阵的特征值即可判断其稳定性。非线性系统，则由若干过程组成，其中每个过程都要用到具体的形式。若系统存在一个以上的平衡状态，则要对每个平衡状态进行研究。中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第五章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析将平衡状态移到坐标的原点，得eyxx()eyfyx*考察非线性系统，设在零输入下的状态方程为()xfx将在原点展开得()yAyGyy()efyx讨论系统在其平衡状态xe的稳定性，将非线性向量函数f(x)在平衡状态xe附近展开成泰勒级数，引入新的向量中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第五章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析111111110ennnnnnnnyxxffffyyxxAffffyyxx2()()GyoyA为n×n雅可比(Jacobian)矩阵，即出现在雅可比矩阵A中的所有偏导数都是在平衡状态x=xe或y=0处求取的。G(y)由泰勒级数展开式的高阶导数项组成，其元素在平衡状态为0。中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第五章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析yAy因此，可在原点附