第五章矩阵的特征值与特征向量的计算

第三篇第五章矩阵的特征值与特征向量的MATLAB程序46．5.2幂法及其MATLAB程序5.2.2幂法的MATLAB程序用幂法计算矩阵A的主特征值和对应的特征向量的MATLAB主程序function[k,lambda,Vk,Wc]=mifa(A,V0,jd,max1)lambda=0;k=1;Wc=1;,jd=jd*0.1;state=1;V=V0;while((k=max1)&(state==1))Vk=A*V;[mj]=max(abs(Vk));mk=m;tzw=abs(lambda-mk);Vk=(1/mk)*Vk;Txw=norm(V-Vk);Wc=max(Txw,tzw);V=Vk;lambda=mk;state=0;if(Wcjd)state=1;endk=k+1;Wc=Wc;endif(Wc=jd)disp('请注意：迭代次数k,主特征值的近似值lambda,主特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc如下：')elsedisp('请注意：迭代次数k已经达到最大迭代次数max1,主特征值的迭代值lambda,主特征向量的迭代向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc如下：')endVk=V;k=k-1;Wc;例5.2.2用幂法计算下列矩阵的主特征值和对应的特征向量的近似向量，精度510.并把（1）和（2）输出的结果与例5.1.1中的结果进行比较.(1)4211A；(2)633312321B；(3)1124111221C；（4）20101350144D.解（1）输入MATLAB程序A=[1-1;24];V0=[1,1]';[k,lambda,Vk,Wc]=mifa(A,V0,0.00001,100),[V,D]=eig(A),Dzd=max(diag(D)),wuD=abs(Dzd-lambda),wuV=V(:,2)./Vk,运行后屏幕显示结果请注意：迭代次数k,主特征值的近似值lambda,主特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc如下：k=lambda=Wc=333.000001738368048.691862856124999e-007Vk=V=wuV=-0.49999942054432-0.707106781186550.44721359549996-0.894428227562941.000000000000000.70710678118655-0.89442719099992-0.89442719099992Dzd=wuD=31.738368038406435e-006由输出结果可看出，迭代33次，相邻两次迭代的误差Wc8.6919e-007，矩阵A的主特征值的近似值lambda3.00000和对应的特征向量的近似向量Vk（-0.50000，1.000第五章矩阵的特征值与特征向量的计算第三篇第五章矩阵的特征值与特征向量的MATLAB程序47．00T),lambda与例5.1.1中A的最大特征值32近似相等，绝对误差约为1.73837e-006，Vk与特征向量XT22kT)1,21()0(2k的第1个分量的绝对误差约等于0，第2个分量的绝对值相同.由wuV可以看出，2的特征向量V(:,2)与Vk的对应分量的比值近似相等.因此，用程序mifa.m计算的结果达到预先给定的精度510.(2)输入MATLAB程序B=[123;213;336];V0=[1,1,1]';[k,lambda,Vk,Wc]=mifa(B,V0,0.00001,100),[V,D]=eig(B),Dzd=max(diag(D)),wuD=abs(Dzd-lambda),wuV=V(:,3)./Vk,运行后屏幕显示结果请注意：迭代次数k,主特征值的近似值lambda,主特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc如下：k=lambda=Wc=Dzd=wuD=39090Vk=wuV=0.500000000000000.816496580927730.500000000000000.816496580927731.000000000000000.81649658092773V=0.707106781186550.577350269189630.40824829046386-0.707106781186550.577350269189630.408248290463860-0.577350269189630.81649658092773(3)输入MATLAB程序C=[122;1-11;4-121];V0=[1,1,1]';[k,lambda,Vk,Wc]=mifa(C,V0,0.00001,100),[V,D]=eig(C),Dzd=max(diag(D)),wuD=abs(Dzd-lambda),Vzd=V(:,1),wuV=V(:,1)./Vk,运行后屏幕显示请注意：迭代次数k已经达到最大迭代次数max1,主特征值的迭代值lambda,主特征向量的迭代向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc如下：k=lambda=Wc=1000.090909090909102.37758124193119Dzd=wuD=1.000000000000010.90909090909091Vk=Vzd=wuV=0.999999999999930.904534033733290.904534033733350.999999999999950.301511344577760.301511344577781.00000000000000-0.30151134457776-0.30151134457776由输出结果可见，迭代次数k已经达到最大迭代次数max1=100，并且lambda的相邻两次迭代的误差Wc2.377582,由wuV可以看出，lambda的特征向量Vk与真值Dzd的特征向量Vzd对应分量的比值相差较大，所以迭代序列发散.实际上，实数矩阵C的特征值的近似值为i,i,010000000001.000321　，并且对应的特征向量的近似向量分别为XT1=1k（0.90453403373329，0.30151134457776，-0.30151134457776）T，XT22k（-0.72547625011001,-0.21764287503300-0.07254762501100i,0.58038100008801-0.29019050004400i）T，XT33k(-0.72547625011001,-0.21764287503300+0.07254762501100i,0.58038100008801+0.29019050004400i)T0,0(21kk,03k是常数）.（4）输入MATLAB程序D=[-4140;-5130;-102];V0=[1,1,1]';[k,lambda,Vk,Wc]=mifa(D,V0,0.00001,100),[V,Dt]=eig(D),Dtzd=max(diag(Dt)),wuDt=abs(Dtzd-lambda),第三篇第五章矩阵的特征值与特征向量的MATLAB程序48．Vzd=V(:,2),wuV=V(:,2)./Vk,运行后屏幕显示结果请注意：迭代次数k,主特征值的近似值lambda,主特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc如下：k=lambda=Wc=196.000006539495286.539523793591684e-006Dtzd=wuDt=6.000000000000006.539495284840768e-006Vk=Vzd=wuV=0.797400480535640.797400480535640.797400480535640.714285947838860.569571771811170.79740021980618-0.24999918247180-0.199350120133910.797403088133705.3反幂法和位移反幂法及其MATLAB程序5.3.3原点位移反幂法的MATLAB程序（一）原点位移反幂法的MATLAB主程序1用原点位移反幂法计算矩阵A的特征值和对应的特征向量的MATLAB主程序1function[k,lambdan,Vk,Wc]=ydwyfmf(A,V0,jlamb,jd,max1)[n,n]=size(A);A1=A-jlamb*eye(n);jd=jd*0.1;RA1=det(A1);ifRA1==0disp('请注意：因为A-aE的n阶行列式hl等于零，所以A-aE不能进行LU分解.')returnendlambda=0;ifRA1~=0forp=1:nh(p)=det(A1(1:p,1:p));endhl=h(1:n);fori=1:nifh(1,i)==0disp('请注意：因为A-aE的r阶主子式等于零，所以A-aE不能进行LU分解.')returnendendifh(1,i)~=0disp('请注意：因为A-aE的各阶主子式都不等于零，所以A-aE能进行LU分解.')k=1;Wc=1;state=1;Vk=V0;while((k=max1)&(state==1))[LU]=lu(A1);Yk=L\Vk;Vk=U\Yk;[mj]=max(abs(Vk));mk=m;Vk1=Vk/mk;Yk1=L\Vk1;Vk1=U\Yk1;[mj]=max(abs(Vk1));mk1=m;Vk2=(1/mk1)*Vk1;tzw1=abs((mk-mk1)/mk1);tzw2=abs(mk1-mk);Txw1=norm(Vk)-norm(Vk1);Txw2=(norm(Vk)-norm(Vk1))/norm(Vk1);Txw=min(Txw1,Txw2);tzw=min(tzw1,tzw2);Vk=Vk2;mk=mk1;Wc=max(Txw,tzw);Vk=Vk2;mk=mk1;state=0;if(Wcjd)第三篇第五章矩阵的特征值与特征向量的MATLAB程序49．state=1;endk=k+1;%Vk=Vk2,mk=mk1,endif(Wc=jd)disp('A-aE的秩R(A-aE)和各阶顺序主子式值hl、迭代次数k,按模最小特征值的近似值lambda,特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc如下：')elsedisp('A-aE的秩R(A-aE)和各阶顺序主子式值hl、迭代次数k已经达到最大迭代次数max1,按模最小特征值的迭代值lambda,特征向量的迭代向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc如下：')endhl,RA1endend[V,D]=eig(A,'nobalance'),Vk;k=k-1;Wc;lambdan=jlamb+1/mk1;例5.3.2用原点位移反幂法的迭代公式（5.28），根据给定的下列矩阵的特征值n的初始值n~，计算与n对应的特征向量nX的近似向量,精确到0.0001.（1）210242011,2.0~2；（2）4211，001.2~2；（3）3315358215211，8.26~3.解（1）输入MATLAB程序A=[1-10;-24-2;0-12];V0=[1,1,1]';[k,lambda,Vk,Wc]=ydwyfmf(A,V0,0.2,0.0001,10000)运行后屏幕显示结果请注意：因为A-aE的各阶主子式都不等于零，所以A-aE能进行LU分解.A-aE的秩R(A-aE)和各阶顺序主子式值hl、迭代次数k,按模最小特征值的近似值lambda,特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc如下：k=lambda=Wc=hl=30.23841.0213e-0070.80001.04000.2720Vk=V=D=1.0000-0.2424-1.0