第五章液体三元流动基本原理w

水力学第五章液体三元流动基本原理5.1概述工程中绝大多数水利工程可用一元恒定总流方程解决；实际工程中遇到的二元或三元的流动问题可建立三元流动的基本方程解决；重点解决恒定平面势流问题（主要用于解决地下水渗流问题）第5章液体三元流动基本原理水力学第五章液体三元流动基本原理本章内容5.2流线与迹线微分方程5.3液体三元流动的连续性方程5.4液体微团运动的基本形式5.5有旋运动简介5.6液体恒定平面势流5.7边界层简介第5章液体三元流动基本原理水力学第五章液体三元流动基本原理1.流线（1）定义：流线是某瞬时在流场中绘出的曲线，曲线上各点的速度矢量均与该曲线相切。5.2流线与迹线微分方程d0ur水力学第五章液体三元流动基本原理（2）流线方程：0ddddzyxuuukjiruzyx由得出流线微分方程：),,,(d),,,(d),,,(dtzyxuztzyxuytzyxuxzyxt为流线方程的参数，积分时可视作常数。水力学第五章液体三元流动基本原理2.迹线（1）定义：迹线是流体质点运动的轨迹。（2）迹线方程tzutyutxuzyxdd,dd,dd由得出迹线微分方程：ttzyxuztzyxuytzyxuxzyxd),,,(d),,,(d),,,(dt为变量。水力学第五章液体三元流动基本原理例1已知用欧拉变数表示的流体运动的速度场为(式中，k为大于零的常数)，求流线与迹线。yz,,0xukxukyu水力学第五章液体三元流动基本原理5.3液体三元流动的连续性方程dt时段,x,y,z三个方向流出与流入控制体积的液体的质量差为：,,xyzdMdMdMxyzdMdMdMdM1、方程的推导水力学第五章液体三元流动基本原理[()()()()]2222yyyyyuudydydydydMudxdzudxdzdtyyyy[()()]2222yyyyyuudydydydydMuudxdzdtyyyyxyzdMdMdMdM[()]yyyudMdyudydxdzdtyy[()]yyuudxdydzdtyy()yudxdydzdty水力学第五章液体三元流动基本原理()xxdMudxdydzdtx()yydMudxdydzdty()zzdMudxdydzdtzxyzdMdMdMdM[()()()]xyzuuudxdydzdtxyz水力学第五章液体三元流动基本原理()dMdxdydzdttdMdM[()()()]()xyzuuudxdydzdtdxdydzdtxyzt[()()()]0xyzuuutxyz[()()()]xyzdMuuudxdydzdtxyz0)(utijkxyz哈密顿算子液体三元流动的连续性方程质量净流出质量减少水力学第五章液体三元流动基本原理1()10rzruuurrrz柱坐标系下连续性方程水力学第五章液体三元流动基本原理2．连续性方程的简化（1）恒定流动，不论液体是否压缩（2）不可压缩流体流动，不论是否恒定（4）对于二维恒定不可压缩流动0)(u,0zuyuxuzyx,0yuxuyx,0t[()()()]0xyzuuutxyz水力学第五章液体三元流动基本原理3．连续性方程的意义（1）质量守恒（2）用连续性方程判别流动能否发生（3）用连续性方程推求某一速度分量（4）与运动微分方程联立求解水力学第五章液体三元流动基本原理例1已知二维恒定不可压缩流动速度场为判别流动是否能发生。yxux23)6(xxyuy解：066xxyuxuyx所以该流动能发生。水力学第五章液体三元流动基本原理例2已知二维恒定不可压缩流动径向速度分量为式中A为常数，求切向速度分量解：)/cos(2rAur0)(urrurcos)cos()(22rArArrrruur)(sin2rCrAu水力学第五章液体三元流动基本原理1、液体微团运动形式：5.4液体微团运动的基本形式平移、旋转和变形rruudd0ε水力学第五章液体三元流动基本原理2、液体质点的基本运动形式分析设微团平行于xoy平面的投影面为ABCD，在t瞬时，各角点沿x,y方向的速度分量水力学第五章液体三元流动基本原理液体质点的基本运动形式平移是指液体微团在运动过程中任一线段的长度和方位均不变。平移速度为ux,uy水力学第五章液体三元流动基本原理线变形是指液体微团在运动过程中仅存在各线段的伸长或缩短。()xxxuudxdtudtxxudxdtx线变形率xxxuxyyyuyzzzuz水力学第五章液体三元流动基本原理角变形dtxudxdxdtxudtgdyy/)(dtyudydydtyudtgdxx/)(角BAC的减少量为dd平均角变形为12dd（）x角变形率11()22yxxyyxuddudtxy水力学第五章液体三元流动基本原理角变形和旋转tanyyudxdtuxdddtdxxtanxxudydtuydddtdyydddddd1()2ddd1()2ddd水力学第五章液体三元流动基本原理1()2ddd1()2ddd11()()22yxuuddddtxy11()()22yxuuddddtxy1()2yxzuuddtxy1()2yxxyuuddtxy角变形率旋转角速度水力学第五章液体三元流动基本原理1()2yxxyuuxy1()2yzyzuuyz1()2xzzxuuzx1()2yxzuuxy1()2xzyuuzx1()2yzxuuyzxyzijk角变形率旋转角速度0为将流动分为有旋运动和无旋运动是否根据旋转角速度水力学第五章液体三元流动基本原理zuyuxuzzzyyyxxx,,线变形率分量：角变形率分量：yxxyxyyuxu)(21xzzxzxxuzu)(21zyyzyzzuyu)(21旋转角速度分量：)(21yuxuxyz，)(21xuzuzxy，)(21zuyuyzx水力学第五章液体三元流动基本原理变形率（应变率）张量为：zzyzxzzyyyxyzxyxxxε流体的速度分解定理：流场中任一点处的速度为平移速度、旋转速度与变形速度之和。)d(r0u)d(rεu水力学第五章液体三元流动基本原理5.5有旋运动简介有旋流动（有涡流动）类似于流速场引用流线、流管、流束、流量有旋运动的涡场引入涡线、涡管、涡束、涡通量的概念来表征。0。有涡流动的流动称为有旋流动或旋转角速度水力学第五章液体三元流动基本原理涡线、涡管、涡束在某瞬时，在涡场中假想的一条空间几何曲线，在此曲线上，各质点的旋转角速度矢量都与该点的曲线相切，则定义这条曲线为涡线。涡线微分方程xyzdxdydz水力学第五章液体三元流动基本原理涡量、涡通量、速度环量和斯托克斯定理涡量:速度的旋度。2uxyzijkuxyzuuu()()()yyxxzzuuuuuuijkyzzxxy水力学第五章液体三元流动基本原理涡通量（涡旋强度）ddAAddAxyzLLudLudxudyudz速度环量:在流场中任取一封闭的曲线，把速度沿该封闭曲线的线积分定义为绕曲线L的速度环量，记作:()()()yyxxzzAuuuuuudydzdxdzdxdyyzzxxy水力学第五章液体三元流动基本原理LudLAdA斯托克斯定律：通过某一曲面的涡通量等于沿该曲面周界的速度环量。xyzLLudLudxudyudz()()()yyxxzzAuuuuuudydzdxdzdxdyyzzxxy水力学第五章液体三元流动基本原理1、流函数定义0)()(xyyxxuyuyx0yuxuyx5.6液体恒定平面势流5.6.1流函数由流体平面不可压缩的连续性方程,即则有即连续性方程自动满足称为流函数若设水力学第五章液体三元流动基本原理yxxyudyudxdyudxudyydxxd02、流函数的性质(1).=C为流线,即流函数等值线就是流线222221020yxzuuxyxy（）(2).平面无旋不可压,流函数满足拉氏方程为调和函数水力学第五章液体三元流动基本原理(3).两条流线的流函数值之差等于这两条流线间所通过的单宽流量dddd___xuyuabuqyxablqq2112dd./m2s的单位为水力学第五章液体三元流动基本原理1、速度势函数定义流动无旋0)()(xyyx.,yuxuyx=0yxzuuxy5.6.2速度势函数若令流动无旋自动满足称为速度势函数则有水力学第五章液体三元流动基本原理2、速度势函数的性质(1)等势线与流线正交yxyxuudxdyKdyudxudyydxxd10xyxyuudxdyKdyudxudyydxxd20121xyyxuuuuKK水力学第五章液体三元流动基本原理2、速度势函数的性质0zuyuxukzjyixuzyx(2)无旋不可压,速度势函数满足拉氏方程02222222zyx为调和函数代入不可压连续性方程得水力学第五章液体三元流动基本原理例3平面速度场试求:(1).是否为可能存在的流动(2).求流函数(3).是否无旋解:(1).(2).110yxuuxy22(4)(4)(44)()22ddxdyyxdxxydyxyxdxydyydxxdyxxyycxyuyxuyx44水力学第五章液体三元流动基本原理例3平面速度场试求:(2).求流函数解:2222=4(4)()2()=()4()4()222yyxuyxxdxudxyxdxcyxyxcyxuxcyxyycyycyycxxyycxyuyxuyx44水力学第五章液体三元流动基本原理例3平面速度场试求:(1).是否为可能存在的流动(2).求流函数(3).是否无旋解:(3).11[4(4)]022yxzuuxy（）xyuyxuyx44所以流动无旋水力学第五章液体三元流动基本原理1.流函数与速度势函数为共轭函数流函数与速度势函数这一关系，在数学上称为柯西(Cauchy)-黎曼（Riemann）条件，满足这一条件的函