概率论第一章-随机事件及其概率Ch1.4-条件概率与事件的独立性

高等院校经济管理类专业经济数学基础系列教材概率论与数理统计第一章随机事件及其概率§1.1随机事件§1.2频率与概率§1.3古典概型与几何概型§1.4条件概率与事件的独立性§1.5全概率公式与贝叶斯公式§1.4条件概率与事件的独立性一、条件概率1.定义设A,B是两个事件，且P(B)0，称为已知事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率。()()()PABPABPB有时候称P(A)为无条件概率（或先验概率），而把条件概率称为后验概率。()PAB()()()PABPABPB()()()()PAPAPAPAABB与的区别：()PA()PAB（1）；()0PB（2）若是两两互不相容的事件，则有11{()}()nniiiiPABPAB1,,nAA()0PB()1()PABPAB（4）12112{()}()()PAABPABPAAB（5）（6）121212{()}()()()PAABPABPABPAAB（3）若，则12AA12()()PABPAB条件概率也是一种概率，它满足概率的所有性质。例如：例1.16一袋中装有10个球，其中3个黑球，7个白球，先后两次从袋中不放回地各取一球，已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率。解记Ai表示事件“第i次取出的是黑球”，i=1,2，则231122103(),()10PPAPAAP所以12211()2()()9PAAPAAPA注:此题也可以直接利用古典概率计算。(缩减样本空间)21322()399PAA解：已知两次取球中没有白球，利用样本空间的缩减法，相当于是求从装有5个红球，3个黑球的袋中有放回地取两次，两球中恰有一个红球的概率。故所求概率为1225315832Cp思考：此题若用条件概率计算公式该如何求解？例一袋中装有5个红球，3个黑球，2个白球，现有放回地从中取两次，每次取一球。已知两球中没有白球，求所取两球中恰有一个红球的概率。设A=“所取两球中恰有一个红球”，B=“两球212225533()10CPB12253()10CPAB中没有白球”，则所以，()()()PABPABPB122212225310553310CC1532例某种动物活到15岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.3，求现年15岁的这种动物活到25岁的概率。解：设A=“这种动物活到25岁以上”，B=“这种动物活到15岁以上”，则P(A)=0.3，P(B)=0.8，由于,所以，()()0.3()0.375()()0.8PABPAPABPBPBAB(),,(),.,(),(),,()().AAPABABPBABABPBAABPABPBAPAB表示在样本空间中发生的概率而表示在缩小的样本空间中发生的概率用古典概率公式则中基本事件数中基本事件数中基本事件数中基本事件数一般来说比大思考：与有什么区别？()PBA()PAB二、乘法公式定理1.1（乘法公式）对于事件A,B，如果P(A)0，则有如果P(B)0，则有在一些问题中，条件概率往往较容易得到，于是可用乘法公式计算两个事件交的概率。()()()PABPAPBA()()()PABPBPAB上面的乘法公式可推广到n个事件的情形。定理1.2设是n个事件，，则有1,,nAA12121312121()()()()()nnnPAAAPAPAAPAAAPAAAA121()0nPAAA例1.1710个零件中有3个次品，7个合格品。每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回，求第三次才取到合格品的概率。解用Ai表示事件“第i次取到次品”，i=1,2,3，A表示事件“第三次才取到合格品”，所以121312327(),(),()1098PAPAAPAAA123121312()()()()()PAPAAAPAPAAPAAA3270.0581098则，易知123AAAA例为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统I和II。两种报警系统单独使用时，系统I和II有效的概率分别为0.92和0.93。在系统I失灵的条件下，系统II仍有效的概率为0.85，求：（1）两种报警系统I和II都有效的概率；（2）系统II失灵而系统I有效的概率；（3）在系统II失灵的条件下，系统I仍有效的概率。解令A=“系统Ⅰ有效”，B=“系统Ⅱ有效”，则()0.92,PA()0.93,PB(|)0.85PBA)()()()(BAPBPBABPABP(1)()()()PBPAPBA0.930.080.850.862()()()()PBAPAABPAPAB(2)0.920.8620.0588286.093.01058.0)()()|(BPBAPBAP(3)例．小王忘了朋友家电话号码的最后一位数，因而他随意地拨号。求他拨号不超过3次而接通所需电话的概率。解设Ai=“第i次拨通电话”,i=1,2,3.B=“拨号不超过3次而接通所需电话”,则112123BAAAAAA112123()()PBPAAAAAA112123()()()PAPAAPAAA1121121312()()()()()()PAPAPAAPAPAAPAAA191981101091098310例*P14-3（综合练习B）盒中有12个大小相同的球，其中5个红球，4个白球和3个黑球，第一次任意取出2个球不放回，第二次再从剩余的球中取出3个球，计算第一次没有取到红球且第二次取到2个白球的概率。解：设A=“第一次没有取到红球”,B=“第二次取到2个白球”,A1=“第一次取到2个白球”,A2=“第一次取到1个白球1个黑球”,A3=“第一次取到2个黑球”,则，所求概率为123AAAA123()(())PABPAAAB123()PABABAB123()()()PABPABPAB112233()()()()()()PAPBAPAPBAPAPBA21112122122534335234514232323121012101210CCCCCCCCCCCCCCCC40879200.515三、事件的独立性1.两个事件的独立性定义1.5若两事件A、B满足P(AB)=P(A)P(B)则称A、B相互独立，简称A、B独立.注：两事件A、B相互独立的充要条件是：或|,0PABPAPB|,0PBAPBPA可以作为事件A与B独立的定义可以作为事件B与A独立的定义定理1.3设是两个随机事件，则在下列四对事件：；；；中，只要有一对事件独立，则其余三对事件也独立。AB与AB与AB与AB与例从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}，问事件A、B是否独立？P(AB)=P(A)P(B)由于P(A)=4/52=1/13,故事件A、B独立.解P(AB)=2/52=1/26.可见,P(B)=26/52=1/2,例1.18设事件A,B相互独立，已知，，试求。()0.8PAB()0.4PA()PBA解()()()()PABPAPBPAB()()()()0.4()0.4()PAPBPAPBPBPB。而，所以,。又因A,B独立，所以，也独立，由此得()0.8PAB2()3PBAB与1()()1()3PBAPBPB思考：事件独立与互斥有什么区别和联系？两事件相互独立)()()(BPAPABP两事件互斥ABAB,21)(,21)(BPAP若AB).()()(BPAPABP则例如由此可见两事件相互独立，但两事件不互斥.两事件相互独立与两事件互斥的关系:二者之间没有必然联系AB21)(,21)(BPAP若.)()()(BPAPABP故由此可见两事件互斥但不独立.,0)(ABP则,41)()(BPAP可以证明，在事件的概率都不为零时，有互斥不独立；独立不互斥。但逆命题不对。所以，独立和互斥是两个不同的概念，互斥是集合论中的概念，独立是概率论中的概念。2.多个事件的独立性定义1.6设是n个事件，如果这n(n≥2)个事件中任意两个事件均相互独立，则称n个事件两两独立。1,,nAA则称事件相互独立。1,,nAA定义1.7设是n个事件，如果对其中任意k(2≤k≤n)个事件都有1212,,,(1),kiiikAAAiiin1,,nAA1212()()()()kkiiiiiiPAAAPAPAPA此等式包含有2n-n-1个等式特别地，对于三个事件A、B、C，若P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)四个等式同时成立,则称事件A、B、C相互独立.值得注意的是，在实际问题中，判断一些事件的相互独立性，往往不是用定义1.7进行计算，而是根据问题的实际意义进行分析确定。即考察n个事件中任何一个事件发生的概率是否受其余一个或几个事件发生的影响。定理1.4如果n个事件相互独立，则将其中任意m(1≤m≤n)个事件换成相应的对立事件，形成新的n个事件仍然相互独立。1,,nAA常用的计算公式：如果n个事件相互独立，则1,,nAA请注意多个事件两两独立与相互独立的区别与联系两两独立相互独立对n(n2)个事件?111()1()1()nnniiiiiiPAPAPA例1.19一个均匀的四面体，其第一面染成红色，第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同时染上红、白、黑三种颜色。我们以A、B、C分别记投一次四面体出现红、白、黑三种颜色的事件。依题意可得1()()(),2PAPBPC1()()()4PABPACPBC由此可以看出三个事件A、B、C两两独立。但是11()()()()48PABCPAPBPC所以，三个事件A、B、C不是相互独立。说明：（1）若A与B独立，B与C独立，不一定有A与C独立。即独立性不具传递性。例如：掷2枚骰子，A=“点数之和为7”，C=“点数之和为8或12”，B=“第一粒得4点”。则161(),(),(),36366PABPAPB()()(),PABPAPB所以，A与B独立。同理可得B与C独立，但A与C互斥，且概率都为正数，所以，A与C不独立。反例：参看上例1.19。1()()(),2PAPBPC1()()(),4PABPACPBC3(),4PAB1[()],4PABC[()]()()PABCPABPC所以，A∪B与C不独立。但若A与C独立，B与C独立，且A与B互斥，则一定有A∪B与C独立。此结论的证明留给同学们自己完成（2）若A与C独立，B与C独立，不一定有A∪B与C独立。（3）若A，B，C相互独立，则一定有A∪B与C独立。结论的证明留给同学们自己完成。例1.20一射手向一目标射击三次，假定各次射击之间相互独立，且第一、二、三次射击的命中概率分别为0.4，0.5，0.7，求下列事件的概率：（1）三次射击中恰有一次命中目标；（2）三次射击中至少有一次命中目标。解用Ai表示“第i次命中目标”，i=1,2,3，(1)P(三次射击中恰有一次命中目标)123123123()PAAAAAAAAA123123123123123123()()()()()()()()()()()()0.40.50.30.60.50.30.60.50.70.36.PAAAPAAAPAAAPAPAPAPAPAPAPAPAPA(2)P(三次射击中至少有一次命中目标)123()PAAA1231()()()10.60.50.30.91.PAPAPA例1.21由n个人组成的小组，在同一时间分别破译某一个密码，假定每个人能译出密码的概率均为0.7，若要以99.9%的把握译出密码，问n至少为几？解用Ai表示“第i人能译出密码”，i=1,2,…n，B表示“密码