第五章连续系统的S域分析.

第五章连续系统的S域分析5.1拉普拉斯变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换二、收敛域三、(单边)拉普拉斯变换5.2拉普拉斯变换的性质5.3拉普拉斯变换逆变换5.4复频域分析一、微分方程的变换解二、系统函数三、系统的s域框图四、电路的s域模型5.1拉普拉斯变换•一、从傅里叶到拉普拉斯变换•有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。为此，可用一衰减因子e-t(为实常数）乘信号f(t)，适当选取的值，使乘积信号f(t)e-t当t∞时信号幅度趋近于0，从而使f(t)e-t的傅里叶变换存在。相应的傅里叶逆变换为•Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为Fb(s)的双边拉氏逆变换（或原函数）。•二、收敛域•只有选择适当的值才能使积分收敛，信号f(t)的双边拉普拉斯变换存在。•使f(t)拉氏变换存在的取值范围称为Fb(s)的收敛域。•下面举例说明Fb(s)收敛域的问题。•解：例1因果信号f1(t)=et(t)，求其拉普拉斯变换。可见，对于因果信号，仅当Re[s]=时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。•解：例2反因果信号f2(t)=et(-t)，求其拉普拉斯变换。可见，对于反因果信号，仅当Re[s]=时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。•解其双边拉普拉斯变换Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s)例3双边信号求其拉普拉斯变换。求其拉普拉斯变换。仅当时，其收敛域为Re[s]的一个带状区域，如图所示。•解例4求下列信号的双边拉氏变换。f1(t)=e-3t(t)+e-2t(t)f2(t)=–e-3t(–t)–e-2t(–t)f3(t)=e-3t(t)–e-2t(–t)可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必须标出收敛域。结论：•1、对于双边拉普拉斯变换而言，F(S)和收敛域一起，可以唯一地确定f(t)。即：2、不同的信号可以有相同的F(S)，但他们的收敛域不同；不同信号如果有相同的收敛域，则他们的F(S)必然不同！三、单边拉氏变换•通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。这样，t0时，f(t)=0。从而拉氏变换式写为称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是Re[s]，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。四、常见函数的拉普拉斯变换•1、(t)←→1，Re(S)-∞•2、(t)或1←→1/s,Re(S)0•3、’(t)←→1，Re(S)-∞•4、t(t)←→1/s2,Re(S)0•解：例5.1－5求复指数函数（式中s0为复常数）f(t)=es0t(t)的象函数]Re[]Re[,1)]([000)(0000ssssdtedteeteLtsssttsts若s0为实数，令s0＝，则有]Re[,1)(]Re[,1)(sstesstett若s0为实数，令s0＝j，则有0]Re[,1)(0]Re[,1)(sjstesjstetjtj1212()()()()axtbxtaXsbXs则ROC至少是12RR§5.2拉氏变换的基本性质拉氏变换与傅氏变换一样具有很多重要的性质。这里只着重于ROC的讨论。1.线性（Linearity）：11()(),xtXs1ROC:R22()(),xtXs2ROC:R若112()1,11sXsssROC:121(),1XssROC:112()()1xtxtt而ROC为整个S平面•当与无交集时，表明不存在。1R2R()Xs例.)()()(1tettxt)()(2tetxt2.时移性质（TimeShifting）:()(),xtXsROC:R若00()(),stxttXseROC不变则3.S域平移（Shiftinginthes-Domain）:()(),xtXsROC:R若则00()(),stxteXss0ReROC]:[Rs表明的ROC是将的ROC平移了一个。0()Xss()Xs0Re[]s例.1(),1Xss1显然ROC:3)()(tetxt31)2()().(32SSXteetxttRe[]saR4.时域尺度变换（TimeScaling）:ROC:R()(),xtXs若1()()sxatXaaROC:aR则当时收敛，时收敛R()sXaRRe[]sa()Xs例.111)()()(ssXtetxt求的拉氏变换及ROC)()2(2tetxt12(),1212Xsss1ROC:2可见：若信号在时域尺度变换，其拉氏变换的ROC在S平面上作相反的尺度变换。()(),xtXsROC:R特例1212()()()()xtxtXsXsROC:12RR包括5.卷积性质:11()(),xtXs1ROC:R22()(),xtXs2ROC:R若则121RR显然有:例.11(),1Xss21(),23sXsss1ROC:1R2ROC:2R121()(),23XsXsss2,ROC扩大原因是与相乘时，发生了零极点相抵消的现象。当被抵消的极点恰好在ROC的边界上时，就会使收敛域扩大。2()Xs1()Xs6.时域微分:（DifferentiationintheTimeDomain）()(),dxtsXsdt()(),xtXsROC:RROC包括R,有可能扩大。若则7.S域微分:（Differentiationinthes-Domain）()(),xtXs()(),dXstxtds若则ROC:RROC:R21()()XssaROC:a的像函数例，求)()(ttetxt答案8、时域积分特性（积分定理）•若f(t)←→F(s),Re[s]0,则)0(1)(1)()()()(11)(mnmmnntnnfssFsdxxftf已知后者，也可推出前者例2:已知因果信号f(t)如图,求F(s)9、初值定理和终值定理初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(∞），而不必求出原函数f(t)初值定理设函数f(t)不含(t)及其各阶导数，终值定理若f(t)当t→∞时存在，并且f(t)←→F(s),Re[s]0,？？05.3拉普拉斯逆变换直接利用定义式求反变换---复变函数积分。比较困难•通常的方法:（1）查表法•（2）利用性质（3）部分分式展开-----结合•若象函数F(s)是s的有理分式，可写为若m≥n（假分式）,可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。•由于L-1[1]=(t)，L-1[sn]=(n)(t)，故多项式P(s)的拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。•下面主要讨论有理真分式的情形。•部分分式展开法•若F(s)是s的实系数有理真分式（mn)，则可写为式中A(s)称为F(s)的特征多项式，方程A(s)=0称为特征方程，它的根称为特征根，也称为系统的固有频率（或自然频率）。n个特征根pi称为F(s)的极点。•特例：F(s)包含共轭复根时(p1,2=–±j)（1）F(s)为单极点（单根）取逆变换，jtjjtjeeKeeKtf)(1)(11||||)()cos(||2][||1)()(1teKeeeKttjtjtjeKK||11若取f1(t)=2e-t[Acos(t)–Bsin(t)](t)求其逆变换jsKjsKsF211)(若取K1,2=A±jB,•求其逆变换•解：长除法F(s))2)(1(32)(sssssF•f1(t)=2e-t[Acos(t)–Bsin(t)](t)•解：A(s)=0有6个单根，它们分别是s1=0，s2=–1，•s3,4=±j1，s5,6=–1±j1，故例4：求象函数F(s)的原函数f(t)。（2）F(s)有重极点（重根）•若A(s)=0在s=p1处有r重根，举例:5.4复频域分析•复习：拉普拉斯变换的时域微分特性0]Re[),()(ssFtf若则)0()()(...)0()0()()()0()()()(101)()1(2)2()1(pnppnnnfssFstffsfsFstffssFtf一、微分方程的变换解•描述n阶系统的微分方程的一般形式为系统的初始状态为y(0-),y’(0-),…，y(n-1)(0-)。取拉普拉斯变换•例1描述某LTI系统的微分方程为•y’’(t)+5y’(t)+6y(t)=2f(t)•已知初始状态y(0-)=1，y’(0-)=-1，激励f(t)=5cost(t)，•求系统的全响应y(t))()(sYsYzszi解：取拉氏变换得)()()(sYsYsYzszi五、拉普拉斯变换与傅立叶变换的关系例求下列信号的双边拉氏变换。f1(t)=e-3t(t)+e-2t(t)•解•单边拉普拉斯变换和傅立叶变换的定义Re[s]0dtetfjFtj)()(分析因果信号两种变换的关系设Re[s]0(1)00;收敛域在虚轴右边，在s=j处不收敛，傅立叶变换不存在•这时有：(1)00;收敛域包含虚轴，在s=j处收敛，傅立叶变换存在。jssFjF|)()(例如：]Re[,1)(,0),()(sssFtetft其拉普拉斯变换为其傅立叶变换为jsFjFjs1|)()(•分析：因为0＝0，所以在虚轴上有极点，即F(s)的分母多项式A(s)=0必有虚根。•设A(s)=0有N个虚根（单根）j1,j2,…jn,将F(s)展开成部分分式，并把它分成两部分，极点在左半平面的部分令为Fa(s)。则有(1)0＝0;在虚轴上不收敛。NiiiajsKsFsF1)()(•因为如令L-1[Fa(s)]=fa(t),则上式的拉普拉斯变换为NitjiateKtftfi1)()()()(1)(][iitjwjeLi所以，f(t)中第二项的傅立叶变换为Niiiijk1])(1)([NiiiNiiijsakjjksFtfF11)(|)()]([即NiiijsksFjF1)(|)()(例如stL1)]([)(1)0(|1)]([jstfFjs第5章小结•5.1拉普拉斯变换•5.2拉普拉斯变换的性质•5.3拉普拉斯逆变换•5.4复频域分析（系统函数）