第五章测量误差知识.

第四章内容回顾经纬仪结构水平角观测竖直角观测三角高程测量视距测量第五章测量误差基础知识5.1概述在测量工作中，观测者无论使用多么精良的仪器，操作如何认真，最后仍得不到绝对正确的测量成果。这说明在各观测值之间及在观测值与理论值之间不可避免地存在着差异，我们称这些差异为观测值的测量误差。设某观测量的真值用X表示。若以Li(i=1,2,...n）表示对某量的n次观测值，并以△表示真误差，则真误差可定义为:观测值L与真值X之差，即Δi=Li-X(i=1,2,3…n)一、测量误差的来源外界环境、测量仪器和观测者构成观测条件,是产生测量误差的根本原因。1.仪器精度的局限性仪器制造误差及检校残余误差。2.观测者感官的局限性观测者的感官的鉴别能力、技术熟练程度和劳动态度等。表现在对中，整平，瞄准，读数各环节。3.外界环境的影响主要指观测环境中温度、湿度、气压、风力、大气折光、烟雾等。等精度观测:观测条件相同的各次观测。不等精度观测:观测条件不同的各次观测。可见，观测条件不可能完全理想，测量误差的产生不可避免。但是，在测量工作实践中，可以采取一定的措施和方法来改善乃至控制观测条件，从而能够控制测量误差。二、测量误差的分类及减少误差的措施1、系统误差——在相同的观测条件下，误差的符号和数值相同或按一定的规律变化。产生原因:仪器、观测者、外界环境。特征:规律性、累积性。措施:找出规律，加以消除或减少。2、偶然误差——在相同的观测条件下，误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面看没有任何规律性，但大量的误差有“统计规律”。偶然误差的统计特性：对358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角，三角形内角和的误差i=(测量值-180°),其结果如下表所示，分析三角形内角和的误差i的规律。7误差区间负误差正误差误差绝对值dΔKK/nKK/nKK/n0~3450.126460.128910.2543~6400.112410.115810.2266~9330.092330.092660.1849~12230.064210.059440.12312~15170.047160.045330.09215~18130.036130.036260.07318~2160.01750.014110.03121~2440.01120.00660.01724以上000000Σ1810.5051770.4953581.000偶然误差的统计8-24-21-18-15-12-9-6-30+3+6+9+12+15+18+21+24X=k/d偶然误差的统计特性:（1）有界性:在有限次观测中，偶然误差应小于限值；（2）密集性:误差小的出现的概率大；（3）对称性:绝对值相等的正负误差概率相等；（4）抵偿性:当观测次数无限增大时，偶然误差的平均数趋近于零。[]lim0nn3.粗差由于各种原因造成的大于限差的误差。粗差可以避免。措施：多余观测，根据其差值与限差比较，或重测或分配。总结：测量成果中会不可避免地含有误差。但测量成果只有符合《规范》规定的限差要求时，才算合格，否则应重测。5.2评定精度的指标精度:指误差分布的离散程度。评定精度的指标：中误差、相对误差、极限误差。一、中误差1.定义:若被观测对象的真值已知为X，真误差为△，标准差（概率统计）在测绘中称为中误差，常用m表示。2[]lim(1,2,)iininn在测量专业中,标准差σ指在一定观测条件下，当观测次数n无限增加时，观测量的真误差△的平方和的平均数的平方根的极限，表示为：通常，观测次数n总是有限的，只能求得标准差的“估值”，记作m，称为“中误差”。其值可用下式计算:由定义可知，中误差m不等于每个测量值的真误差，它只是反映这组真误差群体分布的离散程度大小的数字指标。[]ˆiimn2.用改正数计算中误差在大多数情况下，真值无法知道。在实际工作中，观测次数总是有限的，算术平均值x作为未知量的估值，称为未知量的“最或然值(或称最可靠值)”，它比任何观测值都接近真值。改正数v：观测值Li与最或然值x之差。Vi=x-Li1vvmn12nLLLxn15中误差计算方法小结已知真值X，则真误差：中误差：若真值不知，则改正数：中误差：iiLXnm][[]ilxnvxLi1][nvvm二、相对误差观测值的中误差与观测值之比，称为“相对误差”。三、极限误差（限差）偶然误差的绝对值大于2倍中误差的占5%，而大于3倍的约占0.3%，所以常取2倍中误差为极限误差。2m容＝mKL175.3误差传播定律已知：mx1，mx2，---，mxn求：my=?由观测值的中误差推算函数值的中误差，称为误差传播定律。12(,...)yfxx设有函数式：　一、观测值的函数1、和差函数2、倍数函数3、线性函数4、一般函数（非线性）12nzxxxzkx1122...nnzkxkxkx12(,...)nyfxxx　二、函数的中误差1、和差函数z=x±y结论：和差函数中误差等于两独立观测值中误差平方和的平方根。11122222222......///2/,znnnzxyzxyxyzxyzxynnnnmmmmmm平方求和再除以n得：zzxxyyxy2、倍数函数z=kx结论：倍数函数中误差等于观测值中误差的k倍。11222222......//,znnzxzxkxzkxzkxnknmkmmkm平方求和再除以n得：zzxx3、线性函数z=k1x1±k2x2±...±knxn根据和差函数及倍数函数的中误差公式,可得一般函数中误差的公式为:4、非线性函数非线性函数的真误差关系式可用全微分式近似表示：22222221122...znnmkmkmkm22222221122(/)(/)...(/)znnmfxmfxmfxm12(,...)nzfxxx　22中误差公式：计算步骤：写出函数式；写出全微分式；计算中误差。2222222121...nnymfmfmfm23三、误差传播定律应用举例1、观测值：斜距S和竖直角a待定值：水平距离D22222221cos2cos3cossinsin(206265)DSaDSadDadsmmSadaSama（）（）（）242、用三角形闭合差求测角中误差(菲列罗公式)§§§§§§§§次序观测值l△△△1180-00-10.3-10.3106.12179-59-57.2+2.87.83179-59-49.0+11.01214180-00-01.5-1.52.65180-00-02.6-2.66.8S-1.6244.3244.37.05m秒ABC223mm3mm34.0/mm秒5.4算术平均值及观测值的中误差1niiLLxn一、算术平均值在相同的观测条件下，对某未知量进行了n次观测，将各观测值取算术平均值，作为该量的最可靠的数值。证明（x是最或然值）[][][]0limLXnnnn跟据偶然误差的特性4[]LxXnΔ1=L1-XΔ2=L2-X………Δi=Li-XΔ1+Δ2+…+Δi=(L1+L2+…+Li)-nX[Δ]=[L]-nX27二、由改正数计算中误差若被观测对象的真值不知，则取平均数为最优解X。改正数:中误差可按下式计算(白塞尔公式)iivxL112nvmnii28三、算术平均值的中误差已知：m1=m2=…=mn=m求：mx。12nLLLxn22222212111()()()1xnmmmmnnnmn5.5广义算术平均值及权一.广义算术平均值对于不等精度观测值，常用带权平均值（广义算术平均值）,表示最或然值。112212nnnpLpLpLxppp二.权的计算方法22iipm1.距离测量时，权的确定方法同精度丈量时，边长的权与边长成反比。Pi=c/Si2.水准测量时，权的确定方法（1）每公里水准测量精度相等时，水准路线观测高差的权与路线长度成反比；Pi=c/Si（2）每测站观测的高差精度相等时，水准路线观测高差的权与测站数成反比；pi=c/ni3.观测值函数的权观测值L1、L2、…、Ln，它们的中误差和权分别为m1、m2、…、mn和p1、p2、…、pn,观测值函数为：z=f(L1、L2、…、Ln)根据误差传播定律：22222221212()()()znnfffmmmmLLL根据定权公式：22222221122()()()znnfffpLpLpLp权倒数传播定律：22211221111()()()znnfffpLpLpLp4.广义算术平均值的权[][]pLxp[]xpp5.单位权中误差的计算公式由真误差计算单位权中误差[]pn由改正数计算单位权中误差[]1pvvn