第五章评估假设.

机器学习第五章评估假设报告人：李昌群2014-8-1概述对假设的精度进行评估是机器学习中的基本问题本章介绍用统计方法估计假设精度，主要解决以下三个问题：已知一个假设在有限数据样本上观察到的精度，怎样估计它在其他实例上的精度？如果一个假设在某些数据样本上好于另一个，那么一般情况下该假设是否更准确？当数据有限时，怎样高效地利用这些数据，通过它们既能学习到假设，还能估计其精度？统计的方法，结合有关数据基准分布（常用的是正态分布）的假定，使我们可以用有限数据样本上的观察精度来逼近整个数据分布上的真实精度动机对学习到的假设进行尽可能准确地性能评估十分重要为了知道是否可以使用该假设是许多学习方法的重要组成部分当给定的数据集有限时，要学习一个概念并估计其将来的精度，存在两个很关键的困难：估计的偏差：学习到的概念在训练样例上的精度不能很好的用于将来样例上的精度应使用与训练样例和假设无关的测试样例估计的方差即使假设精度在独立的无偏测试样例上测量，得到的精度仍可能与真实精度不同。测试样例越少，产生的方差越大本章讨论了对学到的假设的评估(无偏估计)、对两个假设精度的比较（h1,h2）、两个学习算法精度的比较本章主要内容估计假设精度采样理论基础推导置信区间的一般方法两个假设错误率间的差异假设检验学习算法的比较配对t测试小结本章学习问题的框架有一所有可能实例的空间X，其中定义了多个目标函数，我们假定X中不同实例具有不同的出现频率。一种合适的建模方式是，假定存在一未知的概率分布D，它定义了X中每一实例出现的概率。学习任务是在假设空间上学习一个目标概念f，训练样例的每一个实例按照分布D独立地抽取，然后连同正确的目标值f(x)提供给学习器。样本错误率和真实错误率（1）给定假设h和包含若干按D分布抽取的样例的数据集S，如何针对将来按同样分布抽取的实例，得到对h的精度最好估计这一精度估计的可能的误差是多少定义1：假设h关于目标函数f和数据样本S的样本错误率（标记为errors(h)）定义2：假设h关于目标函数f和分布D的真实错误率（标记为errorD(h)）本节考虑问题：errors(h)在何种程度上提供了对errorD(h)的估计6Sxsxhxfnherror))(),((1)(otherwisexhxfxhxf)()(01))(),((||Sn)]()([Pr)(xhxfherrorDxD离散值假设的置信区间先考虑离散值假设的情况，比如：样本S包含n个样例，它们的抽取按照概率分布D，抽取过程是相互独立的，并且不依赖于假设hn=30假设h在这n个样例上犯了r个错误根据上面的条件，统计理论可以给出以下断言：没有其他信息的话，真实错误率errorD(h)最可能的值是样本错误率errorS(h)=r/n有大约95%的可能性，真实错误率处于下面的区间内：7nherrorherrorherrorSSS))(1)((96.1)(举例说明数据样本S包含n=40个样例，并且假设h在这些数据上产生了r=12个错误，这样样本错误率为errorS(h)=12/40=0.3如果没有更多的信息，对真实错误率errorD(h)的最好的估计即为0.3如果另外收集40个随机抽取的样例S’，样本错误率errorS’(h)将与原来的errorS(h)存在一些差别如果不断重复这一实验，每次抽取一个包含40样例的样本，将会发现约95%的实验中计算所得的区间包含真实错误率将上面的区间称为errorD(h)的95%置信区间估计8置信区间表达式的推广常数1.96是由95%这一置信度确定的定义zN为计算N%置信区间的常数（取值见表5-1），计算errorD(h)的N%置信区间的一般表达式（公式5.1）为：公式5.1只能应用于离散值假设，它假定样本S抽取的分布与将来的数据抽取的分布相同，并且假定数据不依赖于所测试的假设只提供了近似的置信区间,这一近似在至少包含30个样例，并且errorS(h)不太靠近0或1时很接近真实情况9nherrorherrorzherrorSSNS))(1)(()(5))(1)((herrorherrornSS统计学中的基本定义和概念随机变量某随机变量Y的概率分布随机变量Y的期望值或均值随机变量的方差Y的标准差二项分布正态分布中心极限定理估计量Y的估计偏差N%置信区间机器学习-评估假设作者：Mitchell译者：曾华军等10错误率估计和二项比例估计（1）测量样本错误率相当于在作一个有随机输出的实验从分布D中随机抽取n个独立的实例，形成样本S，然后测量样本错误率errorS(h)将实验重复多次，每次抽取大小为n的不同的样本Si，得到不同的，取决于Si的组成中的随机差异被称为一随机变量，一般情况下，可以将随机变量看成一个有随机输出的实验。随机变量值即为随机实验的观察输出11)(herroriS)(herroriS错误率估计和二项比例估计（2）设想要运行k个这样的随机实验，得到k个随机变量值，以图表的形式显示观察到的每个错误率值的频率当k不断增长，该图表将呈现如表5-3所显示的分布，称为二项分布（不太理解）12二项分布(1)有一非均质硬币，要估计在抛硬币时出现正面的概率p投掷硬币n次并计算出现正面的次数r，那么p的一个合理估计是r/n如果重新进行一次实验，生成一个新的n次抛硬币的集合，出现正面的次数r可能与前不同，得到对p的另一个估计二项分布描述的是对任一可能的r值，这个正面概率为p的硬币抛掷n次恰好出现r次正面的概率13二项分布（2）从抛掷硬币的随机样本中估计p与在实例的随机样本上测试h以估计errorD(h)是相同的问题一次硬币抛掷对应于从D中抽取一个实例并测试它是否被h误分类一次随机抛掷出现正面的概率p对应于随机抽取的实例被误分类的概率errorD(h)二项分布给出了一个一般形式的概率分布，无论用于表示n次硬币出现正面的次数还是在n个样例中假设出错的次数二项分布的具体形式依赖于样本大小n以及概率p或errorD(h)14应用二项分布的条件有一基本实验，其输出可被描述为一随机变量Y，随机变量Y有两种取值在实验的任一次尝试中Y=1的概率为常数p，它与其他实验尝试无关，因此Y=0的概率为1-pp为预先未知，面临的问题是如何估计基本实验的n次独立尝试按序列执行，生成一个独立同分布的随机变量序列随机变量R表示n次实验中出现Yi=1的次数，它取特定值r的概率由二项分布给出15rnrpprnrnrR)1()!(!!)Pr(均值期望值是重复采样随机变量得到的值的平均定义：考虑随机变量Y可能的取值为y1...yn，Y的期望值E[Y]定义如下：如果随机变量Y服从二项分布，那么可得E[Y]=np16niiiyYyYE1)Pr(][方差方差描述的是概率分布的宽度或散度，描述了随机变量与其均值之间的差有多大定义：随机变量Y的方差Var[Y]定义如下：描述了从Y的一个观察值估计其均值E[Y]的误差平方的期望随机变量Y的标准差Y若随机变量Y服从二项分布，则方差和标准差分别为：Var[Y]=np(1-p)17]))([(][2YEYEYVar]])[[(2YEYEY)1(pnpY估计量用5.2式定义的二项分布，可得errorS(h)=r/nerrorD(h)=p统计学中将errorS(h)称为errorD(h)的一个估计量估计量是用来估计总体的某一参数的随机变量，最关心的是它平均来说是否能产生正确估计机器学习-评估假设作者：Mitchell译者：曾华军等18估计偏差估计偏差衡量估计量的期望值同真实参数值之间的差异定义：针对任意参数p的估计量Y的估计偏差是：E[Y]-p如果估计偏差为0，称Y为p的无偏估计量，在此情况下，由多次重复实验生成的Y的多个随机值的平均将收敛于p由于errorS(h)服从二项分布，因此errorS(h)是errorD(h)的一个无偏估计量19偏差和方差对估计偏差的补充说明：要使errorS(h)是errorD(h)的无偏估计，假设h和样本S必须独立选取估计偏差（数字量）不能与第2章介绍的学习器的归纳偏置（断言的集合）相混淆估计量的另一重要属性是它的方差，给定多个无偏估计量，选取其中方差最小的由方差的定义，所选择的应为参数值和估计值之间期望平方误差最小的20实例一个例子n=40个随机样例r=12个错误求errorS(h)的标准差一般地，若在n个随机选取的样本中有r个错误，errorS(h)的标准差是：近似地机器学习-评估假设作者：Mitchell译者：曾华军等21nppnrherrorS)1()(nherrorherrorSSherrorS))(1)(()(置信区间（1）通常描述某估计的不确定性的方法是使用置信区间，真实的值以一定的概率落入该区间中，这样的估计称为置信区间估计定义：某个参数p的N%置信区间是一个以N%的概率包含p的区间由于估计量errorS(h)服从二项分布，这一分布的均值为errorD(h)，标准差可由式5.9计算，因此，为计算95%置信区间，只需要找到一个以errorD(h)为中心的区间，它的宽度足以包含该分布全部概率的95%这提供了一个包围errorD(h)的区间，使errorS(h)有95%机会落入其中，同样它也指定了errorD(h)有95%的机会落入包围errorS(h)的区间的大小22置信区间（2）对于二项分布，计算置信区间很烦琐，多数情况下，计算它的近似值对于足够大的样本，二项分布可以由正态分布来近似，而正态分布的置信区间容易得到如果随机变量Y服从均值为，标准差为的一个正态分布，那么Y的任一观察值y有N%的机会落入下面的区间相似地，均值有N%的机会落入下面的区间23NzNzy置信区间（3）式子5.1的三步推导过程errorS(h)遵从二项分布，其均值为errorD(h)，标准差如式5.9所示对于足够大的样本n，二项分布非常近似于正态分布式5.11告诉我们如何根据正态分布的均值求出N%置信区间式子5.1的推导中有两个近似估计errorS(h)的标准差，我们将errorD(h)近似为errorS(h)用正态分布近似二项分布统计学的一般规则表明，这两个近似在n=30或np(1-p)=5时工作得很好，对于较小的n值，最好使用列表的形式给出二项分布的具体值24双侧和单侧边界上述的置信区间是双侧的，有时用到单侧边界例如问题“errorD(h)至多为U的概率”，在只要限定h的最大错误率，而不在乎真实错误率是否小于估计错误率时，很自然提出这种问题由于正态分布关于其均值对称，因此，任意正态分布上的双侧置信区间能够转换为相应的单侧区间，置信度为原来的两倍（见图5-1b）由一个有下界L和上界U的100(1-)%置信区间，可得到一个下界为L且无上界的100(1-/2)%置信区间，也得到一个有上界U且无下界的100(1-/2)%置信区间25推导置信区间的步骤基于大小为n的随机抽取样本的均值，来估计总体均值的问题确定基准总体中要估计的参数p，例如errorD(h)定义一个估计量Y（如errorS(h)），它的选择应为最小方差的无偏估计量确定控制估计量Y的概率分布DY，包括其均值和方差通过寻找阈值L和U确定N%置信区间，以使这个按DY分布的随机变量有N%机会落入L和U之间26中心极限定理考虑如下的一般框架在n个独立抽取的且服从同样概率分布的随机变量Y1...Yn中观察试验值令代表每一变量Yi服从的未知分布的均值，并令代表标准差，称这些变量Yi为独立同分布随机变量为了估计Yi服从的分布的均值，我们计算样本的均值中心极限定理说明在n时，所服从的概率分布为一正态分布，而不论Yi本身服从什么样的分布服从