第五章线性控制系统的综合

1第五章线性定常系统的综合2第五章线性定常系统的综合建立系统的状态空间表达式求控制系统状态表达式的解运动性分析线性系统能控性和能观性分析稳定性分析线性定常系统的综合3主要内容线性反馈控制系统的基本结构及其特性极点配置问题系统镇定问题系统解耦问题状态观测器利用状态观测器实现状态反馈的系统第五章线性定常系统的综合4§5.1线性反馈控制系统的基本结构及其特性第五章线性定常系统的综合反馈控制系统输出反馈和状态反馈状态反馈状态反馈是将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律，作为受控系统的控制输入。5状态反馈DuCxyBuAxx受控对象的状态空间表达式vKxu状态线性控制律u为状态反馈闭环系统的状态空间表达式DvxDKCyBvxBKAx)()(第五章线性定常系统的综合CxyBuAxx或CxyBvxBKAx)(或6状态反馈闭环系统的传递函数DBBKAIDKCW1)]()[()(ssK比较开环系统和闭环系统可以看出，D=0时，状态反馈阵K的引入，并不增加系统的维数，但可以通过K的选择自由的改变闭环系统的特征值，从而使系统获得所要求的性能。第五章线性定常系统的综合BBKAICW1)]([)(ssK或反馈影响系统的特征值7输出反馈输出反馈是采用输出矢量y构成线性反馈律。在经典控制理论中主要讨论这种反馈形式。DuCxyBuAxx受控对象的状态空间表达式第五章线性定常系统的综合CxyBuAxx或8输出反馈)()()(vHCxHDIuvDuCxHuvHyu1CxyBvxBHCAx][状态线性控制律u为输出反馈闭环系统的状态空间表达式闭环系统的传递函数BBHCAICW1)]([)(ssH第五章线性定常系统的综合DvxHCHDIDCyvHDIBxHCHDIBAx))(()(])([111D=0时反馈影响系统的特征值9输出反馈比较状态反馈和输出反馈可以看出，D=0时，输出反馈中的HC与状态反馈中的K相当。只有当C=I时，HC=K，两种反馈才完全等同。受控系统的传递函数BAICW1)()(ssoWo(s)和WH(s)存在关系如下100)]()[()(sssHHWIWW)()]([)(010sssHWHWIW或第五章线性定常系统的综合10从输出到状态矢量导数的反馈从系统输出到状态矢量导数的线性反馈形式在状态观测器获得应用。DuCxyBuAxx受控对象的状态空间表达式第五章线性定常系统的综合11从输出到状态矢量导数的反馈整理得闭环系统的状态空间表达式DuCxyuGDBxGCAx)()(当D=0时，闭环系统的传递函数BGCAICW1)]([)(ssH闭环系统的状态空间表达式DuCxyBuGyAxx反馈影响系统的特征值第五章线性定常系统的综合12动态补偿器常常要通过引入一个动态子系统来改善系统性能，这种动态子系统，称为动态补偿器。使用状态观测器的状态反馈系统，就是典型的动态补偿器。系统的维数等于受控系统与动态补偿器二者维数之和。有更好的系统性能第五章线性定常系统的综合13闭环系统的能控性和能观性问题：引入各种反馈成闭环系统后，系统的能控性和能观性是否受影响？定理5.1.1状态反馈不改变受控系统0=（A,B,C)的能控性。但不保证系统的能观性不变。定理5.1.2:输出反馈不改变受控系统的能控性和能观性。第五章线性定常系统的综合14例5-1试分析系统引入状态反馈K=（-1，0）后的能控性与能观性。xxx10100110yuCxybvxbKAx)(解：状态反馈闭环系统的状态空间表达式闭环系统的状态矩阵为001001100110bKA第五章线性定常系统的综合1520110rankrankcAc20110])([rankrankbbKAb20110][rankrankAbb能控性矩阵的秩能控性矩阵的秩原系统是能控且能观的，引入状态反馈后，闭环系统的能控性不变，系统不再是状态完全可观的。10010)(rankrankbKAcc第五章线性定常系统的综合16§5.2极点配置问题控制系统的性能主要取决于系统极点在根平面上的分布极点配置：通过选择反馈增益矩阵，将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获得所希望的动态性能。第五章线性定常系统的综合17以3阶能控标准型为例，设计状态反馈控制律uaaa100100010210xxxKx210kkkuxx221100100010kakaka状态反馈控制律为得到闭环系统第五章线性定常系统的综合采用状态反馈（单输入单输出系统）18期望的闭环系统的特征多项式为01223321bbb闭环系统的特征多项式为)()()()(00112223kakakaf实现极点配置，需满足0000002101111112222220011222301223)()()()()()(abkkabkkkabkkababkkabkakakabbbK第五章线性定常系统的综合19能控标准型极点配置3阶能控标准型系统，极点配置问题可解推导出了极点配置状态反馈控制律极点配置状态反馈控制律是唯一的可以推广到n阶的一般能控标准型模型第五章线性定常系统的综合20例5-2对系统u103210xx设计状态反馈控制律，使得闭环系统的极点是-2和-3.xKx10kku解：设控制律为闭环系统的状态方程为xx103210kk第五章线性定常系统的综合212)3()(012kkf闭环系统的特征方程为期望闭环系统的特征方程为65322可得8262532)3(6501010122kkkkkkxKx28u极点配置状态反馈控制律为第五章线性定常系统的综合22采用状态反馈（单输入单输出系统）定理5.2.1采用状态反馈对系统Σ0=(A,b,c)任意配置极点的充要条件是Σ0完全能控。采用状态反馈进行极点配置的步骤：1判断系统可控性2把系统转换为能控标准型3加入状态反馈增益阵，求闭环系统的特征方程式第五章线性定常系统的综合23采用状态反馈进行极点配置的步骤：（续）4、使闭环极点与给定的期望极点相符，根据特征方程，求增益阵。5、求对应于原状态变量的K，闭环系统的特征值可通过下式计算K1cITKK)()())(()()()(111111111BKAITKBAITTKBAITTTKBTATTITTKBTATTIKBAIsssssscIcIcIcIcIcIcIcIcIcIcIcIcIcI第五章线性定常系统的综合24例5-3设系统的传递函数为)2)(1(10)(ssssWxxx0010100320100010yu试设计状态反馈控制器，试闭环系统的极点为-2，-1±j.解：1）系统传递函数没有零极点对消，所以系统能控且能观。能控标准I型实现为第五章线性定常系统的综合253）根据给定的极点值，期望的特征多项式为：464)1)(1)(2()(*23jjf4）比较特征多项式对应项的系数，得1,4,4210kkk2）加入状态反馈阵K=(k0,k1,k2)。闭环系统特征多项式为：)()2()3())(det()(01223kkkfbKAI第五章线性定常系统的综合26优点：能控标准型使得计算简单，可以直接计算状态反馈阵K。缺点：能控标准型所需的状态变量信息难以检测，给工程实现增加困难串联实现，系统的状态方程为xxx0010100200110010yu假定状态反馈阵为K=(k0,k1,k2)第五章线性定常系统的综合27闭环系统的特征方程为021223)2()3())(det()(kkkkfbKAI根据给定的极点值，期望的特征多项式为：464)1)(1)(2()(*23jjf比较两个特征方程得143624432012102kkkkkkk第五章线性定常系统的综合28关于极点配置的问题n个极点以共轭对的形式出现主导极点考虑零点的影响系统的响应速度并非越快越好单输入系统，系统极点配置不影响系统的零点单输入系统能控，控制器唯一，多输入系统，控制器不唯一。29采用输出反馈定理5.2.2对完全能控的单输入-单输出系统Σ0=(A,b,c)，不能采用输出线性反馈来实现闭环系统极点的任意配置。定理5.2.3对完全能控的单输入-单输出系统Σ0=(A,b,c)，通过带动态补偿器的输出反馈实现极点任意配置的充要条件是：Σ0完全能观动态补偿器的阶数为n-1第五章线性定常系统的综合30定理5.2.4对系统Σ0=(A,b,c)采用从输出到的线性反馈实现闭环极点任意配置的充要条件是Σ0完全能观。采用输出到反馈进行极点配置的步骤：1判断系统可观性2把系统转换为能观标准型3加入输出反馈增益阵，求闭环系统的特征方程式采用从输出到反馈xxx第五章线性定常系统的综合31采用输出到状态变量微分反馈进行极点配置的步骤：（续）4.使闭环极点与给定的期望极点相符，根据特征方程，求增益阵。5.求对应于原状态变量的G，闭环系统的特征值可通过下式计算GGTGoII)()())(()()()(11111GcAIcGTAITcGTAITcTGTTATTITTcTGATTIcGAssssssIoIIoIIoIIoIIoIIoIIoIIoIIoIIoIIoIIoIIoIIoII第五章线性定常系统的综合32例5-4对系统011001010yusxx试选择反馈增益矩阵G,使得闭环系统的极点是-5和-8.2001sN解：（1）系统的能观性矩阵为系统是能观的。第五章线性定常系统的综合3310ggG)1()()(1202ggfsGCAI（2）设，得闭环特征多项式：（3）期望特征多项式为：4013)8)(5()(*2f（4）比较系数得140132sG第五章线性定常系统的综合34§5.3系统镇定问题系统镇定：对受控系统Σ0=(A,B,C)通过反馈使其极点均具有负实部，保证系统为渐进稳定。如果一个系统通过状态反馈使其渐进稳定，则称系统是状态反馈能镇定的。如果一个系统通过输出反馈使其渐进稳定，则称系统是输出反馈能镇定的。第五章线性定常系统的综合35状态反馈定理5.3.1对系统Σ0=(A,B,C)，采用状态反馈能镇定的充要条件是其不能控子系统为渐进稳定。证明：（1）设系统是不完全能控的，可以通过线性非奇异变换按能控性分解为：2212111~~~~A0AAARRAcc0~~11BBRBc~~~21CCCRCc)~,~,~(1111CBAc为能控子系统)~,0,~(222CAc为不能控子系