第五章测量误差及测量平差•§5.1测量误差概述•§5.2衡量测量精度的指标•§5.3误差传播定律•§5.4等精度观测的直接平差§5.1测量误差概述一、误差的现象及定义二、误差来源三、误差的分类误差现象距离多次丈量l1≠l2≠l3,…三角形内角和∠A+∠B+∠C≠180°水准测量大量测量实践发现,测量结果中不可避免的普遍存在误差,具体表现在:1.对同一量多次观测,其观测值不相同。2.观测值之和不等于理论值ABC——不符值——闭合差•真误差:观测值与客观真实值之差。•公式:•目的:找出误差产生的原因,制定减弱误差的措施,保证测量成果达到必需的精度。误差的定义lx二、测量误差来源(1)仪器的原因原因:固定的精确度、仪器构造不完善(2)人的原因原因:感觉器官的局限性;技术水平、工作态度(3)外界环境的影响原因:温度、气压等的变化•通常把测量仪器、观测者的技术水平和外界环境统称为观测条件。•等精度观测–观测条件相同的各次观测。•不等精度观测–观测条件不同的各次观测。三、测量误差的分类测量误差按其产生的原因和对观测结果影响性质的不同,可分为系统误差、偶然误差和粗差。定义特点消除办法粗差系统误差偶然误差举例:钢尺——尺长、温度、倾斜改正分析产生的主要原因:是仪器设备制造不完善。系统误差:在相同的观测条件下,对某量进行了一系列地观测,如果误差出现的大小和符号均相同或按一定的规律变化。思考:水准仪——i角1.系统误差000)(lttlllt水准仪:视准轴不平行于水准管轴(i角)(ABihSS后前)结论:i角误差与前后视距差成正比。消除和削弱的方法:(1)用计算的方法加以改正;(2)用一定的观测方法加以消除;(3)将系统误差限制在允许范围内。(校正仪器)注意:系统误差具有积累性,对测量成果影响较大。观测者的技术水平,外界环境的影响举例:读数误差、瞄准误差分析产生的主要原因:偶然误差:在相同的观测条件下,对某量进行了一系列地观测,如果误差出现的大小和符号均不定,称为偶然误差(随机误差)。2.偶然误差三角形内角和误差分布表偶然误差的特性•有界性•密集性•对称性•抵偿性:即•就单个值而言,偶然误差在观测前不能预知其大小和符号。•但就大量偶然误差总体来看,具有一定的统计规律。随着观测次数的增多,统计规律越明显。•偶然误差不能消除,只能通过改善观测条件加以控制。注意:频率直方图00.050.10.150.20.250.30.350.40.45真误差频率密度-3.0以下-3.0_-2.5-2.5_-2.0-2.0_-1.5-1.5_-1.0-1.0_-0.5-0.5_0.00.0-0.50.5-1.01.0-1.51.5-2.02.0-2.52.5-3.03.0以上•每一误差区间上的长方形面积表示误差在该区间出现的相对个数(频率)。所有长方形面积之和等于1。密度函数法因其符合正态分布,也称为正态分布曲线。当时,如果将误差区间无限缩小,则矩形上部的折线,就趋向于一条以纵轴对称的光滑曲线,称为误差分布曲线。n(d0)密度函数法正态分布曲线的数学方程式:式中σ0,表示与观测条件有关的参数。观测质量的好坏用误差分布的密集和离散程度来表示。221()2fennnnn][lim...lim22222122[]limnn三、测量误差的分类•在观测结果中,有时会出现错误(读错、记错或测错等),统称为粗差。•杜绝办法:认真仔细作业,采取必要的检核措施–对距离进行往、返测量,对角度重复观测–对几何图形进行必要的多余观测,用一定的几何条件来检核3.粗差通过检核的方法发现粗差;舍弃含有粗差的观测值,并重新进行观测。按其产生的原因和规律加以改正、抵消和减弱。根据误差特性合理的处理观测数据减少其影响。四、误差处理的原则1.粗差:2.系统误差:3.偶然误差:(1)用计算的方法加以改正;(2)用一定的观测方法加以消除;(3)将系统误差限制在允许范围内。(校正仪器)测量平差§3.2衡量精度的标准•精度:在相同的观测条件下,对一个量进行一组观测,各观测值之间的密集和离散程度。在相同的观测条件下所进行的一组观测,由于它们对应着同一种误差分布,因此,对于这一组中的每一个观测值,都称为是同精度观测值。评定精度的标准中误差极限误差相对误差一、中误差•设对某一未知量x进行了n次等精度的观测,其观测值为l1、l2、……、ln,相应的真误差为Δ1、Δ2、…Δn,则定义该组观测值的方差D为:[]limnDn[ΔΔ]=Δ12+Δ22+…….+Δn2Δi=li-x(i=1、2、3、…….、n)x为未知量的真值。式中:•由于D=σ2,所以σ称为中误差,在数理统计中称为标准偏差。•当n为有限时,σ的估值为在测量中常用m来代替中误差的估值,即nDnlimnmn221()2fe•设有不同精度的两组观测值•结论:说明中误差值越小,观测精度越高。m1=2.7,m2=3.6式中:例:试根据下表数据,分别计算各组观测值的中误差。解:第一组观测值的中误差:第二组观测值的中误差:说明第一组的精度高于第二组的精度。说明:中误差越小,观测精度越高。222222222210(2)(1)3(4)(3)21(2)42.510m222222222221(2)601(7)(1)0313.210m21mm•用中误差作为衡量精度的指标,代表了观测值的密集和离散程度。•相同观测条件下进行的一组观测,对应的是同一种误差分布,即一组观测值中的每一个观测值都具有相同的精度。•中误差不等于每个观测值的真误差,而是一组真误差的代表值,代表了一组测量结果中任一观测值的精度,通常把m称为观测值中误差或一次观测中误差。二、极限误差•根据偶然误差的第一个特性,在一定观测条件下,偶然误差的绝对值不会超过一定的限值,该限值称为极限误差(限差、允许误差)。•极限误差是偶然误差限制值,用作观测成果取舍的标准。•理论和实验研究表明,大于两倍中误差的偶然误差个数约占总数的4.5%,大于三倍中误差的偶然误差个数约占总数的0.3%。•测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差;即Δ容=2m或Δ容=3m•极限误差的作用:区别误差和错误的界限。返回%3.68683.021222deP222221220.95595.5%2Ped223231330.99799.7%2Ped•中误差和真误差都是绝对误差,误差的大小与观测量的大小无关。在有些情况下,中误差并不能全面反映观测精度。例如:分别丈量两段不同距离,一段为100m,一段为200m,中误差都是0.02m。此时是否能认为两段距离观测结果的精度相同?•为了更客观地反映实际测量精度,必须引入相对误差的概念。相对误差K:中误差的绝对值m与相应观测值D之比,通常以分母为1的分式来表示,称其为相对(中)误差。即:mDDmK1一般情况,角度、高差的误差用m表示,量距误差用K表示。三、相对误差与相对误差相对应,真误差、中误差、容许误差称为绝对误差。[例]已知:D1=100m,m1=±0.01m,D2=200m,m2=±0.01m,求:K1,K2解:1110.01110010000mKD2220.01120020000mKDK1K2,说明:第二组的量距精度高于第一组的精度。或然误差:将一组误差按其绝对值的大小排序,取居中的一个误差值作为精度指标,以表示。平均误差:误差绝对值的平均值,用v表示。[]vn实践数据表明:45vm23m从数值大小看,或然误差和平均误差都小于中误差,所以常用中误差来作为衡量精度的指标。S§5.3误差传播定律直接观测的量,经过多次观测后,可通过真误差或改正数(5.4节内容讲述)计算出观测值中误差,作为衡量观测值精度的标准。cosSD概念误差传播定律:倍数函数和差函数一般线性函数非线性函数函数形式阐述观测值的中误差与观测值函数中误差的关系的定律。一、线性函数1.倍数函数•设有函数Z=kx,x为直接观测值,中误差为mx,k为常数,Z为观测值x的函数。如果对x作n次等精度观测,真误差分别为x1、x2、….xn,对应的函数真误差为Z1、Z2、….Zn,观测值与函数间的真误差存在如下关系:1122................nnZxZxZxkkk•将上述关系式平方、求和、除以n得:2ZZxxknn2ZZZmn222ZxmkmZxmkm式中:2,xxxmn在1:500地形图上,量得A,B两点间的距离Sab=23.4mm,其中误差mSab=±O.2mm,求实地平距SAB和中误差mSAB。•解:最后结果:ABabSMSSABSabmMm50023.4mm11.7m500(0.2mm)0.1m11.7m0.1mABS•设有函数Z=xy,x、y是两个相互独立的观测值,均作n次观测,中误差分别为mx和my,真误差关系式为2.和差函数111222................nnnZxyZxyZxy2yyxyZZxxnnnn•将上述关系式平方、求和、除以n得:•由于x、y是相互独立的,偶然误差x、y出现正负符号的机会相等,且正负符号互不相关,乘积xy也具有正负机会相同的性质。根据偶然误差的第三、第四特性,当n趋于无穷大时,第三项趋于零。即•所以222Zxymmm22Zxymmmlim0xynn•推广到n个独立观测值代数和差:•当n个独立观测值是等精度观测时:12.....nZxxx22Zxmnm122222...nZxxxmmmmZxmnmCABD3624'31''2.1''5333'28''1.7''?m求?22mmm解:8957'59''2.7''222.1''1.7''2.7''8957'59''所以3.一般线性函数1122...nnZkxkxkx22221122....Znnmkmkmkm根据倍数函数与和差函数的中误差公式:设非线性函数的一般式为:为独立观测值;为独立观测值的中误差。求函数的全微分123(,,,,)nzfxxxxixim1212()()()nZxxxnfffxxx二、非线性函数式中:用“Δ”替代“d”,得1212d()d()d()dnnfffZxxxxxx22222221212)()()(nnZmxfmxfmxfmixf式中:是函数f对的偏导数,当函数式与观测值确定后,它们均为常数,因此上式是线性函数,其中误差为:),,2,1(niix2222222121)()()(nnZmxfmxfmxfm[例]已知:测量斜边S=50.00±0.05m,测得倾角α=15°00′00″±30″求:水平距离D的中误差?解:1.函数式2.全微分3.求中误差cossinddDdSScosDS222[(cos)][(sin)]DSmmmS0.048(m)Dm2230[(cos15)0.05][(50sin15)]oo1.列出观测值函数的表达式:2.对函数式全微分,得出函数的真误差与观测值真误差之间的关系式:式中:是用观测值代入求得的值。12(,,)nZf