第五章模糊理论及其在故障诊断中的应用-3.

第五章模糊理论及其在故障诊断中的应用模糊集合理论基础模糊逻辑系统及其在故障诊断中的应用模糊神经网络及其在故障诊断中的应用一、模糊集合理论基础引言客观世界中一方面存在着一些清晰的概念和现象，如“正整数”、“小于10的正整数”等；另一方面也存在许多模糊的概念和现象，如“高个子”、“比较大的正整数”等。“高个子”、“比较大的正整数”就属于模糊概念，它们难以用经典的二值或多值逻辑来描述。L.A.Zadeh提出的模糊集合理论正是描述这类模糊概念和现象的强有力工具。基于模糊集理论的模糊逻辑本身并不模糊，而是用来对“模糊”进行处理以达到消除模糊的逻辑。模糊逻辑本身是一种精确的方法，只是其处理的对象是一些不精确、不完全的信息。它的最大特点是能够比较自然地处理人类的语言信息和知识。模糊理论中，采用“隶属度”的概念来定量描述元素与模糊集合之间的隶属关系，它是一个0到1之间的实数。隶属度为0表示某元素严格不属于该模糊集合；隶属度为1表示元素严格属于该模糊集合。模糊逻辑的基础是模糊集合，模糊集合和经典集合相比有本质的区别。在经典集合中，某个元素要么属于该集合，要么不属于该集合，泾渭分明。在模糊集合中，允许某个元素“部分”隶属于该模糊集合，“部分”隶属于另一个模糊集合。元素和集合之间的隶属关系不具有清晰明确的界限。基于模糊集合及其运算规则，可以进一步建立模糊逻辑系统，用以处理相应的模糊信息和模糊语言。对于大多数应用系统，其主要的信息有两种：来自传感器的数据信息；来自提供系统性能描述的专家语言信息。客观世界中人类大量的知识是用语言形式来表达的，它本身就有模糊性。模糊逻辑系统因其能够有效地利用语言信息而得到广泛应用。模糊集合的概念及基本运算1、集合及其基本运算在经典集合论中，集合是由“非真即伪”的数学语言来描述的。适应这种数学语言的对象构成了经典集合论中的各种集合。为了引出模糊集合的概念，首先给出集合论的一个基础，即“论域”。所谓“论域”是指所讨论的问题所涉及到的对象的全体。它是一个普通集合，通常用大写字母U，V，W等来表示。考虑论域U的一个子集A，在经典集合论中，它有以下两种表示方式：)(xpxUxxA满足且（2）采用特征函数来描述，即,0,1)(xAifAxAxif（1）A为满足某种性质p(x)的点x的全体，即集合有并、交、补三种基本运算。若以特征函数来表示论域U的子集A与B的运算，则经典集合的并（A∪B）、交（A∩B）、补（～A）运算可以表示为：)(),()(xxxBABA)(),()(xxxBABA)(1)(~xxAA上式中，“∨”表示求最大值（max）运算；“∧”表示求最小值（min）运算。2、模糊集合与隶属函数模糊集合是根据“隶属函数”的概念定义的，“隶属函数”与经典集合的特征函数类似。定义1：论域U＝{x}上的模糊子集A由隶属函数μA(x)来表征。μA(x)在闭区间[0，1]中取值。μA(x)的大小反映了x对模糊子集A的隶属程度。该定义表明，论域U＝{x}上的模糊子集是指U中具有某种性质的元素的全体，这些元素具有某种不分明的界限。对于U中任一元素，都能根据这种性质，用一个值域为闭区间[0，1]的函数来表征该元素属于A的程度。隶属函数μA(x)的值越接近1，则表示x隶属于A的程度越高；反之，μA(x)的值越接近于0，则表示x隶属于A的程度越低。例如，设模糊集合A表示“远大于0的实数”，即：0xxA则A的隶属函数可由下式描述：2)/(110)(xcxAx≤0x0式中，c为实数。上述隶属函数可由下图来描述。图“远大于0的实数”模糊集合的隶属函数2)/(11)(xcxA隶属函数的确定是应用模糊理论研究模糊问题的基础。由于模糊概念是客观事物的本质属性在人们头脑中的反映，所以隶属函数的具体确定必然涉及人们对模糊概念的认识、人脑对模糊信息的加工过程，具有一定程度的主观性质。但是，模糊概念必须恰如其分地反映客观现象，所以隶属函数也不能随意捏造，其具体确定又有一定的科学性。如，对前面所举的例子，“远大于0的实数”模糊集合A的隶属函数，不同的c值反映了对该模糊集合不同的认识。如果认为x＝10附近的数属于“远大于0”和“非远大于0”的中间状态，则可取c＝10；如果认为该中间值应取更大的数，比如说100，则应该取c＝100。根据论域是否有限，模糊集合有下述两种描述方法。（1）若论域U是有限域，即U＝{x1,x2,…,xn}，考虑U上任一模糊集合A，其隶属函数为μA(xi)（i=1~n），则A可表示为：nnAAAxxxxxxA/)(.../)(/)(2211niiiAxx1/)(式中，和不再表示数学求和与除法运算，而仅具有符号意义，表示对模糊集A的隶属度是iiAxx/)(ix)(iAx上式也可表示成向量形式)([1xAA)(2xA)](...nAx（2）若论域U为无限域，则U上的模糊子集A可表示为：UxAxxA/)(式中，符号∫也不再表示积分。模糊集合的隶属函数有多种不同的形式。以下为几种常用的隶属函数。（1）偏小型函数,0,2,21,1)(22abbxabaxxAbxbxbabaxaax22偏小型函数的特点是x越大，则它对模糊集合A的隶属度越小。图偏小型函数（2）偏大型函数,1,21,2,0)(22baaxbabxxAaxaxbabaxbbx22偏大型函数的特点是x越大，则它对模糊集合A的隶属度越大。该隶属函数和偏小型隶属函数构成了互补的关系。图偏大型函数图中间型函数（3）中间型（正态型）函数))(exp()(2axkxA其中，k为大于0的参数。中间型函数描述了变量与某个基准点a的接近程度。（4）三角形函数,0,1,1,0)(baxbaxxAbaxbaxaaxbabax图三角形函数图梯形函数（5）梯形函数,0,,1,,0)(122122aaaxaaaaxaxA22111122aaxaaxaaaaxaaaaxaaaax性质相近的模糊集合，其隶属函数可以有不同的形式。如，偏小型和偏大型的模糊集合还可以分别采用以下两个隶属函数来描述：,1,)(11)(bAcxaxcxcx,0,)(111)(bAcxaxcxcx图偏大型函数（b=2时）图偏小型函数（b=2时）其中，a0，b0。不同的形式同样能有效地描述模糊集合“偏大”和“偏小”的属性。充分说明了隶属函数的确定具有一定的主观性和经验性。考虑论域U上的模糊集合A，若存在x0∈U使μA(x0)＝1，并且x0唯一，则称A为正规模糊集，x0称为该模糊集的主值。定义2：根据上述定义，三角形和正态型隶属函数的模糊集为正规模糊集，并且x＝a为相应模糊集的主值。3、模糊集合的基本运算模糊集合是普通集合的推广，普通集合的一些运算规则也可相应地扩展到模糊集合。记F（U）表示论域U上模糊子集的全体，则有以下定义和运算规则。定义3：设A，B∈F（U），若，有，则称A包含于B，或者B包含A。记为AB；Ux)()(xxBA若，有，则称A等于B，记为A＝B。Ux)()(xxBA模糊集合的包含关系具有以下性质：（2）对称性：若AB且BA，则A＝B；（1）自反性：AA；（3）传递性：若AB且BC，则AC。定义4：设A，B∈F（U），则A∪B（A与B的并集）的隶属函数定义为：)()())(),(max()(xxxxxBABABAA∩B（A与B的交集）的隶属函数定义为：)()())(),(min()(xxxxxBABABA～A（A的补集）的隶属函数定义为：)(1)(~xxAA设A，B，C∈F（U），以下给出模糊集合并、交、补运算的基本性质：（1）幂等律：A∪A＝A，A∩A＝A；（2）吸收律：A∪(A∩B)＝A，A∩(A∪B)＝A；（3）交换律：A∪B＝B∪A，A∩B＝B∩A；（4）分配律：A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)；（5）结合律：(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)；（6）复原律：～(～A)＝A；（7）对偶律：～(A∪B)＝(～A)∩(～B)～(A∩B)＝(～A)∪(～B)。定义4(并、交、补定义)中所确定的模糊集合的并、交运算是按隶属函数取大、取小的规则定义的，这相当于一种“最乐观”和“最悲观”的取舍。其优点是运算简单、应用方便。但在某些情况下这种简单的运算规则可能会导致一定的信息遗漏。因此，Yager进一步提出了“广义并”和“广义交”算子。“广义并”运算的定义如下：ppBpABAxxx/1)()(,1min)(式中，p∈[0,∞)为调整“乐观”程度的参数。当p从0开始增加时，上式将在1到max(μA(x)，μB(x))之间单调下降。“广义交”运算的定义如下：ppBpABAxxx/1))(1())(1(,1min1)(式中，p∈[0,∞)为调整“悲观”程度的参数。当p从0开始增加时，上式将在0到min(μA(x)，μB(x))之间单调上升。广义并和广义交运算可以推广至多个模糊集。考虑n个模糊集A1～An，为了方便，用xi表示μAi(x)，则模糊集A1～An的广义并运算规则为：pnipinpxxxx/1121,1min),...,,(模糊集A1～An的广义交运算规则为：pnipinpxxxxI/1121)1(,1min1),...,,(定义5：设A1，A2，…，An分别是论域U1，U2，…，Un上的模糊集合，则A1，A2，…，An的笛卡尔乘积（记为A1×A2×…×An）定义为论域U1，U2，…，Un上的模糊集合，即：nnnnUxUxUxxxxAAA,...,,),...,,(...22112121其隶属函数为：)(...)()(),...,,(2121...2121nAAAnAAAxxxxxxnn模糊关系与模糊矩阵客观世界中，事物之间除了“绝对”有关系或“绝对”没有关系外，还存在“有点关系”、“关系比较密切”等概念模糊的关系。模糊关系即用于描述这种现象。设U、V均为有限论域。在U和V中各取一个元素（分别记为x，y）可以构成一个序偶（x，y）。则由全体序偶组成的集合称为U和V的“直积集”，记为VyUxyxVU,),(直积集U×V的模糊子集即称为U×V中的模糊关系，记为R。模糊关系的隶属函数表示为。),(yxR论域U×U中的模糊关系通常简称为论域U上的模糊关系。以上模糊关系的定义，可以推广至多个论域。即将U1×U2×…×Un中的n项模糊关系R的隶属函数表示为),...,,(21nRxxx由于模糊关系R本身也是一种模糊集合，因此，也存在包含、相等等关系，以及并、交、补等基本运算。定义6：设R1，R2是U×V上的两个模糊关系，则有如下定义：（1）包含关系：若有,UxVy;R),,(),(2121RyxyxRR则（2）相等关系：若有,UxVy;R),,(),(2121RyxyxRR则（3）并运算：,Ux,Vy);,(),(),(2121yxyxyxRRRR（4）交运算：,Ux,Vy);,(),(),(2121yxyxyxRRRR（5）补运算：,Ux,Vy。),(1),(11~yxyxRR定义7：考虑矩阵R＝[rij]n×m，若对于任意的i，j均有rij∈[0，1]，则称R